外倾单肋曲线人行钢拱桥振动舒适度评价

金其莉 ，陈建兵* ，周晨

(1．苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011； 2.中交一公局第二工程有限公司)

随着轻质高强材料的应用和人们审美要求的提高，城市人行桥的设计呈现大跨轻柔，结构复杂的特点。轻柔结构的自振频率和阻尼较低，若其振动基频处于行人步频范围内，则易引起人桥共振问题，从而影响行人通行舒适性。为避免共振现象的产生，减少行人的不适感，CJJ 69-95《城市人行天桥与人行地道技术规范》限定人行桥的竖向自振频率不得小于3 Hz。因轻柔大跨人行桥的基频通常难以满足要求，仅靠避开行人频率控制振动的方法偏于保守且效果有限。然而实际上行人荷载引起的振动响应还受到动荷载幅值、结构阻尼以及桥上同步调行走人数的影响。

由于影响因素众多，除了采用频率调整法调整结构本身的基频外，还可通过限制行人荷载激励下的振动响应来保证行人通行舒适性。目前国内外学者针对人致振动舒适度进行了一系列研究。其中，Zoltowski等为尽量模拟行人过桥的真实环境，通过测量竖向振动环境下的单人脚步荷载，拟合出采用傅里叶级数的前3阶谐波近似表达的数学模型；徐海军等研究了大跨度曲线人行桥的人致振动特性，并探讨和比较了耦合振动控制方案；施颖等结合国外规范对三肋式空间异形拱人行桥进行了通行舒适度和振动控制研究；许立言等基于通用有限元程序MSC.MARC二次开发的子程序，建立组合人行天桥的纤维模型，对一座大跨度钢-混凝土组合人行天桥进行了人行桥舒适度评价；乔云强等基于Ansys计算了人群荷载和跑步荷载下的单主缆悬索桥人致振动响应，通过调谐质量阻尼器(TMD)控制该桥振动，为单主缆悬索桥减振控制设计提供参考。

由于人行桥结构形式各异、受力特点不同，因此有必要针对不同结构人行桥的行人通行舒适性进行研究。该文以某外倾单肋曲线人行钢拱桥为研究对象，结合德国规范EN03，利用单自由度法和时程分析法计算基频处于行人步频范围内的共振反应，通过桥面峰值加速度评价指标进行该异形人行桥的振动舒适度评价。

1 有限元模型及自振特性分析

1.1 工程概况

该外倾单肋曲线人行钢拱桥跨径组合为(12.5+105+12.5) m，中跨为105 m的下承式异形钢拱桥，边跨为钢结构曲线箱梁桥。全桥范围内道路平面线形为“S”曲线，总长131.94 m。主桥桥面系直接承受荷载，采用宽5 m的非对称单箱双室钢箱梁结构。异形拱桥造型奇特美观，与周围风景相协调，并具有一定观赏性，其桥型半立面、横断面如图1、2所示。

图1 桥梁半立面图 (除标高单位为m外,其余：cm)

图2 桥梁横断面图 (除标高单位为m外,其余：cm)

主跨拱肋为变截面钢箱梁，向外倾斜15°，倾斜面内拱轴线为二次抛物线，矢高为26.25 m，矢跨比为1∶4；为了增大刚度，拱脚于一定高度范围内灌注自密实混凝土，并与墩身固结。主梁通过距两侧梁段16.5 m处的钢横梁和19根间距为4.5 m的吊杆与拱肋连接。边跨桥台为一字式钢筋混凝土台身，上布4个滑动支座。结合桥墩观景平台布置，墩台下接承台及钻孔灌注桩基础。人行桥实景如图3所示。

图3 人行桥实景

1.2 有限元模型

有限元软件Midas/Civil建立的上部结构模型如图4所示。全桥共划分为253个节点，243个单元，并用Ritz向量法进行结构振型分析。由于桥宽不大，可采用梁单元模拟拱肋与桥面主梁；吊杆采用桁架单元模拟；连接主梁与拱肋的钢横梁采用连接单元模拟；横隔板、栏杆和桥面铺装以荷载形式施加于结构。主梁端部边界仅约束竖向平动自由度，拱脚与桥墩固结端约束平动和转动自由度。

图4 有限元模型

1.3 自振特性分析

桥梁前6阶振型频率计算结果如表1所示。

表1 前6阶振型

由表1可知：该人行桥整体抗扭刚度较小，其低阶振型中扭转模态和竖向模态对整个结构响应贡献更大。因为人行桥振动研究更集中于竖向舒适度，其中模态3频率(f3=2.768 Hz)位于易引起竖向振动的敏感频率范围，所以需对其进行振动舒适度评价。经过振型分析得到的模态3在X-Y平面和X-Z平面内桥梁振型形状如图5、6所示。

