概率分析和结构计算的大坝变形监控指标拟定★

李延卓 李姝昱

(黄河水利委员会黄河水利科学研究院，河南 郑州 450003)

0 引言

典型监测效应量的小概率法虽然在实际的大坝安全变形监测工作中会经常使用，但是该方法在分析典型监测效应量的概率密度函数时，会产生不确定性。针对这一问题，研究了以信息不确定性最小、概率密度函数熵最大为依据的最大熵法，应用信息熵中的最大熵原理，得到精度较高的最大熵概率密度函数，进而拟定监控指标。而考虑到通过概率分析拟定监控指标时没有定量联系强度和稳定控制条件，也未能联系大坝的结构特性。因此，将结构Em=F-1(E,α)计算和概率分析相结合，研究了大坝变形监控指标拟定的混合法，即通过结构计算确定监控指标的水压分量；根据实测资料，建立变形的混合模型，得到一定概率水平下的温度分量极值和时效分量，从而拟定出更具有物理意义的大坝变形监控指标。

1 变形安全监控指标拟定的最大熵法

美国工程师Shannon提出“信息熵”这一概念[2]，他将事物可能出现的状态或结果称为信源，一个离散的信源X可以表示为：

信源X是随机变量，X取xi的先验概率为pi。将信源X不确定性的测度定义为信息熵H(x)：

(1)

若为连续型随机变量，熵的计算公式如下：

(2)

其中，f(x)为连续型随机变量x的概率密度函数。

由熵的最大值的原理，熵的最大值的计算公式如下[3,4]，即：

(3)

为了求得熵H(x)的最大值，引入Lagrange乘子λi作目标泛函数：

(4)

然后，根据驻值条件∂L/∂f(x)=0，则有：

(5)

可解得：

(6)

该式即为最大熵概率密度函数的解析形式。

要得到随机变量x的最大熵概率密度函数，就需要求解出式中的n+1个拉格朗日系数，即求解以下(n+1)个非线性方程：

(7)

可通过牛顿迭代法来求解该非线性方程组。

由牛顿迭代法求出随机变量x的最大熵概率密度函数f(x)，xm为监测效应量的极值，当x>xm或x

(8)

(9)

在求得f(x)后，拟定安全监控指标xm的主要问题就是确定失效概率Pα，通常根据大坝重要性取为1%～5%，采用插值法求得Pα对应的变形安全监控指标，即：

xm=F-1(x,α)

(10)

2 变形安全监控指标拟定的混合法

采用结构分析法计算得到监控指标对应的水压分量δHm；同时通过有限元计算和实测值分析建立混合模型，分离出温度分量样本，采用典型小概率法或最大熵法求得一定概率水平下的温度分量极值δTm；时效分量δθm则是由混合模型直接计算得到。在实际应用时，结构分析法和混合

模型得到的位移都是相对于初始状态的相对值，因此拟定的监控指标还需要加上初始状态的位移δ0，具体表达式为：

δm=δHm+δTm+δθm+δ0

(11)

2.1 基于结构分析法的水压分量确定

根据大坝安全条例和监测规范中关于大坝安全状态和大坝结构性态的分类方法，相应地将变形安全监控指标划分为一、二、三级[5]。结构分析法拟定变形监控指标时，主要以强度和稳定性作为控制条件，并且不同级别的监控指标具有不同的控制条件，详见表1。

表1 不同等级监控指标控制条件

采用混合法拟定变形监控指标，水压荷载一般选取的是设计考虑的工况。对于混凝土坝，选取特征水位计算水压分量时，计算出特征水位下关键部位的应力、滑动面的滑动力等，根据表中各级监控指标强度和稳定的控制条件判断是否满足要求；最后通过结构计算得到对应级别变形监控指标的水压分量δHm。

2.2 基于混合模型的温度分量极值确定

考虑到在工程实际中确定与设计等级相对应的最不利温度荷载工况比较复杂，根据变形的实测资料，建立变形的混合模型，即:

(12)

其中，δH为水压分量；X为调整系数；δT为温度分量；Tk为周期谐波因子或观测日前期实测气温的平均值；δθ为时效分量。

通过对实测位移资料的分析，从建立的混合模型可分离出温度分量，选取不利温度荷载组合时的温度分量Xmi，则Xmi为随机变量，由监测资料序列可得到一个温度分量的样本空间(子样数为n)：{Xm1,Xm2,…,Xmn}。采用典型小概率法或最大熵法，确定温度分量的分布类型或最大熵概率密度函数从而得到一定概率水平Pα(α)下温度分量的极值δTm。

2.3 基于混合模型的时效分量确定

采用混合法拟定变形监控指标时，时效分量同样是通过混合模型来获得，即根据最近分析时段的监测资料建立变形的混合模型，分离出时效分量，当测值稳定且无明显趋势性变化时，可取初始日至监测资料系列最后一天的时效分量作为δθm。

