基于U变换的单片梁抗弯刚度识别分析

杨雨厚　谭锋

摘要：为识别单片梁抗弯刚度，文章基于U变换法，将梁体均匀分段并扩展，构造一个等效的循环周期结构系统，在外加力的作用下建立控制方程，再对控制方程应用U变换法推导出任意位置截面转角的表达式，建立关键截面转角与单片梁抗弯刚度之间的关系方程组，反向求解出梁体抗弯刚度值，并在此基础上，通过数值模拟方法验证了该识别方法的可靠性。

关键词：单片梁;转角;抗弯刚度;U变换

0 引言

预制拼装梁是中小桥梁采用的主要桥型[1-4]。针对该类型桥梁的质量控制，在梁场进行单片预制梁静载试验是常被采用的检验方法。然而，目前单梁静载试验方法[5-8]虽采集了大量数据，但仅是与理论值进行对比来判断梁体质量，隐含在数据中的大量信息未被充分挖掘出来。基于此，本文探索采用新方法从静载试验数据中得到更多结构信息。

U变换法被广泛应用于周期结构的分析研究[9-10]，具有给出结构控制方程相应的精确解析解的优点，是循环周期结构理论分析的一种可靠手段。本文采用有限元法和U变换法综合进行分析研究。为构造具有结构上循环周期性的等效系统，需对单片梁进行对称扩展。同时为求得降阶后的用广义位移表示的控制方程，需依据有限元法给出结构的控制方程，通过U变换法对挠度、转角变量进行变换。进一步地，以集中荷载作用下的单片梁为例，推导出任意位置截面转角的表达式。最后，结合桥梁关键部位的结构位移，推导出实际桥梁的刚度值与具体集中力值的大小。

1 理论推导

一片材质均匀的等截面简支单片梁，其长度为L，采用有限元“分割”的思想对其进行等分，划分为n个相同单元，每个单元的长度均为a。通过对单片梁的划分，可以把其等效为有n个子系统的周期性结构，j表示单元的编号，f1、f2…fn表示单片梁所受的荷载，如下页图1所示。

U变换法需要在图1所示的简支单片梁基础上，构造一个等效的循环周期系统。首先去掉简支梁右边的支座，再在右边支座处进行结构扩展，在扩展结构上作用与原结构反对称的荷载，构造出拥有2n个子系统的周期性结构，如图2所示。在构造出的新结构中，其左半边梁和原结构的边界条件、荷载情况和结构属性完全一致，因此图2结构是图1简支梁的等效结构。当单片梁划分的单元数n→∞时，扩展结构的左右两端可以看作相互连接在一起，从数学的角度来说，图2结构是左右两端相互连接在一起的具有2n个子结构的循环周期结构。

为求解控制方程，先做以下假设：

（1）已知荷载作用在每个单元的中间，并关于单元正对称;

（2）分段内每个单元的抗弯刚度相等;

（3）不考虑质量损伤。

对于划分n个等长度单元后的简支单片梁，第j1个单元中心（a1=a2）受到集中力作用，如图3所示。

通过式（25），可以求解出单片梁划分的任意单元的左节点位移（包括挠度和转角）。

2 转角系数与平衡方程的确定

2.1 通用平衡方程的确定

一片材质均匀的等截面简支单片梁，其长度为L，划分为n个相同单元，在各个单元跨中截面位置分别施加任意大小的集中力，如图4所示。根据线性叠加原理，则有下式成立：

2.2 实例分析

设单片梁为C50混凝土简支梁，截面宽和高均为0.10 m（截面抗弯刚度数值为287.5 kN·m），计算跨径为4.00 m。从上节理论推导可知，结构中某单元左右两端的位移受到力作用位置以及荷载大小的影响。本节先讨论作用在简支梁某单元上的集中力对各个单元左右两端位移的影响。将单片梁按计算跨径四等分，在各个单元跨中截面位置分别施加1 kN的单位集中力，通过U变换法计算此时梁支点及四分点截面转角值。结构受力图见图5。为求解不同单元位置力对节点位移的影响，通过式（25）由mathematica求解出关于EI（该梁抗弯刚度）的各节点转角位移，详见表1。

3 有限元数值方法验证

根据上一小节的介绍，使用通用程序建立有限元计算模型，分别考虑在单个力、两个力、多个力作用下的荷载工况。在已知单片简支梁总的作用力，以及有限元求得各个节点转角的基础上，代入式（27）来验证U变换法的可行性。

3.1 单个力作用时有限元数值方法验证

在3 #单元跨中作用0.7 kN的力，通过有限元方法计算此时梁划分单元的各个节点的截面转角值。结构受力图见图6。

在单个力的作用下，采用U变换法通过mathematica求解得到的抗弯刚度值和3 #单元跨中集中力的大小分別与有限元模型中设置材料的抗弯刚度值和施加的力值相对误差为+0.19%、+0.19%，验证了U变换法是有效且准确的。

3.2 两个力作用时有限元数值方法验证

在2 #、4 #单元跨中分别作用0.5 kN和0.8 kN的力，通过有限元方法计算此时梁划分单元的各个节点的截面转角值。结构受力图见图7。

在两个力的作用下，采用U变换法通过mathematica求解得到的抗弯刚度值与有限元模型中设置材料的抗弯刚度值相对误差为+0.15%，2 #、4 #单元跨中集中力的大小与有限元模型中施加的力值大小相对误差分别为+0.20%、-0.17%，验证了U变换法是有效且准确的。

3.3 多个力有限元数值方法验证

在1 #、2 #、3 #和4 #单元跨中分别作用1 kN、0.5 kN、0.7 kN和0.8 kN的力，通过有限元方法计算此时梁划分单元的各个节点的截面转角值。结构受力图见图8。

在多个力的作用下，采用U变换法通过mathematica求解得到的抗弯刚度值与有限元模型中设置材料的抗弯刚度值相对误差为+0.03%，1 #、2 #、3 #、4 #单元跨中集中力的大小与有限元模型中施加的力值大小相对误差分别为+0.08%、-0.15%、+0.24%、-0.21%，验证了U变换法是有效且准确的。

4 结语

本文采用U变换法，对单片等截面简支梁进行了解析分析，推导出单片梁在集中力作用下各个节点位移的解析表达式，提出了一种基于静力荷载作用下测试转角的抗弯刚度识别方法。同时，以某一片简支单梁为例，采用U变换法通过mathematica计算出各个节点的转角系数，然后采用平衡方程求解得到作用力的大小和单片梁的抗弯刚度，并利用有限元模型验证了该方法的可靠性。U变换法具有清晰的理论基础，不须知道单片梁的材料特性、配筋和截面尺寸等，只需提供单片梁在集中荷载作用下的实测转角值，即可求出该梁的抗弯刚度。集中力的数量对抗弯刚度的识别有一定影响，识别误差随集中力数量的增加而减小。该方法可用于单片梁静载试验的结果评估，下一步将探索该方法在变截面梁中的应用。

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