题中无圆心有圆 圆来就这么简单

福建省莆田第二中学 (351131) 卢 妮 蔡海涛

研究近年高考数学试题，发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降，“直线与圆”的地位大幅度提升，具有数学文化背景的题目层出不穷.其中，有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息，而是隐藏在条件中，需要通过分析转化，从而发现圆(或圆的方程)，进而利用圆的知识求解，这类问题称为“隐形圆”问题．比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强，充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法，学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例，探寻“隐形圆”问题求解策略.

一、利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆

例1 若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰好有两条,则实数m的取值范围为.

点评：本题根据圆的定义得到隐圆，得到以点A(2,2)和点B(m,0)为圆心的两个圆，这是本题的关键，进而由已知条件得两圆位置关系，从而求得m的取值范围.

二、到两定点距离的平方和为定值确定隐形圆

点评：本题关键在于确定动点M的位置，根据点M到点A和点O的距离的平方和为定值，从而确定隐圆，突破了本题难点.

三、动点P对两定点A、B张角是90°(kPA·kPB=-1或确定隐形圆

例3 (2014年高考四川卷文9)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P，则PA+PB的取值范围是( ).

点评：本题解题的突破口是发现两条动直线的关系，由kPA·kPB=-1确定隐圆，得到P点轨迹，结合不等式性质求解.

解析：由已知得以AB为直径的圆与圆C有公共点，易求得m的取值范围为[4,6].

四、两定点A、B,动点P满足确定隐形圆

五、两定点A、B,动点P满足确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)

六、由圆周角的性质确定隐形圆

点评：∠AOB=2∠C=90°知点C在以O为圆心，半径OA,在优弧AB上.

图1

变式6 如图1,四边形AOCB,OA⊥OC,CA⊥CB,若AC=2,CB=1,则OB的取值范围是.

由以上例题分析可知，“隐圆”问题着重考查化归与转化的思想在解题中的运用，解决方法就是分析已知条件，从条件出发探求动点轨迹，把隐形轨迹显性化，从而发现圆，然后利用圆的知识求解问题.