浅析解析几何课程的“挑战度

[摘要]利用“两性一度”建设大学“金课”是教育部对大学课程的要求。本文以《解析几何》课程中的轨迹方程知识点为出发点，浅析了如何利用全国大学生数学竞赛提高课程的挑战度的方法，对一个轨迹方程例题的教学设计进行了分析，阐述了如何在教学中提出挑战，引导学生完成挑战的思路。

[关键词]轨迹方程两性一度挑战度教学设计

[中图分类号]G64

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3089（2021）17-0126-03

淘汰平淡无奇的“水课”，努力将课程提升至“金课”，是教育部在第十一届中国大学教学论坛上提出的重要指导方针。而“金课”的打造，离不开课程的高阶性、创新性和挑战度。对于大学数学专业基础课程《解析几何》来说，也急需提升课程的含金量，提升课程的挑战度，让学生在学习基础知识的过程中，不仅仅对于课本的一般内容熟练掌握，还能让他们遇到跳一跳才能解决的问题，并且让学生能够主动跳一跳来解决难题。

《解析几何》是大学数学類相关专业的专业基础必修课，针对的是大学一年级刚刚迈人大学校门的学生。课程的主要内容是，在中学二维几何图形理论的基础上，介绍利用向量的基本理论，建立空间坐标系，进而建立空间二次曲面方程，利用方程研究空间图像的性质，为《数学分析》《高等代数》课程提供空间图形的方程表达，是一门承上启下的重要课程。为了解决提升课程挑战度这个难题，其实是给任课老师出了一个有挑战度的难题，一方面是从哪里找这样的难题，一方面是如何调动学生的学习积极性的问题。

本文以如何建立空间点的轨迹方程为例，介绍如何在课本基础知识上，结合全国大学生数学竞赛提出提高《解析几何》课程的挑战度。

1.教学内容和目标

《解析几何》的教学内容包含：（1）向量的基础理论;（2）直线与平面;（3）曲线与曲面。其中，向量的基础理论主要介绍建立轨迹方程的主要工具，包含向量积、数量积和混合积：之后利用向量工具，建立空间的线面方程，所以《解析几何》的主要内容就是建立轨迹方程。

我们的教学目标设定为：

（1）通过空间轨迹方程的建立，掌握空间向量的基础理论，理解空间直线和平面在建立空间曲面方程中的作用，掌握建立空间轨迹方程的基本方法，了解方程组消去参数的基本思路和方法。（2）通过建立空间曲面的轨迹方程，学会在已有图形的基础上建立坐标系的基本方法，并且与平面方程的建立方法比较，掌握建立轨迹方程的基本思路和解题的入手点，提高分析和解决问题的能力。（3）建立轨迹方程过程中，介绍其方法与《高等代数》《数学分析》等课程中的相关知识的关系，引入空间基本思维，提高空间想象能力，充分激发学生的学习积极性和主动性。

2.教学方法

将《解析几何》中建立轨迹方程这个知识点与相关课程紧密联系，与竞赛相辅相成，用到了课本的理论又高于课本的难度，让学生做的到能分析、会方法，这样的课程既有挑战度，又能完成挑战度，是最佳状态，我们以此为依据设计教学方法。

2.1引入时承上启下

《解析几何》课程的知识体系连贯，不像其他课程星罗棋布的知识点，《解析几何》课程就是向量、平面直线、曲线曲面这一条主线，只要抓住主线就能学好课程，而轨迹方程就是最后的一个知识点，它用到了以前几乎所有的基础理论知识。所以“承上”就是利用轨迹方程这个最后的知识，将以前的向量数量积、向量积和混合积、直线的表达、直线平面的基本关系等相关知识点再次梳理，做到温故知新。

轨迹方程就是建立几何图形的方程，而《解析几何》中的几何图形又是《数学分析》的研究对象，在计算重积分中必须用到三维图形的解析表达，同时建立轨迹方程出现方程比较复杂（出现交叉项）时，又需要用到《高等代数》中的二次型理论进行化简，才能最终确定曲面的最简方程。所以“启下”就是利用轨迹方程与相关课程的联系，让学生掌握跨课程的知识体系，把相关课程知识点连成知识体系网。

2.2抓住重点剖析解题方法

建立轨迹方程的重点，就是建立方程组。空间曲面的轨迹方程只有一个，但是利用已知条件，往往不能直接得到这个目标方程，必须先建立方程组。也就是利用向量工具和直线平面的相关知识，找到轨迹上任意点满足的方程，必要时引入参数，建立方程组后消去参数。对于这个解题方法，应该引导学生从中学建立二维平面上的椭圆的方程，过度到三维的平面和球面方程，冉过度到三维一般的轨迹方程，让学生从中自主总结，剖析这些方程的建立过程的共同点和不同点，掌握建立轨迹方程的主要方法，提升分析和解题能力。

