考虑滑轮直径的绳系并联机器人精度分析

冀洋锋，林 麒，彭苗娇，吴惠松

(1.集美大学诚毅学院机械工程系,福建 厦门 361021；2.厦门大学航空航天学院,福建 厦门 361005；3.集美大学轮机工程学院，福建 厦门 361021)

0 引言

新型飞行器在研发过程中需要在风洞中进行吹风试验，而吹风试验也是空气动力学研究中比较常用的方法[1]。在风洞试验中，为了模拟飞机真实的飞行过程，通常需要把飞行器的缩比模型使用一定的方式进行固定，并且还能够根据不同的试验项目改变模型的位置和姿态，以此评判飞行器设计的各种状况。因此，设计合适的支撑方式是风洞试验的一项关键技术。传统的硬式支撑包括尾撑式、背撑式和腹撑式等，硬式支撑一个无法避免的问题是支撑杆对流场的干扰，且这种干扰会逆流上传，即使后期通过专门的试验来修正也无法完全消除流场干扰对测试结果的影响[2]。

绳系并联机器人(cable-driven parallel robot,CDPR)是一种比较新的支撑方式，采用弹性模量比较高而直径比较细的弹性绳索代替原来的硬式支撑杆，动平台的位姿改变依靠改变柔性绳索长度来实现。与传统的硬式支撑方式相比，该种支撑方式具有一系列优点，例如具有较大的工作空间[3-5];更高的承载能力和更好的能量利用效率[6-7];较低的建造成本[8-9];部件简单且方便拆卸和重新组装;具有较高的安全性[10]。尤其是同一套支撑机构可以完成多种静、动态试验项目，这一点对于节省试验成本以及提高新型飞行器的研发效率具有重要的意义[11]。

典型的风洞试验模型绳系并联机器人支撑系统是法国国家航天航空研究中心支持的SACSO项目。该机构研究的9 绳牵引系统SACSO-9目前已通过了风洞自由飞试验的可行性模拟分析，并进一步将其用在了飞行器初期概念设计中的立式风洞的尾旋试验[12-13]。Lambert等[14-15]将一套8绳牵引的并联机构安装于风洞中进行了吹风试验，研究了钝体模型流动控制情况。文献[16]针对大尺寸模型构建了一套“柔性悬挂系统”，该支撑方案利用尾撑以及前后四根钢索吊起机身进行吹风试验，在LENSⅡ激波风洞中，该系统用于支撑X-51全尺寸模型，进行了气动热和推进研究。文献[17]根据不同的风洞试验的特点，采用了不同的绳系支撑方式。文献[18]对应用于风洞试验的绳系并联支撑机构进行了一系列探索。文献[19-20]对绳系并联机器人进行了不同程度的研究工作。文献[21]研制了一套张线支撑系统，并于3.2 m亚声速风洞进行了大迎角试验。文献[22]设计了一套轴承与张线组合的支撑系统，用于低速风洞的弹体模型的虚拟飞行试验。文献[23]开发了一套张线支撑系统，并进行了一系列实验工作。

在低速风洞试验过程中，模型姿态角的误差是试验数据误差的主要来源之一，为了提高试验数据的精度，必须在可行的情况下尽可能提高模型姿态角的精度。相比硬式支撑，绳系并联机器人支撑机构中采用的柔性绳索只可以单方面承受拉力，动平台姿态改变及控制很大程度上取决于绳索长度的精确计算。而滑轮的存在，会影响绳索长度的计算精度，进而影响动平台的位置精度。以往绳系并联支撑机构的研究中，只有极少数对动平台的位置精度进行了初步研究。本文对绳系并联支撑机构的精度影响因素进行深入分析，以期提高应用绳系并联机器人支撑模型所得风洞试验测试数据的准确性和有效性。

1 样机建立

采用8根绳索牵引的实验样机CDPR-8(cable-driven parallel robot with eight cables)如图1所示。在该类机构中，绳索一端与模型相固定，另一端经过滑轮后与电机滑块相固定。滑块在电机驱动下做直线运动，可以通过改变各牵引绳索的长度，从而调节绳索预紧力，以改变模型的位置和姿态。

