方法论视域下的数学解题与解题策略*

段志贵，曹子清

(1.盐城师范学院 数学与统计学院，江苏 盐城 224002；2.阜宁县教师发展中心，江苏 阜宁 224400)

乔治·波利亚曾经说过，“解题是学习数学的中心环节，是发展数学思维能力的重要手段”，“掌握数学意味着善于解题”.有关解题研究的文章很多，几乎每本中小学数学杂志每一期都会有这类文章.然而，这些文章中大多数都缺少理论基础和研究方法的创新，有的徘徊在一招一式的问题题型的归类，缺少观点上的提炼或实质性的突破；有的只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神奇出现.它们往往只研究“怎样解”，却较少提及“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”[1].事实上，在科学研究中，怎样求得问题的解和为什么这样求解，往往比找到问题的解更为重要[2].“怎样解”和“为什么这样解”应该成为我们今天深化解题研究、建构解题理论的首要问题.这也是方法论应用领域中一个极其重要的研究课题.

1 方法论与数学解题的意义建构

1.1 方法、方法论与数学方法论

“方法”一词源于希腊语，其本义是“沿着一条道路运动”，后引申为完成某一任务所要遵守的一些既定的原则(或要求).我国对“方法”的界定有很多，其中比较权威的当数《辞源》中把“方法”定义为“办法、方术或法术”.因此，从科学研究的视角看，“方法”就是人们在认识和改造世界的过程中用以发现和提出问题、分析和解决问题的一种取向，如手段、工具、程序等.

方法论，是关于人们认识世界和改造世界所使用的方法的理论，它是人们用来观察事物和处理问题的方式、方法．如果说世界观主要解决世界“是什么”的问题，那么方法论主要解决“怎么办”的问题．同时，方法论本身也是一种以解决问题为目标的理论体系，包括问题解决手段的选取、任务的分解、工具的确定以及操作程序的实施等，方法论会对这一系列具体的方法进行分析研究，将其系统化、理论化，最终提出具有一般性的原则．

方法论普遍适用于各门具体社会科学、自然科学，是指导作用的范畴、原则、理论、方法和手段的总和．高价值的方法论具有规律性(在不确定性中寻找确定因素)、基本性(从复杂性中寻找基本共性)和流程性(从无序中找出节奏性)等特点．

数学方法，是人们以数学为工具去认识世界和改造世界时所使用的方法．所谓以数学为工具，指的是在社会实践或日常生活中反复运用的一些与数学相关的思维、符号、关系、策略，亦或融合这些概念法则的运算或推理等.一般来说，数学方法具有抽象性、严密性和广泛应用性等特征.

数学方法论是一种研究数学方法的理论，主要讨论数学的发展规律，数学的思想方法等.现在数学方法论已被明确认定为数学的一个专门的研究方向．具体地说，数学方法论研究主要包括三方面内容：一是关于数学及其本质的认识，对于数学演进的理解，以及数学的发展变化等，从中探求数学的发现、发展以及创新法则等[3]；二是关于数学思想的研究，主要包括数学的基本思想、结构化思想以及形成性思想[4]，它们为数学大厦的构建奠定了基础；三是关于数学方法的研究,主要包括数学发现的一般方法(如观察与实验、分析与综合、比较与分类以及一般化与特殊化等)、数学推演常用的策略性方法(如整体把握、代数思维、数形结合、向量法等)、数学问题解决常用的技巧性方法(如换元法、待定系数法、反例、递推法等)．对数学方法论的学习和研究，有助于我们学习和理解基本的数学知识,掌握基本的数学思想，探索和研究数学的本质.

1.2 问题、数学问题与数学解题

从心理学的层面来看，问题常被定义为一个情境，在此情境中我们想达到某一目标，但直接通往此目标的路径已经被阻塞了(因此问题产生了).一般说来，问题是指不按常理发展、没有现成的答案、挑战人的智力的需要探究解决的情境[5].由此可知，问题具有情境性，离开具体的情境便不会有问题；问题具有不确定性,同一情境下可以出现多个不同的问题；问题还具有相对性,即对同学甲来说是问题的，可能对同学乙而言不是问题.

