基于创新能力培养的“矩阵论”课程教学改革探索

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摘    要：“矩阵论”课程是一门关系到工科研究生培养质量的核心基础课程。为了有效培养研究生应用矩阵理论解决工程实际问题的能力，提高“矩阵论”课程服务创新型研究人才培养的水平，针对西安邮电大学“矩阵论”课程存在的具体问题，围绕教学内容、教学方式等方面提出一系列“轻数学技巧，重工程应用”的具体改革措施。

关键词：“矩阵论”;创新;研究生;工程应用;Matlab

中图分类号： G642      文献标识码：A      1002-4107（2021）02-0080-02

根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》规定，大力改革我国高等教育，培养高素质人才将是未来一段时间我国教育改革的重点[1]。作为教育的高层次——研究生教育，应该是与知识的生产、发展、运用、创新密切相关的教育层次，着重点应放在知识发展、创新的直接作用上[2]。

作为一名一线教师，笔者长期承担“矩阵论”课程的教学工作，通过对国内外高校“矩阵论”课程的调查分析，结合自身教学实践，对该课程的教学改革进行了一定程度的探索，以期进一步提高该课程的教学质量，实现研究生知识、能力、素质的协调发展。

一、“矩阵论”课程教学存在的问题

授课教师数学专业出身，教学注重数学本色，强调理论严谨，尽管也会介绍一些知识点的工程应用背景，但是占比较少。矩阵运算都是手算，没有充分体现工科特色。

教学内容服务学生专业的针对性不强。尽管授课教师在授课过程中注意及时更新和补充矩阵理论的新方法和新成果，但是针对不同专业方向研究生教学内容的侧重并未体现出一定的变化。

基于前期的课程建设，授课教师已经开发了一套完整的多媒体教学课件，减少了板书时间，增加了教学信息量，但是教学手段单一，教学方法本科化的现象依然存在，缺乏创新思想的启迪。

文章基于上述问题，以创新培养为导向，结合西安邮电大学的信息特色，通过对已有教学成果的整合和研究，重点从教学内容、教学方式等方面进行教学改革的探索。

二、“矩阵论”课程教学改革的探索

（一）转变教学理念，注重信息特色

西安邮电大学研究生学习“矩阵论”课程的主要目的是掌握其基本理论与方法，并以此为工具解决实际工程问题。因此，授课教师必须转变教学理念，不追求把研究生培养成数学专业人才，而是要培养具有清晰数学概念、掌握数学方法、运用数学的高级工程技术人员[3]。“矩阵论”课程涉及很多大规模计算问题，单纯靠手算费时费

力，学生对此经常会出现畏难情绪。而Matlab软件恰好提供了强大的矩阵运算功能，另外科学计算作为现代科学研究的三大支柱之一，也已成为高层次工程技术人才不可或缺的一项重要能力[4]。因此，课程教学中因淡化繁杂的理论推导而节省的时间可以用来介绍支撑矩阵理论计算的Matlab科学计算软件，给出矩阵理论中的典型计算通过Matlab实现的实例，并设置一些要求学生用Matlab软件完成的作业，通过实际上机实验培养学生的科学计算能力。

（二）针对不同班级确定不同的教学内容侧重点

作为不同专业方向，所需内容不尽相同，有必要深入了解研究生所需，有针对性地开展教学，将会对教学起到促进作用[5]。通过调查研究，依据“重要、实用、先进”的原则，将基本教学内容作出如下调整：针对学生数学基础普遍较好的班级详细讲解线性空间与线性变换、矩阵范数理论、矩阵分解、Toeplitz矩阵等特殊矩阵以及各部分内容的相关应用，略讲矩阵分析、广义逆矩阵理论、特征值估计理论、Matlab数学软件等内容;针对学生数学基础一般的班级详细讲解矩阵范数理论、矩阵分解、矩阵分析、特征值估计理论以及各部分内容的相关应用，略讲线性空间与线性变换、广义逆矩阵理论、Matlab数学软件等内容;针对学生数学基础较弱的班级详细讲解矩阵范数的基本理论、矩阵分解的基本方法及应用、矩阵函数的计算及应用、特征值估计的圆盘定理，略讲线性空间与线性变换、广义逆矩阵理论、Matlab数学软件等内容。除上述调整外，在课堂教学中，注意及时更新和补充矩阵理论的新方法与新成果，拓宽学生的研究视野，激发学生的创新意识。

（三）以创新能力培养为导向积极改进教学方法与手段

“矩阵论”课程的主要目标是向学生传授矩阵理论知识并培养学生运用矩阵视角观察问题、分析问题、解决问题的能力。在目前大班教学的现状下，教师要实现学生掌握知识与提高探究能力这双重目标，唯有不断改进教学方法，使教学方法更科学，这点至关重要。

