中立型随机时滞微分方程截断Milstein数值解的强收敛性

李 琛，尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

0 引 言

随着现代科学技术的迅速发展，中立型随机时滞微分方程(neutral stochastic delay differential equation,NSDDEs)已被广泛应用于化工和空气动力学等工程领域及人口动力学领域[1-4]。NSDDEs在系数满足局部Lipschitz条件、线性增长条件和中立项的压缩映射条件下存在唯一解[5]。但是,NSDDEs很难求精确解，一般用数值解近似代替精确解[6-7]，所以其数值解的研究也得到人们越来越多的重视。

在方程满足线性增长条件时，数值解的经典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法被广泛应用于微分方程的求解。这些形式的数值解一般会有较好的收敛性、稳定性等性质[8-11]。不过，当方程系数具有非线性特征时，这些性质会受到削弱，甚至数值解的收敛性也得不到保证。而截断思想可用于构建带有非线性系数方程的数值解。文献[12]首次引入截断Euler-Maruyama数值方法，用于研究随机微分方程；文献[13-14]进一步将其应用于随机时滞微分方程，使得数值解依矩强收敛于精确解，并且有较好的收敛率。但是，在很多领域仍然需要数值解有更高的收敛精度。文献[15]中首次引入Milstein方法用于研究随机微分方程，使其数值解有更高的收敛精度；文献[16-17]将此方法进一步引入带有高度非线性系数的随机微分方程。不过，带有非线性系数的NSDDEs在Milstein方法下是否收敛，还未有定论。本文将针对此问题加以研究，在使用与精确解相同假设的情况下，证明数值解是Lp强收敛的。

1 问题背景

向量x(t)、x(0)、ξ对应的集合表示分别记为x(t)、x(0)及ξ。

考虑非线性中立型随机时滞微分方程

(1)

初值为

x(0)={ξ(θ):-τ≤θ≤0}∈

式中：

f:C([-τ,∞)，Rn)×C([-τ,0]，Rn)→Rn

g:C([-τ,∞)，Rn)×C([-τ,0]，Rn)→Rn×m

f(x,y)、g(x,y)为方程(1)的非线性系数;N：Rn→Rn为中立项;

B(t)=(B1(t),B2(t),…，Bm(t))T

是m维布朗运动。

假设1(局部Lipschitz条件) 对任意给定的实数Z≥1，存在常数Lz>0，使得

成立

c1|x|r≤V(x)≤c2|x|r

(2)

∃λ>0和p>2，成立

LV(x,y)=(x-N(y))Tf(x,y)+

(3)

假设3(压缩映射) 存在常数a∈(0，1)，使得∀x，y∈Rn，成立

|N(x)-N(y)|≤a|x-y|

并且有N(0)=0，|N(x)|≤a|x|。

证明应用标准截断技术，由Lipschitz条件及压缩映射，对任给的初值，当t∈[-τ,τe)时，有一个局部最大解x(t)。设τe为爆破时间，且让k0>0充分大，使得

对任意的整数k>k0，定义停时

可以得到方程(1)的积分形式

x(t)=ξ(0)-N(ξ(-τ))+N(x(s-τ))+

(4)

再令k=a/(1-a)，由不等式 |x+y|p≤(1-k)1-p|x|p+k1-p|y|p及假设3,得

(5)

于是，由式(4)、(5)得

(6)

由假设2，Young不等式，对式(6)两边取期望E(·)，得

(7)

∀t∈[0,T]，式(7)右边的和是单调递增的。因此有

(8)

对式(8)用Gronwall不等式 ，可得

E|x(T∧τk)p|≤

这意味着kpP(τk≤T)≤C0。令k→∞，则

由于T是任意的，所以得τk=∞ a.s.，解的存在唯一性得证。同理可得

2 截断Milstein数值解及其强收敛性

|gi(x,y)|)≤φ(s)

(9)

式(9)中,设i=1,2，有

设φ-1是φ的反函数，φ-1:[φ(0),∞)→R+是一个严格增连续函数。存在常数Δ*∈(0,1)及一个严格减函数ψ：(0,Δ*]→(1,∞)，∀Δ∈(0,Δ*]，使得

(10)

由式(9)、式(10)，对给定的步长Δ∈(0,1)，定义截断方程

可以看出

φ(φ-1(ψ(Δ)))=ψ(Δ)

(11)

假设T=MΔ,τ=N*Δ，设置tk=tΔ，Y(0)=ξ(0)。定义离散的截断Milstein数值解为：当k=-N*,-N*+1，…，0 (N*∈N)时，Y(tk)=ξ(tk)。

当k>0时，

式中:

Bk=B(tk),ΔBk=Bk+1-Bk

定义连续时间Milstein数值解如下：当t∈[-τ,0]时，y(t)=ξ(t);当t>0时，

式中:

方程截断后的系数仍应满足假设2。为此,在假设2的基础上引入一个更强的假设:

假设4 设λ>0,p≥2，∀0

λ(1+|x|2+|y|2)

