一类与三角函数交汇的导数压轴题解法探究

江西省萍乡市湘东中学 (337016) 滕金平

高考导数压轴题由于其思维难度大，对数学运算、数学建模、数学抽象、逻辑推理等核心素养的能力要求高，一直以来许多学生都难以突破，本文以与三角函数交汇的一类导数压轴题为例来对其解法进行探究.

1.利用三角函数的有界性，即|sinx|≤1和|cosx|≤1，作为解题的突破口

评析：本题以三角函数和对数函数交汇作为研究的载体，打破了常规，考虑直接用数形结合很难解答出来，进而尝试求导，由于求导会出现含三角函数的表达式，使用常规方法处理后续问题变得困难.本题主要考查学生对函数的隐零点的掌握以及根据函数的性质来探讨函数极值点的能力；对学生的逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养能力要求较高.

(2)若a≥0,讨论函数y=f(x)+g(x)的零点个数.

综合以上情况,当a≥0时函数f(x)+g(x)有1个零点．(当然此题也可分区间(01],(1,e],(e,+∞)讨论.)

2.利用x∈(0,+∞)时,等放缩结论来证明

例2 设函数f(x)=x-asinx(a>0).

(1)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围；

改编2 设函数f(x)=ax2+cosx.

(2)证明：4sinx+2xlnx-3x2-1<0.

点拨：本题第(1)问比较简单，对第(2)问4sinx+2xlnx-3x2-1<0考虑直接将左侧构造函数，但无法求出其单调区间和最值(导函数中含有sinx和lnx无法进一步计算)，故考虑将sinx进行转化，尝试利用|sinx|≤1得到3x2-2xlnx+1>4,对其进行求导等常规解法发现也无法证明，想到x>0故采用x>sinx进行放缩，放缩后结果得以证明.

导数压轴题多以初等函数的组合形式为载体，设问一般为学生熟悉的切线问题、单调性问题、极值问题、最值问题、零点问题、恒成立问题、证明不等式问题等.在平时教学中应多让学生自主进行探究和总结，让学生发现问题、分析问题、解决问题，能做到一题多解、多题一解、一题多变，培养学生数形结合、转化和化归、函数与方程、分类讨论等思想，提高学生数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的能力.