图1 数学解题“迷宫”示意图

数学问题是需要利用数学概念、原理和方法去探究和解决的情境．数学问题有多种呈现形式,从题型上看可分为单选题、多选题、填空题、解答题等，从问题的复杂程度上看可分为数学知识的简单应用、基本方法的选择应用、若干基本方法的组合应用以及综合性探究问题等．此外，我们还要明确传统数学问题的条件和结论基本上是封闭的,但是许多现实问题却是多元的,即前提或终端往往是开放的[6].

所谓数学解题,就是根据所给条件，运用数学的方法寻找问题答案的过程．本质上说，数学解题就是根据一定的已知条件与数学规则进行推理和论证的思维过程．正如乔治·波利亚所说，“掌握数学意味着善于解题”．解题是数学学习中极其重要的内容，它是掌握数学知识并学会“数学地思维”的基本途径.许多数学问题求解的路径与方法并不能轻易获得.问题求解的过程正像走迷宫一样(如图1所示)，倘若把不同的解题方法比喻成不同的迷宫入口，那么事先我们并不知道哪一条路径是可行的、能走得通的．有的问题可能有多条路径通达终点(获得问题的解)；有的路径看上去有一个可行的入口，实质上也可能只是一条死巷子，怎么也走不通．

2 数学解题与数学方法论的联结

第一，数学解题需要数学方法作基础．解决数学问题就要辨别问题、分析条件,这必然涉及与数学有关的概念、定理、法则、公式等[7]，一定程度上反映了解题者对于数学内容的理解、数学知识的掌握以及数学思想方法应用等方面情况．通常人们在解决问题时,并非一下子就能看清问题解决的路径,而是想办法变换条件或结论,改变问题结构或呈现方式,使问题不断向着已知或简单化靠拢,直至问题得到最终解决．可以说“几乎所有问题的解决都离不开数学思想方法”[1]．要解出一道比较复杂的数学题，解题者不但要具备有关的数学知识，而且要有能将问题转换或化归为熟悉问题的处理方法，同时还要有灵活运用相关方法或策略的能力．简单地说，就是一要有相应的基本知识，二要有一定的解题经验，三要有较丰富的解题方法或策略．没有方法论的指引，数学解题就会没有方向感，有劲使不上.如果我们掌握了一些常规的解题理论，有一定的数学方法论作指导，即使我们尚不能立即解决问题，我们也会有比较具体的尝试方案，就会在不断总结和修正的过程中找到努力的方向．

第二，数学方法论为数学解题提供思路．心理学原理告诉我们,学习迁移发生的一个先决条件是掌握原理,形成类比．数学思想与数学方法是数学知识体系中的一般性原理,它有高度的概括性，有助于学习的迁移．拥有良好的数学认知结构并对数学思想方法有一个深刻的理解，是具有较强解题能力的必要条件．能够成功解题的人或者善于思考和分析问题的人，都会掌握许多问题解决的基本方法与策略．他们会根据不同问题解决的需要，尝试多种多样的问题分析法，并在类比、猜想、直觉之中，寻找到解决的路径．事实上，如果我们缺少对数学思想和数学方法的深层次理解和掌握,虽然最终也能把一些问题解决，但也只是“头脑填满一大堆零散的材料”,很难形成一个具有“活动”的数学解题知识网格和能力结构[8].