(12)

若令H=1，则式(12)退化为假设2。

定理1 若假设4成立，∀Δ∈(0,Δ*]，有

λ(1+|x|2+|y|2)

(13)

证明∀Δ∈(0,Δ*]，由式(10)得

φ-1(ψ(Δ))≥φ-1(ψ(Δ*))≥1

式(13)的证明分2种情况：

(ⅰ) 当|x|∨|y|≤φ-1(ψ(Δ))时，

(πΔ(x)-N(πΔ(y)))Τf(πΔ(x),πΔ(y))+

λ(1+|πΔ(x)|2+|πΔ(y)|2)≤

λ(1+|x|2+|y|2)

(ⅱ) 当|y|∨|x|>φ-1(ψ(Δ))时，由式(13)得

定理得证。

假设5(初值条件) 若存在常数K0>0，使得∀s,t∈[-τ,0]，有

|ξ(t)-ξ(s)|≤K0|t-s|

引理2 若假设1～3，假设5成立，∀Δ∈(0,1)，有

(14)

证明固定任给的Δ，存在唯一的整数k>0,使得tk≤t

由式(10)得,当Δ→0时，

即证得式(14)成立。

引理4 若假设1～3成立，对t∈[0,T]及∀T>0，有

(15)

证明固定任给的Δ∈(0,Δ*)，由It公式，Young不等式及不等式得

N(ξ(-τ))|p+

(16)

根据式(11)，Young不等式，对式(16)中的几个部分分开推导:

CΔp/2(ψ(Δ))2p≤

CΔP/2(ψ(Δ))2p≤

再根据引理3，式(10)、式(11)得

CTΔp/4(ψ(Δ))3p/2≤

CTΔp/4(ψ(Δ))3p/2≤

将以上各拆分部分带入式(16)，应用Gronwall不等式，得

(17)

同理可得

(18)

因为式(17)、式(18)对所有的Δ∈(0,Δ*]成立，引理得证。

引理4证明了NSDDEs截断Milstein数值解的矩有界性。最终定理需要利用方程数值解的相关停时，为此引理5、6将定义方程数值解的相关停时。

引理5 若假设1～3成立，对任给的实数Z>‖ξ‖,定义停时

σz=inf{t≥0:|x(t)|≥Z}

证明∀t∈[0,T]，有

引理6 若假设1～3成立，对任给的实数Z>‖ξ‖，定义停时

σΔ，z=inf{t≥0:|y(t)|≥Z}

证明：

(19)

由定理1，得

(20)

对式(20)右边分开推导

(ⅱ) 由式(9)得

(ⅲ) 由引理3得

CTΔ1/2(ψ(Δ))3≤C

将以上推导代入式(19)，由Gronwall不等式得

定理2 若假设1～5成立，当q∈[2,p)时，有

证明对停时σΔ，z，σz和x(T)，y(T)定义

θ:=σΔ，z∧σz，eΔ(T):=x(T)-y(T)

由Young不等式，∀δ>0，成立

(21)

由定理1，引理2，得

E|eΔ(T)|p≤C

(22)

由引理3，引理4，得

(23)

将式(22)、(23)代入式(21)，得

E|eΔ(T)|q≤E(|eΔ(T)|qI{θ>T})+

(24)

定义截断函数如下:∀x,y∈Rn，有

假设Δ*足够小，使得φ-1(ψ(Δ*))≥Z，∀Δ∈(0,Δ*)。当|x|∨|y|≤Z成立时,有

对初值η(t)∈C([-τ,0],Rn)，设

(25)

由假设1，得到Fz(X(t),X(t-τ))，Gz(X(t),X(t-τ))关于Lz是Lipschitz连续。当t≥0时，式(25)存在一个唯一全局解X(t)，即有

x(t∧σz)=X(t∧σz)

(26)

(27)

由文献[12]中的结论

有

(28)

将式(26)、式(27)代入式(28)，成立

因此有

E(|eΔ(T)|qI{θ>T})=

E(|eΔ(T∧θ)|qΙ{θ>T})≤

定理2得证。

3 数值模拟

考虑如下中立型随机泛函微分方程

设置初值为x(0)=ξ={cosθ+M:-1≤θ≤0}。

利用Matlab软件模拟了中立型时滞微分方程截断Milstein的数值解,结果如图1所示。图1中分别设置M为5(红色)和10(蓝色)。对于红色线段图，Δ=2-12，时滞为1。当t=4 097Δ时首次低于-3，发生截断。

图 1 中立型随机时滞微分方程截断Milstein数值解Fig.1 Truncated Milstein numerical solution of NSDDEs

4 结 语

本文研究了中立型随机时滞微分方程的数值解,用Milstein方法分析,说明了解析解的强收敛条件。通过一系列技巧对中立项及时滞项进行处理，最终得到截断Milstein数值解仍将保持强收敛的结论。由于篇幅的原因，后续将进一步发表其收敛阶数接近于1,并且将进一步研究其稳定性的条件与相关性质。