一个Milosevic不等式的再研究

重庆市凤鸣山中学 (400037) 王 彬 西大两江实验学校 (400707) 苏 鹏重庆市融汇沙坪坝小学 (400038) 宋雪珠

三角形是最基本的几何图形，其存在丰富的几何关系和不等式，其中Milosevic不等式就是其重要结论. 自Milosevic不等式建立之后，其推广形式层出不穷. 本文在前人得出的结论之上，充分应用三角形中的恒等式与Bottema基本不等式推出了Milosevic不等式的一个逆向不等式以及Milosevic不等式的一个加强. 另外，本文利用Gerretsen不等式还给出了一个形式更加简洁的不等式链：

1. 引言

设△ABC的三边边长为a,b,c,三条边上的高及旁切圆半径分别是ha,hb,hc,ra,rb,rc,外接圆半径和内切圆半径分别是R,r,半周长和面积分别是p,S,循环和与循环积分别表示为∑,Π.

文献[1]介绍了由D.S. Milosevic建立的如下不等式：

姜卫东老师在文献[2]和[3]中对Milosevic不等式进行了研究，得到如下定理：

定理1[2]在△ABC中，有

定理2[3]在△ABC中，有

最近，郭要红老师对Milosevic不等式进行了进一步探讨，得到了两个更加一般的不等式.

定理3[4]在△ABC中，有

定理4[4]在△ABC中，有

受到文献[2]-[4]的启发，笔者对Milosevic不等式进行了再研究，得到了不等式(1)的一个逆向不等式以及不等式(1)的一个加强. 另外，本文应用Gerretsen不等式还给出了一个形式更加简洁的不等式链.

定理5 在△ABC中，有

(5)

定理6 在△ABC中，有

(6)

注：定理1-6中，不等式等号成立的条件是△ABC是正三角形.

2. 引理

为了证明定理5和定理6，需要给出如下引理.

引理1[5]在△ABC中，有∏a=4pRr;

∑ab=p2+4Rr+r2;∑a2=2(p2-4Rr-r2).

注：利用引理1可得如下恒等式[4]：

注：为了方便定理5和定理6的证明，这里需要将引理2中的不等式进行变形，得到

引理3 (Gerretsen不等式)[5]在△ABC中，有16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2.

注：引理2-3中，不等式等号成立的条件是△ABC是正三角形；Bottema基本不等式是Gerretsen不等式的加强.

3. 结论的证明

4. 注记