图5 模态3：X-Y平面振型形状

图6 模态3：X-Z平面振型形状

2 步行力荷载数学模型

目前人行桥振动响应评价常采用确定性方法和随机性方法，但两者局限性都在于需进行假定。

该文参考德国规范EN03确定性模型进行竖向荷载激励，该模型假定为：① 流动的人群恒定均匀地分布于桥面上，其流动速度为1.5 m/s，且维持桥上总人数不变；② 行人行走活动为稳定周期性活动，行走步频服从正态分布，行人相位差φ均匀分布。

2.1 单人荷载

单人荷载经傅里叶变换可表达为静荷载与一系列简谐动荷载之和：

(1)

式中：fp为行人的步频，即每秒行走总步数(Hz)；αi为第i阶简谐动荷载系数，简称DLF；W为单个行人重力，Wαi为动荷载幅值(N)；φi为第i阶简谐动荷载初始相位。

由式(1)可以看出：若桥梁模态频率落入行人正常行走步频范围内，会引起人桥共振。就荷载模型而言，动荷载幅值Wαi影响着整个人桥共振过程。

2.1.1 行人重力

动荷载幅值Wαi与行人重力正相关。行人作为不可控因素，由于性别、年龄段及职业不同，其重力差异对动荷载幅值有着一定影响。

2.1.2 行人步频

Andriacchi研究表明：步行频率对竖向动荷载幅值有显著影响，他利用测力板方法绘制出三分量时程曲线，发现人抬落脚瞬间导致竖向力分量有两个波峰和一个波谷，且随着步频增大，竖向力峰值逐渐重叠，幅值也逐渐增大。然而步频与行人行走速度(行进姿态)与步长息息相关，行人之间和人桥相互作用也无法用简单公式精细化体现。但是Leonard D.研究表明行人行走步频为1.7～2.3 Hz，基本集中为2 Hz左右。

当前多采用步频fp的递增函数计算动荷载系数αi，国外学者给出的单人脚步荷载模型竖向αi取值结果如表2所示。

表2 竖向αi取值

2.1.3 单人荷载模型

因为单人脚步荷载中静载不引起振动反应，且2阶以上的分量难以同步，故单人脚步动荷载只需考虑前2阶分量。荷载模型使用单人1阶动荷载幅值Wα1=280 N为代表值，则2阶动荷载幅值相应折减。将式(1)的1阶分量简化为下式：

Fj(t)=280×sin(2πfjt-φj)

(2)

式中：fj为行人的步频；φj为行人荷载的相位。

2.2 人群荷载模型

相位差φ和步频fj的存在致使桥上行走人群并非处于同步行走的状态。同步调自由行走的人数越多，振动响应越强烈，因此采用等效行人密度来确定桥面上同步调行走人数，并建立了不同加载方向的通用人群荷载模型：

P(t)=P·cos(2πfst)×n′ψ

(3)

式中：n′为同步行走人数密度，其与自由行走的n人产生等同振动效应;P·cos(2πfst)ψ为单人谐波动荷载，P为1阶荷载幅值，竖向振动计算选取P=280 N，且假定fs与需验算的频率相等；ψ为折减系数。

2.2.1 折减系数

荷载模型中折减系数ψ为考虑到步频接近基频变化范围临界值的概率而引进的一个参数，其竖向振动模态下的计算取值如图7所示。

图7 竖向人群荷载模型折减系数ψ

由图7可知：处于行人频率范围以外的人行桥振型频率难以引起竖向振动，其人群荷载模型的折减系数为0；行人步频服从正态分布，多集中于2 Hz左右，越接近这一区段折减幅度越小。

2.2.2 等效行人密度

每个人行桥设计工况需设定一个预期的交通等级和选定需满足的舒适等级，同时由交通等级确定对应的等效行人密度。考虑到实际情况与规范推荐，定义了4个具有代表性的设计工况，如表3所示。

当桥面加载面积为S时，不同交通等级对应的等效行人密度n′计算公式如表4所示。

表3 设计工况

表4 等效行人密度计算

表4中交通等级为TC1～TC3时，行人较少，行走相对自由，等效行人密度考虑了阻尼比的影响；交通等级为TC4 ～TC5时，人群密度高，行人行走受到限制，同步概率要比低密度人群大。

2.3 动荷载模型幅值计算

该外倾单肋曲线人行钢拱桥的桥宽B=5m，桥长L=131.94m，总面积S=BL=659.7m2，阻尼比ξ=0.4%，其中阻尼比选用文献[8]中建议材料阻尼比。由表4中的等效行人密度计算公式和人群荷载模型计算公式(3)，计算4种工况所对应的竖向振动人群荷载模型参数，其结果如表5所示。

表5 荷载模型幅值

由表5可知：密集人流(TC4、TC5)情况下，行人由于移动受限导致其同步调行走概率迅速增加，所以人群荷载模型动荷载幅值也相应提高。但实际上桥上行人过密会阻碍行人以特定频率行走甚至滞留，并伴随着振动反应衰减。