为了描述及后期分析，建立如图2所示的静坐标系和动坐标系。其中，静坐标系原点位于机架正下方中心，动坐标系原点位于模型几何形心处。由于滑轮的机架位置是固定的，因此动平台的工作空间由滑轮与模型之间的绳索长度决定，即由模型上连接点的空间位置决定。图2中，滑轮中心点位置Di(i=1,2,…,8)及模型上绳索连接点的坐标Pi(i=1,2,…,8)在样机中的初步取值详细情况见表1。其中：Di为滑轮在静坐标系中的位置；Pi为绳索连接点在动坐标系中的位置。

表1 CDPR-8各牵引点参数Tab.1 Parameters of attaching point in CDPR-8

2 机器人的几何关系建立

在绳系并联机器人支撑机构中，模型姿态与绳索长度有关，因此需要建立机构的几何关系模型，以方便对牵引绳长与模型位置姿态之间的关系进行量化分析和精确计算。

2.1 CDPR-8的几何关系模型

图3是CDPR-8的机构几何关系示意图。其中：粗线十字架代表飞机模型，长轴表示机身主轴，短横轴代表模型的翼展方向；Bi表示驱动点(滑轮中心)在静坐标系中的位置；ri是一个常数矢量，表示在动坐标系中模型上的连接点；XP表示模型的参考点在该坐标系中的位置；Li表示绳索长度的矢量，在静坐标系中，可以通过式(1)获得，

Li=Bi-XP-Rri

(1)

其中：R是从动坐标系变换到静坐标系的雅克比矩阵。

在依靠绳索驱动的并联机器人中，动平台的姿态和位置是通过绳长来控制的，因此代表绳索长度的矢量Li是系统位姿能否精确控制的关键。在设计模型运动的控制率时为了方便分析，通常把机架上的滑轮简化成理想的铰点，即绳长由机架的滑轮中心点Di和动平台上的连接点Pi决定。

然而，实际机构中滑轮都具有一定直径，因此绳索无法穿过滑轮轴心，况且绳索与滑轮接触点并非理想的固定点，而是随动平台(飞行器模型)姿态改变而随时发生变化的，采用上面的理想简化算法必定会对以绳长及其变化量进行模型姿态和运动控制的机构精度带来误差。为了给模型位姿的精确控制提供准确的参考数据，需要分析滑轮简化前后对绳索长度的影响，以此来计算对样机精度的影响。为此建立包含滑轮直径的机构几何关系式，以方便对这一影响情况进行量化分析。

2.2 包含滑轮形状的CDPR-8几何关系

(2)

3 滑轮直径影响量化分析

3.1 绳索绝对长度与相对长度的影响

理论上来说选取任何一根绳索长度都不影响分析的最终结论，不失一般性，这里选取第7组数据，即7号滑轮点和连接点的数据进行计算分析。根据样机的相关几何参数，动坐标系原点在静坐标系中的位置即图3中矢量XP的值,XP=(0,0,-582)，滑轮直径为10 mm，以下分析皆在此工况下进行。相关数据代入式(1)和式(2)中，可以得到不同迎角θ下实际绳长L、理论绳长L0、绝对误差ΔL(ΔL=L0-L)以及相对误差δ(δ=ΔL/L0)，计算结果如表2所示。

表2 不同迎角下理论与实际绳长Tab.2 Theoretical and practical cable lengthunder different angle of attackθ/(°)L0/mmL/mm△L/mmδ/×10-50718.22718.200.022.7810690.93690.910.022.8920661.84661.820.023.0230627.76627.740.023.19

由表2可知，实际值与理论值的绝对误差△L在微米级，而相对误差δ在10-5级左右，这样的结果表示一根绳索长度的变化对系统影响不大。然而在CDPR-8中，模型是通过8根绳索来牵引的，因此有必要分析不同的迎角下8根绳索采用理论值代替实际值时的误差情况。

