浅谈模型化思想在高中数学中的应用

【摘 要】数学模型是指能够体现数学研究对象本质特征的一种数学结构。在高三立体几何复习中，运用长方体、转化与化归、“三段论”、空间坐标系与向量等模型可以有效解决学生长期存在的“老大难”问题，提升学生解决问题的能力和素养。

【关键词】模型化思想;高中数学;立体几何

立体几何问题是高考数学的重要内容，承载着对直观想象、数学抽象、逻辑推理等学科核心素养的考查。实际上，大部分学生解决立体几何问题时都会遇到或多或少的障碍。在高三复习中，如何科学而高效地解决学生长期存在的“老大难”问题，是数学教师在课堂上必须面对的教学“重点”与“难点”。

1   数学模型

随着学习的逐步深入，数学模型对学生思维和能力的要求越来越高。高中数学出现了“函数与导数”“立体几何”“圆锥曲线”“统计和概率”等数学模型。《普通高中数学课程标准（2017年版）》认为“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”，并将“数学建模”作为高中数学核心素养的重要组成部分[1]。

2   立体几何中的数学模型

立体几何主要解决空间内的两大类问题，一类是点、线、面之间的位置关系问题，一类是距离和角的计算问题。不少学生对有关概念、公理、定理等基础知识理解不到位，有时候甚至分不清已知条件与结论、判定定理与性质定理的区别。

2.1  运用长方体模型，培养学生的直观想象能力

平行与垂直关系是立体几何中非常重要的位置关系，同时也是高考的热点内容之一。以垂直关系为例，可以设置如下问题。

问题1：已知正方体A'B'C'D'-ABCD（见图1），①与AB垂直的直线有哪些？②与AB垂直的平面有哪些？③与平面ABCD垂直的平面有哪些？④你能找到与AC垂直的平面吗？⑤与AC垂直的直线有几条？⑥你能找到几个平面与平面BDD'B'垂直？⑦能否在图中找到一条直线使它与平面ACD'垂直？

将本题作为复习题引入，从线线垂直关系入手，引导学生通过直观感知、逻辑推理的方法，运用正方体的定义探究棱、面对角线、体对角线与底面（侧面）、对角面（截面）之间存在的垂直关系。这样不但复习了空间内线线垂直、线面垂直、面面垂直等位置关系的定义、判定定理与性质定理，而且为进一步探究立体几何综合问题打下了一定的基础。

2.2  运用转化与化归模型，证明平行与垂直关系

转化与化归是数学中非常重要的思想方法。一个新问题往往可以通过化繁為简、化难为易等途径得到解决。对于立体几何图形，平面几何的结论不一定成立。如果能将立体几何问题转化为平面几何问题，解决问题的难度就会下降。

问题2：如图2，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2AB=2BC。

①若E为PD的中点，求证CE∥平面PAB;②求证平面PAD⊥平面ABCD。

分析：对于①问，根据线面平行的判定定理，要证CE∥平面PAB，只需证CE与平面PAB内的一条直线平行，从而将空间内的线面平行问题转化为平面内的线线平行问题。取AP中点F，则EF∥AD，BC∥AD，EF∥BC，可得CE∥BF，问题得证。

对于②问，根据面面垂直的判定定理，要证平面PAD⊥平面ABCD，只需证平面PAD（或平面ABCD）经过平面ABCD（或平面PAD）的一条垂线，从而将面面垂直问题转化为线面垂直问题。根据线面垂直的判定定理，只需在平面PAD内找到两条直线与AB垂直，从而将线面垂直问题转化为平面内的线线垂直问题。由∠BAD=90°，AB⊥PA，可得AB⊥平面PAD，问题得证。

无论是证明平行问题还是证明垂直问题，往往需要在空间内进行线线、线面、面面之间位置关系的转化。转化的路径主要有两种：一是线线平行、线面平行、面面平行关系之间的转化;二是线线垂直、线面垂直、面面垂直关系之间的转化。简单问题转化一次即可，复杂问题则需要多次转化。

2.3  运用演绎推理中的“三段论”模型，培养学生的逻辑推理能力

数学是一门严谨的科学，得出的结论都要经过严格的证明。正是这种严谨性，使数学学习成为训练学生逻辑推理技能、提高思维能力的有效途径[2]。本质上，证明就是运用规范的数学语言和严谨的逻辑推理对数学问题的思维探究过程进行表达与交流。

“三段论”是演绎推理的一般模型，包括“大前提”“小前提”和“结论”。在证明的过程中，先要注意选取合适的定理、公理等“大前提”作为推理依据，然后从已知条件中寻找“大前提”成立所要求的全部条件，最后得到推理结论。

问题3：如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面 ABCD ，E为 AP 中点，PC=PD。求证BC⊥平面PCD。

有的学生根据“平面PCD⊥平面ABCD”就推出“BC⊥PC”。这里的错误在于：推理过程缺乏必要的逻辑依据，对面面垂直的性质定理的前提条件、适用范围不明确。

方法一：利用面面垂直的性质定理，找与两个面的交线垂直的直线。“三段论”思维过程见图4。

方法二：利用线面垂直的判定定理，找两个线线垂直关系。取CD中点O，由平面PCD⊥平面ABCD，易证PO⊥平面ABCD，得BC⊥PO，又BC⊥CD，问题得证。

2.4  运用空间坐标系与向量模型，灵活解决立体几何问题

综合法与向量法是解决立体几何问题的有效手段。综合法以公理、定理等结论为依据，通过严谨的逻辑推理达到定性证明和定量计算的目标。向量法以具体的数值运算为手段，将空间图形问题转化为向量运算问题。二者并没有严格的边界，可根据需要选择不同的方法。

问题4：如图5，在棱长为2的正方体A'B'C'D'-ABCD中，E、F、G分别是棱AB、BC、CC'的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D'P与平面EFG不存在公共点，则ΔPBB'面积的最小值为________。

分析：直线D'P与平面EFG不存在公共点，即D'P∥平面EFG。

由于BB'⊥BP，要求ΔPBB'面积的最小值，只需求BP的最小值。

方法一（综合法）：连接AD'、CD'、AC，易证AC∥EF，FG∥AD'，得ACD'∥平面EFG。因D'P∥平面EFG，则点P在直线AC上。点B到AC距离最小值为BD长度的一半，故ΔPBB'面积的最小值为。

方法二（向量法）：以D为原点，分别以DA、DC、DD'所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易知平面EFG的法向量为，故m=1时，BP有最小值，求得ΔPBB'面积的最小值为。

在高三复习中，合理利用数学模型不仅能使学习效果事半功倍，而且能提升学生解决问题的能力和综合素养。事实上，不仅是立体几何问题，其他数学问题也存在模型化的方法：发现问题—提出问题—分析问题—解决问题。较复杂的问题可以被分解成较易解决的小问题，小问题的解决有助于最终解决较复杂的问题。在特定的问题情境中，从发现问题、提出问题、分析问题到解决问题也就是一个相对完整的问题解决过程。在一定的条件下，还会发现新的问题或设置新的问题情境，从而进入下一个问题的解决过程，这样学生对数学问题的思考会不断深入、对数学规律的认识会不断升华。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]人民教育出版社.数学选修（A版）4-1：几何证明选讲[M].北京：人民教育出版社，2007.

【作者简介】

韩艺通（1973～），男，北京市大成学校教师，研究生，一级教师。研究方向：高中数学。