第三，数学解题有助于深化对数学思想方法的理解．许多问题的解决并非一蹴而就，一般都要经过较长时间的思考和数学思维的深度加工．“复盘”解题过程，我们会发现解题过程其实就是若干知识与一些方法的联结．许多数学思想方法需要我们在数学学习，特别是数学解题的实践中反复运用才能达到深刻理解和充分掌握．方法“向左拐”就是技巧，“向右拐”就是规律．有的人只是记忆方法，并没有掌握方法的本质，不能深刻理解其中蕴涵的道理，这就不能说他真的掌握了某种方法，最多只是了解一种技巧．在这一情况下，解题者即使解决了成千上万道问题，在遇到不熟悉或较少见过的习题时也仍会茫然不知所措．有的人虽然对解题方法的本质也有理解，但缺少解题后的总结和反思，这是一种方法论指导下的解题不到位．立足方法论的视角去研究解题，就是要研究问题解决蕴涵的学问和道理，要探索解题的一般规律，去分析解题目标、解题过程，分析解题中的得失及各种解题思路，学会辩证和统一地理解各种解题方法，以此促进解题能力的提高并加深对相关知识的理解．因此，以方法论为脚手架的数学解题，能起到会一题、通一类、达一片之功效[9].

3 方法论视域下的数学解题路线

数学解题的过程大多是将数学的一般原理运用于问题的条件或条件的推论，通过一系列推理求出解答．也有许多题目的解决需要从结论入手，向上溯源或进行反推．总之解题过程包含着比较复杂的思维活动，虽然有时比较艰辛，甚至苦思冥想也难得其法，但还是有一定的规律可循的．然而数学题不计其数，各种各样的变式更是让人感到数学变幻莫测，因此数学解题没有一成不变的模式,真正会解题需要我们灵活掌握多样化的方法策略，构思有效的解题路线．

乔治·波利亚曾经给出的著名的怎样解题表相信大家都非常熟悉．他把数学解题分为四个步骤：(1) 弄清问题；(2) 拟定计划；(3) 实施计划；(4) 回顾．对每一步骤，波利亚还设计了许多问题以帮助完成它．但面对一个问题时，我们还是会常常感到找不到解题方向．相比之下，波利亚在《数学的发现》一书中给出的一张数学思维动态图[10](如图2所示)也许能给我们带来启发.注意图中那些添加着重号的词，“动员”“辩论”“分离”“回忆”“组合”“预见”“重新配置”“充实”“组织”，它们是解题的灵魂所在，它们的串联构成一幅完整的解题思维动态“全景图”．

图2 数学解题思维动态图

然而，在实际解题中，这样的思维活动还是不太便利于解题的组织实施和具体操作．我们还是寄希望于能有比较明确的、熟悉的、具体的方法加以牵引，以梳理解题过程，提炼和总结出一般的问题解决方法[11]．这里，我们采用徐利治先生的数学方法论一般原理[3]和罗增儒教授的数学解题能力成分分析[12]，尝试给出数学解题的一般路线图，如图3所示．

图3 数学方法论视角下的解题路线图

通常来说，面对一个具体问题，解题的起点是观察，通过审题来理解题意．解题观察的一般方法有整体观察、实验观察、极端观察等.观察的视角也是需要重点考虑的，主要有数与式的观察、图形的观察、条件与结论的观察以及问题结构的观察等．

然后考虑化归，即把待求解的问题，特别是把一些相对较复杂的问题转化为已解决或较容易解决的问题去求解．化归是数学解题的一个最基本也是最常用的方法．这一方法的主要路径有特殊化、一般化、分解与组合、关系映射反演等．当我们面对的是从未感知过的问题时，可以考虑运用类比法探寻熟悉的解题模式或方法以降低问题难度．我们可以从类比源、类比方法入手，在数学问题解决过程中具体实施题型结构类比、方法技巧类比、平面与空间类比、具体与抽象类比以及跨学科类比等．类比往往不是立即能想到的，而是基于观察联想起来的．更进一步地说，类比的结果也可能就是促成化归．

在问题的求解过程中，直觉有时必不可少．波利亚在其著作《怎样解题》中称直觉为念头．好的念头可能源自直觉，也可能是类比的结果，当然直觉也能反过来作用于类比，由直觉产生类比的解题思想．