图5表示迎角在一定范围内变化时，所有绳索的ΔL值随不同的迎角的改变情况。从图5中可以看出，迎角从0°到30°变化过程中，ΔL保持在大约10-5m，这一情况与单独一根绳索的比较接近。这是因为在实际的样机中，绳长比滑轮半径的值大得多，而且8根绳索的长度彼此之间差别不大，都处于同一量级，因此图4所示矢量三角形内两个长边的长度非常接近。图6为不同的迎角下8根牵引绳索的相对误差随迎角变化情况，由于8根牵引绳初始长度比较接近，所以图6中结果与图5走势比较类似。

3.2 模型位置和姿态的影响

将图5中计算结果结合理论绳长，按照文献[24]中的方法进行机器人正解求解，可以得到图7的结果。其中，X、Y、Z分别表示模型沿三个坐标轴方向的位置改变；而f、α、β分别表示模型绕这三个坐标轴旋转产生的角度变化。图7中对模型位姿的影响误差为10-5m，对姿态角的影响为10-3(°)，可见在本样机参数下，用绳索的理论长度替代实际长度对模型的位置和姿态所产生的误差是高阶小量，其影响基本可以忽略不计。

以上结论为假定滑轮直径为10 mm时得到的，当滑轮直径发生变化时，情况会有所不同。为此，考虑滑轮直径分别为20 mm、30 mm、40 mm的情况，计算不同迎角下实际绳长，并与理论绳长进行比较，结合表2中计算结果，可以得到不同直径下绝对误差△L和相对误差δ，结果如图8和图9所示。图8为不同滑轮半径时△L随迎角变化情况，可以看出随着迎角的增加，同一滑轮半径下的△L略有增加，但变化并不明显。不同滑轮半径R0所对应的△L变动明显，这说明滑轮半径是影响绳索长度的决定性因素。

同图8中结果类似，图9中同一滑轮半径下的相对误差δ随迎角变大略有增加，不同滑轮半径所对应的相对误差更为明显，尤其是当滑轮半径R0=20 mm，迎角30°时，δ超过了0.005%，此时若使用理论绳长值代替实际值，将对机构的姿态精度带来明显的误差，这显然是不可取的。

3.3 滑轮选用的通用性原则

以上分析表明，当机构及绳索长度大体确定以后，滑轮半径R0对绳长的计算程度有关键性的影响。参考图4中各矢量之间的关系，实际绳长L、理论绳长L0、相对误差δ以及滑轮半径R0之间的关系由式(3)决定：

(3)

其中，理论绳长L0取表2中的值718.22 mm，根据式(3)，可以计算得到L/R0与对相对误差δ的变化规律，如图10所示。图10中曲线的走势近似一条双曲线，表明L/R0和δ呈现反向变动关系，即当绳索长度确定以后，半径R0越小，则L/R0越大，相对误差δ就越小。由此可以得出一个重要结论：当支撑机构模型大小及绳长近似确定以后，选用直径较小的滑轮可以提高绳索长度的精度，从而提高绳系并联机器人机构的位置和姿态精度。这一结论同样适用于此类样机系统的结构设计。

4 结论

本文搭建了一套应用于低速风洞试验模型支撑系统的绳系并联机器人样机，建立了包含滑轮直径的样机几何模型，分析了滑轮直径对绳索长度误差的影响情况。经过详细的计算和分析，得出了以下结论：1)在绳系并联机器人机构中，将滑轮简化为理想的点对绳索的实际长度具有一定的影响；2)绳长远大于滑轮直径时，将滑轮简化为理想的点所产生的绳索长度相对误差是一个高阶小量，此时可以简化为用绳长理论值替代实际值，具有一定的合理性；3)样机的结构和绳索长度大致确定以后，在保证系统安全和强度的前提下，应当尽可能选用直径比较小的滑轮，这样可以提高绳索长度求解的精度，进而提高模型位置和姿态控制的精度。