3 实例分析

某枢纽工程大坝坝型为混凝土重力坝，最大坝高113.0 m，坝顶全长308.5 m。水库正常蓄水位173.0 m，设计洪水位174.76 m，校核洪水位177.80 m。大坝坝体共分为6个坝段，自左向右依次命名为1号～6号坝段，其中1号、2号、5号、6号坝段为挡水坝段，3号、4号坝段为溢流坝段。选取2号非溢流挡水坝段以及4号溢流坝段作为典型坝段，对2003年—2008年坝顶水平位移的垂线监测资料进行分析。

3.1 典型小概率法

选取每年的变形最大值δmi作为典型监测效应量，见表2。采用典型小概率法得到，2号、4号坝段坝顶水平位移最大值服从正态分布，对应于α=5%的监控指标见表3。

表3 典型小概率法拟定的安全监控指标 mm

3.2 最大熵法

同样选取2号和4号坝段坝顶水平位移的年变形最大值作为典型监测效应量，采用牛顿迭代法，得到各典型坝段坝顶水平位移年最大值的最大熵概率密度函数，求出不同失事概率下的变形安全监控指标，如下：

2号坝段坝顶水平位移最大值的最大熵概率密度函数为：

f(x)=exp(-2.068 075 8+1.363 385 8x-

0.431 906 4x2+0.000 375x3+0.000 000 04x4)。

根据δm=F-1(x,α)，求出当失效概率α=5%时，对应的安全监控指标δm=3.359 mm。

4号坝段坝顶水平位移最大值的最大熵概率密度函数为：

f(x)=exp(-9.011 408 34+5.892 724 7x-

1.015 403 4x2-0.000 986 2x3+0.000 000 1x4)。

根据δm=F-1(x,α)，求出当失效概率α=5%时，对应的安全监控指标δm=4.028 mm。

3.3 混合法

该坝为混凝土重力坝，在选择最不利荷载组合时应满足的条件为：坝踵处不出现拉应力，坝趾处压应力不超过容许值，坝基面抗滑稳定满足设计要求。对典型坝段的强度及稳定进行复核，计算典型坝段在设计洪水位工况下，坝踵、坝趾处的垂直向正应力以及坝基面的抗滑稳定系数K，典型坝段有限元模型如图1所示，计算时选取的材料参数见表4，结果见表5。

表4 典型坝段的材料参数

表5 设计洪水位下典型坝段强度及稳定复核计算结果

根据表4，表5可知，设计洪水位时，典型坝段的强度和稳定均满足要求，在拟定变形监控指标时，水压分量选取设计洪水位对应的坝体位移。根据实测资料建立坝顶位移的混合模型，分离出温度分量，根据每年坝顶水平位移最大值出现的时段，得到温度分量的样本空间。经K-S法检验，选取的2号坝段温度分量样本服从正态分布N(0.586，0.282)；4号坝段温度分量样本同样服从正态分布N(0.987，0.134)。采用典型小概率法计算出pα=5%下2号和4号坝 段温度分量极值δTm分别为1.048 mm和1.207 mm。从建立的混合模型中分离出时效分量，通过对时效分量的分析得出，2号和4号坝段的时效变形已趋于稳定，因此选取初始日至监测资料系列最后一天的时效分量作为δθm用于拟定水平位移监控指标。根据结构计算和位移混合模型中各分量的分离结果，由式(11)拟定典型坝段坝顶水平位移的安全监控指标见表6。

表6 基于混合法的各分量值及监控指标拟定 mm

3.4 几种方法的分析和比较

通过分析和比较典型小概率法、最大熵法以及混合法拟定的典型坝段坝顶水平位移监控指标，可以看出：

1)典型小概率法和最大熵法定性对强度和稳定不利荷载组合所产生的效应量进行分析，即都是对典型监测效应量(每年位移的极大值)直接进行分析。两种方法拟定的监控指标值较为接近，也证明了最大熵法拟定监控指标的可行性。但这两种方法拟定的监控指标只是现行荷载条件下的极值，即是一个警戒值，而想得到符合实际的监控指标，还需要有长期的监测资料，且要包含真正遭遇的较不利荷载组合。

2)采用混合法拟定监控指标时，将结构计算和概率分析结合起来，定量联系了大坝强度和稳定的控制条件。将设计洪水位下结构计算得到的水平位移作为监控指标的水压分量，同时由混合模型确定了在一定概率水平下的温度分量极值，充分考虑了不利荷载的叠加组合，拟定的监控指标值也明显大于小概率法和最大熵法得到的结果，可作为该坝的变形监控指标。

3)这三种方法在拟定变形安全监控指标时，均用到了失事概率pα(α)，但α的取值目前还没有明确的规范规定，因此在根据大坝的重要性确定α值时带有一定的主观经验性。

4)无论是典型小概率法、最大熵法还是混合法，拟定大坝变形监控指标时都是依据现有的监测资料，对其抵御未来荷载的能力进行估计。在实际运行中，坝体和地基抵御荷载的能力在不断变化，根据大坝的具体情况，及时修正现有的安全监控指标，并及时做好监测资料整编分析，确保大坝正常运行。