对于一些一时难以解决的数学问题，构造是突破瓶颈的有效手段．构造是一种高级思维模式，它建立在对问题的深刻理解上，有时还需要综合运用类比或化归的方法才能实现．一般说来，解题中的构造需要我们深入挖掘问题的原理背景，借用数形转换，寻找相似结构以及运用化归思想等．数学建模是更高级别的解题构造，它更多地是面向实际，解决政治、经济、文化以及日常生活中的一些应用性问题．数学建模同样依赖于审题，依赖于化归思想，依赖于类比、直觉等策略与方法．

审美法对于解题来说是另辟蹊径，是寻找解题方法的一个重要补充．审美的产生，依赖于观察的细致入微，更依赖于数学的基本功，包括直觉、类比、构造等．间接地说，审美也会促成化归思路的形成，化归的思路也可能给我们带来解题上的审美意识．

对于一些费时费力的疑难问题，我们需要想方设法进行多途径变通．这种变通依赖于对问题的观察，依赖于直觉、审美，依赖于类比而形成．变通的结果是问题的解决，因此，变通的指向集中在合适的类比上，集中在创造性的构造与建模上，集中在化归法解题上．数学解题中的变通思维方法主要包括追本溯源、变换主元、有效增设、正难则反等．

最后是解题反思．获得问题的答案并不是最终目标，我们还要进一步分析是否存在一题多解，是否存在解题错误，并在不断总结提炼方法的过程中明确解题的关键，同时还要对问题进行适当的拓展和延伸.这些对于解题来说并非无足轻重、可有可无．通过反思，我们能更好地理解问题本质，理清解题思路，掌握思维规律，提高思维水平，培养分析和解决问题的能力．

当然，图3只是一个基于方法论视角的解题示意图，其目的是把一般情况下的解题方法与路径串连起来，它未必能完全贴切地表示数学解题的基本范式.事实上，数学解题并没有一个固定不变的程式套路.

4 数学“4F”解题策略及其应用

如果我们把解题路线看作是一个二维XOY平面上的图示，那么解题策略就是由第三维Z轴给出的立体思维导向．许多人的解题能力不强，缺的不是基础知识、基本技能和基本方法，而是高屋建瓴的解题策略．相比基本方法的战术性特点，解题策略带有宏观性，具有战略性特征，它是若干方法集合在一起的行动方案．因此，从方法论的角度去探索高观点下的数学解题策略具有十分重要的现实指导意义．

一方面，依据波利亚的解题思想，确立数学解题模式应立足于启发性．波利亚的解题著作中集中体现了“发现体验”的思想，“启发法”是灵魂，“发现、发明的方法和规律”是目标[11]，按照他的主张，数学解题要构建程序化的解题系统，进行启发式的过程分析，实施开放型的念头诱发以及组织探索性的问题转换.我们提出解题要从问题出发，在“发问”、“发现”、“发省”和“发展”中把解题向纵深推进．另一方面，基于国内学者的专题研究，确立数学解题模式要具有系统性．数学解题中的系统性体现在思维整体性、有序性和动态性等3个原理上[13]．整体性，指的是解题是由相互联系、相互作用的诸要素组成的有特定功能的有机整体；有序性是指解题这个系统的性质、结构和功能是沿着简单到复杂、低级到高级的方向发展；动态性指的是解题系统处在不断发展变化的动态过程中．因此,数学解题应该是一个协调的系统．

立足于启发性和系统性的融合,数学解题建立在问题之上，建立在问题背景、启发诱导及其解题者与问题的不断交互对话之中，寻找依着点、方向感，最终走向解题的至高点，实现问题解决目标的清晰化和解题过程的具体化．基于这一主张，我们依据长期的解题体验与实践感悟，总结提炼出以下的“4F”解题策略[14]，如图4所示.该模型的建构没有拘泥于解题的细节处理，而是着眼于宏观分析，对影响解题进展的四个重要维度进行了刻画——“解题发问”居于解题的中心，围绕着“解题发问”有3条从“解题发问”出发的折线，分别指向“解题发现”、“解题发省”和“解题发展”．之所以画成图4所示的折线,是想表达“你中有我，我中有你”，所谓的解题发问、发现、发省、发展，彼此间没有截然的界限，它们交织在一起，共同支撑着问题的提出、发现以及问题的分析和解决全过程．同时，我们还应看到，“4F”解题策略也是我们从谋求解法到超越解题不断循环、解题能力不断提高的一个螺旋式上升的过程．

