一道基于数学史的数学试题的命制与评析

程银生 杨巧玲

摘要：卡莱尔的几何解法是数学史上解一元二次方程的著名方法之一。在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。在试题测评反馈、讲评拓展的基础上反思得到关于数学史类试题命制与数学史类试题融入数学教学的体会。

关键词：数学史;数学试题;卡莱尔的几何解法;一元二次方程

现各版本教材、各级各类考试中，以数学史为背景的阅读材料、习题、试题等日益增多，数学史素材的整理、裁剪和加工已成为试题命制的重要途径和方法。其中，2017年浙江省台州市中考数学卷第24题以直角三角板的移动操作为载体，融入卡莱尔的一元二次方程的几何解法，构思精妙，让人深感佩服。我們在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。

一、卡莱尔的几何解法简介

19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔（Thomas Carlyle，1795—1881）在爱丁堡大学读书时，给出了一个十分新颖、简洁的任意一元二次方程实根的几何解法。这个解法后来被他的老师——苏格兰数学家莱斯利（John Leslie，1766—1832）收入《几何基础（第三版）》（1817）一书中，成为数学史上解一元二次方程的著名方法之一。具体如下：

三、命制设想

本题来源于数学史料，将数学史料中解决问题的思想、方法、结论加以迁移、应用、拓展，融历史于无形。具体设想如下：

本题共设五个环节，前三个环节中方程的二次项系为1，后两个环节中二次项系数非1，五个环节逐层递进，由简单到复杂、由特殊到一般，让在学生解决问题的过程中，感受问题研究的一般思路与方法。

命制“超级模仿秀”环节时，我们曾考虑直接呈现卡莱尔的几何解法史料。这样，整道题在布局上更美观，但对学生的阅读理解能力要求更高。在关注学生能力差异的同时，考虑到这一环节是几何解法构图的核心，我们最终决定以列举特例的形式呈现，让学生在阅读理解的基础上，模仿书写，加深对构图的认识。如此，不仅降低了起点，也为学生深入研究打好了基础。

“越战越勇”环节，第一空从代数角度出发，已知根写方程;第二空从几何角度出发，模仿构图，利用相似求定点B的坐标。两空求解过程相对独立，但数据间关联度很大，让学生进一步感知二次项系数为1的一元二次方程中一次项系数、常数项与几何解法构图中定点B的坐标之间的对应关系。此环节不仅是对第一环节构图法的灵活应用，考查了学生的逆向思维，也为下一环节归纳一般化结论奠定了基础。

“破晓”环节是对前面两个环节解题感悟的显性呈现。学生可在前两环节特例的基础上猜想一般性结论，然后利用第一环节的构图法进一步确认结论的正确性，从而揭开卡莱尔几何解法的神秘面纱，也为二次项系数非1的一元二次方程的几何解法提供思考的方向。

“奔跑吧”环节中一元二次方程的二次项系数非1，可以利用转化思想将系数化为1。这一思想与教材中求根公式推导过程的第一步一致，引导学生回归教材，使其发挥应有的“范本”功能。

“乘风破浪”环节要求模仿构图确定一元二次方程，经过类比操作验证，让学生意识到定点A的纵坐标并非一元二次方程的二次项系数，同时产生新的问题：能否类似卡莱尔的几何解法，利用定点的坐标直接表示一元二次方程ax2+bx+c=0的根？给学生留下广阔的思考空间，将问题探究引向深处。

四、测评反馈

（一）整体数据分析

本题满分12分，考试均分2.50分。各小题（环节）的分值与得分率如表1所示。

第一环节正确率为74%，在预估范围内，说明大部分学生能理解题意，并能再现解题过程。第二环节正确率大幅下降，说明学生灵活运用以及逆向思考的能力不足;而第一空正确率低于第二空，有些异常，说明学生对已知根求一元二次方程这个相对独立的知识点掌握得不是很好。第三环节正确率与第二环节基本持平，可以看出学生从数到字母的过渡掌握得较好。第四环节正确率偏低，说明学生对第一环节中构图的适用条件不清楚，将系数化为1的转化意识淡薄。第五环节正确率与预估基本吻合，说明能够深刻理解并运用构图法的学生甚少。