由CJJ 69-95《城市人行天桥与人行地道技术》规范可得：此外倾单肋曲线人行钢拱桥桥面单位面积荷载取值为W=2.625 kPa=2.625×103N/m2。此静荷载幅值W远大于用于振动舒适度评价的动荷载幅值P′，因此规范有必要进一步补充人行桥振动舒适度理论。

3 人致振动响应计算分析

相对于位移和速度，加速度更容易影响行人的生理和心理感受，适合作为舒适性评价指标。计算加速度响应多采用单自由度方法和时程分析法。限于篇幅，该文仅以TC5交通等级下桥梁人致振动响应作为计算示例。

3.1 计算方法

3.1.1 单自由度法

结构的振动可以看作其振动模态的线性组合，因此结构可转化为几个具有不同等效质量的单自由度振动系统，处于验算范围内的人行桥每一阶固有频率可采用一个等效自由度代替。某一特定振型的行人加载方向与振型位移φ(x)的方向保持一致，等效单自由度系统和简谐波荷载P(t)的加载如图8所示。

简谐荷载下单自由度有阻尼体系的运动方程为：

(4)

图8 等效单自由度和第S阶模态的振型函数φ(x)

式(4)两端同除m，将阻尼c用阻尼比ξ代替c=2mωnξ，得到以下形式的运动方程：

(5)

当ω/ωn=1时发生共振，动力反应达到最大，这时Rd≈1/(2ξ)。当阻尼比较小时，阻尼比可以由对数衰减率近似表达为δ≈2πξ，单自由度系统共振时的最大加速度可由下式计算：

(6)

式中：p*为广义力；m*为广义质量；ξ为结构阻尼比；δ为阻尼的对数衰减率。

其中广义模态质量根据文献[11]计算，步行力采用以下公式计算：

(7)

式中：B为桥宽；L为桥长。

由式(6)可知：当桥梁的振动模态确定时，结构阻尼比对振动反应影响较大，高阻尼比结构振动反应较小。

3.1.2 时程分析法

线弹性多自由度结构在人致荷载作用下的运动方程为：

(8)

3.2 峰值加速度计算分析

3.2.1 单自由度法

由振型分析得到的最大位移正则化人行桥振动曲线竖向分量φ(x)如图9所示。

图9 模态3桥面竖向振动分量

由图9可知：模态3人行桥面振型形状主要表现为桥面正对称竖弯；桥面共出现3个位移极值点，分别位于x=16.5 m、x=52.5 m和x=88.5 m，其中最大位移位于左右极值点。

3.2 2 时程分析法

TC5工况下共振时桥梁特征点处加速度时程曲线如图10～12所示。

图10 TC5工况桥面x=16.5 m处加速度时程曲线

3.2.3 对比分析

两种方法的峰值加速度计算结果如表6所示。

由图10～12及表6可知：① 均布力作用下单自由度计算方法和等效节点力作用下时程分析方法所得峰值加速度差值低于2%，说明有限元模型节点力时程分析结果可被采纳；② 相较于时程分析法，单自由度法无法反映桥面其他点处的最大加速度响应，并且加速度时程分析和桥面竖向振动分量图显示振动峰值加速度位于其模态位移最大处。

图11 TC5工况1/4跨(x=20.5 m)加速度时程曲线

图12 TC5工况1/2跨(x=52.5 m)加速度时程曲线

表6 节点峰值加速度计算结果

4 振动舒适度评价

4.1 舒适度划分

考虑到工程经济性要求，计入概率影响的振动舒适度指标允许适当降低控制标准。德国规范定义了不同舒适度等级所对应的加速度区间范围，其舒适度划分合理，指标适中，如表7所示。

4.2 舒适度评价

时程分析法得到4种设计工况下桥面特征点加速度响应值，汇总如表8所示。

表7 德国规范舒适度划分

表8 加速度响应

由表8可知：所有设计工况下桥梁的峰值加速度皆远小于相应限值，TC5工况下舒适度等级为中等，其余都属于最好状态，因此桥梁人致振动舒适度满足德国规范EN03要求。

5 结论与展望

(1) 多人荷载的研究目前尚未成熟，行人体重、行走参数差异化明显，行人相关性和人桥之间的相互影响也难以反映，因此现行舒适度评价规范的人群荷载数学模型仍需改进。

(2) 动荷载幅值与行人密度呈正相关趋势；但行人过密难以行走时也会出现动力反应衰减现象。

(3) 单自由度法计算公式表明，高阻尼比结构振动小，利于舒适通行；实际情况下还需考虑附属设施和大幅振动对结构阻尼比的影响。

(4) 单自由度法和时程分析结果显示：峰值加速度位于模态位移最大点，且两者差值低于2%，说明有限元模型时程分析结果可信。

(5) 按照德国规范进行的舒适度评价，正常使用状态下桥梁振动舒适性能满足要求；若运营阶段振动反应较大，可采用振动控制装置限制振动响应。