图4 “4F”解题策略示意图

首先，解题发问是探索解题路径的起点．这一阶段的解题策略主要对应于数学方法论中的观察与化归，当然类比也可包含在其中．任何解题，如果忽视对原问题的准确解读和分析理解，囫囵吞枣式地直接给出解题方法或者答案，都不是真正意义上的解题．真正有效的解题，一定要抓住问题的要害，揭示问题解决的关键．解题发问居于解题的中心，不但影响着解题发现，也影响着解题的发省和解题的发展．通过发问，可以从发现到发省，反思解题的成功经验与失败教训；通过发问，可以从发省到发展，在解题延伸与拓展中深度学习，拓宽解题视野，提高解题素养；通过发问，还可以带着发展了的解题本领接受新的问题挑战，解决层出不穷的新的问题，再去发现、发省、发展，循环往复，不断向前．

其次，解题发现是捕获解题方法的关键．这一阶段的解题策略主要体现了数学方法论中的直觉、审美、构造(建模)以及变通等．对于一个具体问题，发问本身不一定能带来发现．发现一个数学问题的解法还需借助于厚实的数学基本功和丰富的解题经验等因素．我们可以把“发现”理解成是问题解法的获得，更准确地说，是发现待解决问题与一些熟悉的、已解决了的或者一些简单的问题之间的关联，让解题者看到成功的曙光．

再次，解题发省是提升解题能力的基石．这一阶段的解题策略主要融合了数学方法论中的化归、变通以及回顾与反思等．从解题发现到解题反省，就是要求解题者在基本完成有关问题的解答后，要去回顾解题过程，分析推理过程中的错误并分析原因；反思问题解决的本质，深挖其中蕴涵的数学思想方法，同时思考是否还有其它解法，各种解法的优缺点何在．

最后，解题发展是培养解题素养的阶梯．这一阶段的解题策略重在发展，主要体现在数学方法中的总结提炼、质疑反思、拓展延伸等．解题能力的提升，不能仅仅满足于就题论题的反省，而要进一步对问题作宏观上的认识和理解，透过现象看本质，改变问题的提问方式、覆盖领域、形式结构以及应用范围等[15]，以实现对问题的拓展和延伸，促使解题者深刻理解相关解题方法与策略，把它们内化为自己的解题知识、解题能力和解题素养．这里我们以“圆锥曲线”里的一道检测题[16]为例具体分析“4F”解题模式的应用．

问题：设双曲线x2-y2=2021的左、右顶点分别为A1,A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2=．

(1) 发问——查找问题症结．这道题看上去已知和未知非常明确，会有什么初始想法？所想方法可行吗？不可行的原因是什么？如果可行，如何实施？通过发问，找出问题解决的症结在于条件∠A1PA2=4∠PA1A2能否被灵活使用，是解决本题的关键所在．

(3) 发省——反思解题过程.解题回顾是“领会方法的最佳时机”，“没有任何一个题目是彻底完成了的”，“无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解”．通过反省，至少能有三个收获，一是如果有错，错误是怎样发生的？二是如果走过弯路，是什么因素造成的？三是本题的解决，最重要的法宝是什么？充分认识转化思想是本题最终获得解决的法宝，以促进对问题解决本质的理解，加深对数学思想方法的掌握.

总之，“4F”解题策略遵循认知建构原理，通过解题发问、发现、发省和发展，借助于对先前知识和化归、类比、直觉、联想等思想方法的综合运用，使解题者在自然状态下萌发和生长解题思维，使其解题能力得到提升，使其解题素养得到培养．