（二）典型错误分析

第二环节和第三环节的典型错误如下页图6、图7所示。图6说明学生已关注具体数值的符号问题，但在已知根直接写一元二次方程的符号处理上有误。图7说明学生意识到一般情况下的符号问题，但是没有处理好符号的统一性问题。测试后，与出现图7所示错误的一位学生当面交流，发现该生误认为在第一象限是“-b”，那么在第二象限一定是“+b”，即忽略了b本身的正负性，于是分情况来表示。

第四环节的典型错误如图8、图9所示。这样的错误说明学生只是简单地模仿第一环节构图，误认为定点A的纵坐标对应一元二次方程的二次项系数，而没有将系数化为1。图9更是说明学生没关注到常数项的符号与定点B纵坐标的符号的关系，符号意识与应用意识有待提高。

第五环节的典型错误有选CD和选BC。这两种错误首先是选择了两个答案，与图6所示的错误有相同的认识误区。选CD说明学生没有重构卡莱尔的图形，想当然地认为定点A的纵坐标即为二次项系数。选项B和C的两个方程之间没有必然的联系，说明学生对卡莱尔几何解法的理解比较模糊。

五、讲评拓展

卡莱尔的几何解法将圆和x轴交点的横坐标与一元二次方程的解建立了对应关系。命制试题时考虑到结构因素，无法面面俱到，只呈现了圆和x轴有两个交点的情况，因此，对只有一个交点、没有交点的情况，可以在讲评时拓展。具体操作如下：

结合图1，引导学生初步感知：若点B的横坐标-b确定，当纵坐标c较大时，圆与x轴没有交点（如图10）;当纵坐标c取某一特殊值时，圆与x轴只有一个交点（如图11）;当纵坐标c较小或为负值时，圆与x轴有两个交点（如图12）。

六、反思

（一）数学史类试题命制的体会

如何命制以数学史料为背景的数学试题呢？可选用显性的重现式，也可选用隐性的改编式或迁移式。例如，李隽易的《数学文化题编拟研究》一文例6显性重现文化物品“鲁班锁”，通过设问引导学生运用所学几何知识探究鲁班锁这一新几何体的几何性质。再如，上文试题隐性“分解”改编卡莱尔的几何解法，分层设计，丰富内涵，在考查基本知识与基本技能的同时，揭示了数学问题的本质，加深了学生对数学史料的理解。

数学史类试题的命制还应注重挖掘和拓宽数学史料中的相关内容，突出数学文化的核心价值，也可尝试开放性探究。例如，卡莱尔的构图法适合二次项系数为1的一元二次方程，上文命题时，我们引导学生思考可否直接构图表示二次项系数非1的一元二次方程的根，从而在拓宽学生思维的同时，培养学生敢于提问、善于思考的品质，强化学生的探究精神。

（二）数学史类试题融入数学教学的体会

数学史对学生的数学学习有重要的促进作用。融入数学史类试题的数学教学中，数学史可为教师提供丰富的教学素材，可帮助学生“发现”新知识或新的思想方法。例如，上文试题引导学生“发现”了一元二次方程的图形解法;讲评时研究“一元二次方程的根”与“圆和直线的交点”的关系，直观形象的表示让学生眼前一亮，帮学生打开了思维的一扇窗;“系数化为1”回归教材的设计，引领学生用好教材，理解教材意图，发挥例题应有功能;进一步可引导学生查阅法国著名数学家笛卡儿、德国数学家斯陶特等的一元二次方程的几何解法，让学生欣赏与热爱数学。

参考文献：

[1] 汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版，2019.

[2] 张安军.“古为今用”数学文化融入中考试题命制剖析——以“一元二次方程”几何解法为例[J].中学数学杂志，2020（6）.

[3] 李隽易.数学文化题编拟研究[J].数学通报，2018（9）.