可以从以下几方面进行改革尝试。

1.力求讲课通俗易懂，主次分明。数学课程对工科研究生的意义不在于了解多少数学知识，而在于通过数学归纳和类比的方法发现问题及运用数学方法分析解决问题的能力。因此，教学中我们要力求讲课通俗易懂，对一些学生易于理解和接受的理论证明，教师可以通过引导学生参与分析推导过程以培养学生的数学思维方式和逻辑思维能力，比如收敛矩阵的充要条件、矩阵酉相似对角矩阵的充要条件等;对一些需要大量数学技巧，教学难度较大的内容，教师可以只讲清思路及应用方法，不做具体的推导，比如约当标准型理论、最小多项式理论、维数公式的证明等内容。此外，由于该课程知识点多而繁，讲课还需注意主次分明，切忌平淡无重点地罗列内容。

2.尝试灵活多样的教学方法，充分利用网络资源。随着信息技术的迅猛发展与普及，越来越多的教师已经意识到传统教学方法对创新人才培养的局限性。为了提高教学质量，教师应该给予学生更多的关注。可以尝试采用启发式、交互式教学方法，促進学生积极主动地思考。教师还应注意针对不同教学班级与教学内容，采取灵活适用的教学方法，比如对矩阵论一班在讲授“满秩分解”内容时可以采用自主学习法，在讲授“特征值隔离”时可以采用讨论法等;对矩阵论二班、三班在讲授“数量函数”或“矩阵值函数对矩阵变量求导”时可以采用类比教学法，

在讲授“特征值隔离”时可以采用练习法等。要充分利用网络资源，通过门户网站、微信平台等多种交流方式和微课、慕课等多种授课方式，为学生提供学习咨询和学习指导服务。

3.注重理论与工程应用相结合。矩阵理论虽然应用广泛，但是其基础理论却比较抽象。教师为了在教学中实现通俗易懂，也为了使数学基础不太厚实的工科研究生了解所学知识与专业之间的关系，激发学生的学习热情，在讲授该课程时，教师应注重让学生对此知识点的工程应用背景有所了解。比如在讲授“范数理论”时，可以介绍如何利用范数度量数据误差对求逆以及求解线性方程组的影响;在讲授“矩阵函数”时，可以以线性系统为背景，介绍如何用矩阵函数得到系统的零初态响应，从而实现对系统的稳定性分析，还可以介绍其在电路分析、变系数微分方程中的应用等;在讲授“约当标准型”时，仍可以以线性系统为背景，介绍如何利用系统的约当标准型判断系统的可测性和可控性;在讲授“矩阵奇异值分解”时，可以介绍在多进多出（MIMO）技术中，通过对信道矩阵进行奇异值分解使信道分析变得简单易行，还可以介绍其在图像、文本压缩方面的应用。

4.渗透数学建模思想，加强学生数学应用能力的培

养。工科院校旨在培养适应社会需求的创新型、实用型人才。数学建模是培养学生在交叉学科间开展探索研究能力的主要手段。因此在理论教学的同时，也要注意数学建模思想的渗透，尤其是在矩阵论一班和二班的教学中。例如在稀疏优化模型、系统控制模型、数据预处理模型等常见的数学建模中都会用到矩阵的相关理论，教师可以通过对工程实际案例设计问题，启迪学生思考，在教师的逐步引导下，使学生参与问题分析、模型建立和求解的全过程。这是提高学生的数学应用能力，增强学生创新意识的一种有效途径。

三、结语

研究生培养模式的改革，首先要遵循国家对研究生创新型、实用型人才的培养目标。而作为工科研究生基础学位课程的“矩阵论”，由于其已然成为处理现代工程技术问题的强有力工具，所以是关系到研究生培养质量的核心基础课程。文章立足于如何激发学生的学习主动性和积极性，如何培养研究生应用矩阵理论解决工程实际问题的能力，提高“矩阵论”课程服务创新型研究人才培养的水平，针对西安邮电大学“矩阵论”课程存在的具体问题，围绕教学内容、教学方式等方面提出了一系列“轻数学技巧，重工程应用”的具体改革措施，以期使教学内容更加合理，教学方法更加灵活。然而，随着研究生教育改革的不断深入，如何将“矩阵论”课程的教学与专业更有效结合，如何培养研究生将矩阵理论方法应用于学科专业研究，还有很多的思考空间，还需要不断地开展该课程的教学研究与改革，使其课程教学与研究生培养目标结合得更加紧密，课程的教学质量显著提高。

参考文献：

[1]赵毅，崔良乐.翻转课堂与研究生教学改革研究[J].教育教学论坛，2016，（7）.

[2]史雯婷.专业学位研究生教育的基本属性探讨[J].学位与研究生教育，2004，（10）.

[3]王正盛，戴华，殷洪友，等.工科研究生“矩阵论”课程教学的实践与探讨[J].理工高教研究，2004，（4）.

[4]刘慧.研究生公共数学课程改革模式的研究——矩阵论及其应用课程改革总结[J].化工高等教育，2006，（4）.

[5]趙礼峰.工科研究生矩阵论课程教学改革研究与实践[J].大学数学，2013，（4）.

编辑∕高伟