2.3找准难点探讨解决思路

因为每个题目解题过程中遇到的情况不同，可以利用比较的办法，让学生从简到难，找到引入参数的必要性，从而掌握在必要的时候，自然地引入参数，得到轨迹方程组，进而消参得到轨迹方程。近年来，关于轨迹方程的大学生数学竞赛的题目都具有引入参数，消去参数的特点，让学生扎实掌握这个难点，有助于学生学好用好轨迹方程的构造方法，进而完成有挑战度的习题的解答。并且，当学生突破了解题的难点时，他们的学习积极性和主动性将会大大提升。

3.教学设计

我们以2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛，数学专业组（B卷）的第一题为例，介绍如何提出挑战度的习题，引导学生完成挑战。“设L，和L2是空间中两条不垂直的异面直线，点B是它们公垂线的中点，点A，和A2分别在L和L2上滑动，使得AB和AB垂直，证明直线AA2的轨迹是单叶双曲面。”

3.1分析已知条件，找到课本的相似知识点

我们可以通过分析，让学生了解，轨迹方程就是与之前学习的旋转面方程的建立相同，标准解题步骤是利用已知条件，引入参数，建立曲面上任一点满足的方程组，消去参数，即可得到想要的方程，最后如果得到的方程不是标准方程，可以利用《高等代数》中的二次型配方为标准形，即可判断得到的轨迹方程是单叶双曲面。

3.2找到难点，重点突破

观察题设已知条件，我们需要首先假设已知的异面直线，建立坐标系，才能进行标准步骤。这个是这个题目的难点，以前学生都没有先建立坐标系的概念。为了提高挑战度，我们可以给学生建立两种坐标系，第一种是利用公垂线作x轴，公垂线的中点B作原点，两个直线与z轴的夹角相同，于是我们得到了一对对称的异面直线。第二种是利用已知直线L1作z轴，公垂线作x轴，那么我们得到了z轴和过x轴的直线是一对异面直线。由于第一种的异面直线是对称的，所以得到的轨迹方程关于原点对称，是一个标准的单叶双曲面，直接可判断。

第二种坐标系中，由于轨迹的对称中心B点在x轴上，所以得到的轨迹方程不是标准方程，方程中会有干扰项，那么可以引导学生利用二次型化标准型的思路，化为标准方程，给出判断，这也是这个题目的难点。

3.3梳理解题过程，从难题中找基础

除了上述建立坐标系和最后非标准方程标准化之外，其余解题过程都是基础理论，学生能在掌握课本基础知识的前提下，独立完成求解。求解过程，其实就是基础知识的复习和巩固的过程。并且求解不用拘泥于答案本身，可以提出多个解法，进一步提高解题的挑战度。

（1）利用直线L的参数方程表达直线上的一点A，那么点A等价与参数t，则两个直线就有两个t作为引入的参数。（2）AB和AB垂直就是向量的数量积等于零，则得到了关于参数的方程：（3）利用直线AA2的直线方程，得到轨迹上任一点一定满足直线方程，得到AA2直线方程就是关于参数的另外两个方程。（4）利用上述列出的三个方程，消去两个参数t，即可得到轨迹方程。

综上，在解题中，用到了数量积、直线方程、消去参数等基础知识，学生在分析计算过程中，掌握建立坐标系和化非标准方程这种课本上没有的知识，达到了提高课程挑战度的要求。

4.反馈调查

“以学生为中心”的课程知识点设计思路，是为了让学生学以致用，真正学到东西。我们在利用竞赛题进行挑战度设置的教学改革之后，对学生进行了调查，得到如下结果：

（1）学生首先对《解析几何》课程的理解更加深刻了，课内的知识作基础，竞赛的题目作检测，学生更能了解自己的学习进度和学习质量。（2）学生改变了“要我学”的学习思路，有全国大学生数学竞赛作为激励，大家都想在竞赛上一展身手，学习转变为“我要学”，提高了学习的积极性和主动性。（3）成绩有提高，我们通过日常的教学管理改革，加入了在线测试及其单元测试和竞赛测试不同难度的测试环节，让课程的过程考核体现到期末总成绩之中，使得学生的学习从以前的考前突击，到现在的一直学习，让学习成绩有了比较大的提高。

5.总结

通过《解析几何》的“两性一度”为指导方针的教学改革，我们利用全国大学生数学竞赛试题作为提高挑战度的方法，提高教学质量，将挑战融入课堂教学和课后测试具体环节，使得老师教学有了挑战度，学生学习有了挑战度，在教师和学生的共同努力下，课程的建设上了一个新台阶，学生的发现问题、分析问题、解决问题的能力有了很大提高。

参考文献：

[1]吴岩.建设中国“金课”[J].中國大学教学，2018，340（12）：6-11.

[2]吴凡.中美研究型大学本科生学业挑战度的比较研究[J].中国大学教学，2012（10）：92-96.

[3]丘维声编.解析几何（第三版）[M]北京：北京大学出版社，2015：93-99.

[4]胡源艳.一道全国大学生数学竞赛试题的若干解法及推广[J].大学数学，2013，29（5）：127-129.

作者简介：

李光云（1981年-），男，回族，广西桂林人，理学硕士，讲师，主要研究方向：微分方程动力系统。