挡土结构墙后黏土主动土压力改进计算

蒋峻峰，赵其华，喻 小，王 谊

(1.成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都 610059；2.成都理工大学 环境与土木工程学院，成都 610059；3.华南防灾减灾研究院(深圳)有限公司，广东 深圳 518001)

1 研究背景

挡墙作为一种有效的挡土结构，被广泛应用于水利、交通、建筑等领域。由于其形式与位移方式简单，常被用来研究支挡结构后侧土压力的分布规律。自1776年库伦采用砂土对挡墙墙后土压力大小与分布规律进行研究以来，墙后土压力的研究一直持续不断[1]。1875年朗肯研究半无限弹性土体的应力情况，建立了考虑土体黏聚力的朗肯土压力理论[2]。从此形成两大经典土压力计算理论，多数土压力深入研究均基于这2种经典的力学模型。

经典土压力计算模型是在一定假定与模型简化的基础上得到的，其理论计算值自然与实际土压力分布存在一定差异。目前墙后为砂性土的室内模型试验表明，在绕基底转动模式(RB)下，墙后土压力沿深度方向逐渐增加，基本呈线性增大，而同一点处的土压力随位移增加则逐步递减，最后趋于稳定。在另外2种模式下，即平移(M)和绕墙顶转动(RT)模式下，土压力沿深度方向变化则呈非线性分布[3-8]。对于墙后为黏性土的室内模型试验，在不同位移模式下的墙后土压力分布规律大致与墙后为砂性土的分布规律一致[5,9]。而文献[10]和文献[11]中对已建山地挡墙和超深基坑背侧土压力的实际监测数据表明，该类墙后土压力沿深度方向分布方式更为复杂，且一段时间内土压力随时间呈增加趋势。

对墙后土压力计算方法的研究，Bang[12]在库伦土压力计算理论的基础上，利用极限平衡关系，得到一种可考虑墙体位移的墙后砂土土压力计算公式。Mazindrani等[13]则在半无限空间极限应力条件下利用摩尔应力圆，得到一种墙体直立且墙顶面为倾斜土坡的黏性土压力计算方法。而文献[14]和文献[15]则分别在库伦土压力理论基础上，得到一种能计算黏性土的土压力计算公式，但其直接利用朗肯理论得到拉裂缝高度，忽略了黏聚力对反力R与滑移面法线夹角的影响，且采用图解法或近似试算法的求解过程非常复杂。Peng等[16]则基于极限平衡理论利用滑移线法对挡墙墙后主动土压力和滑裂面土反力进行求解，但该法需采用有限差分法求解极限平衡的边值问题，求解过程仍然非常复杂。文献[17]和文献[18]则得到一种考虑了土拱效应在平动模式下砂性土的土压力计算方法。对于位移与主动土压力关系的计算理论，Mei等[4]利用边界条件推导了一种能考虑任何位移条件的主动土压力与被动土压力的计算方法。文献[19]推导了一种在平动模式下黏土土压力的非极限土压力计算方法，研究了墙后土体黏聚力、摩擦角与位移之间的关系。

尽管目前国内外对土压力理论的研究已取得较多成果，尤其对墙后砂土的土压力研究较多，但实际工程边坡中的悬臂式钢筋混凝土挡墙、桩板墙以及基坑中的桩、墙支护结构等支挡结构后侧存在大量黏土，且支挡结构高度越来越大。由于忽略了众多因素的影响，经典的朗肯土压力计算理论在大型结构中的计算误差较大；而对考虑更复杂因素的黏土土压力计算，一般基于库伦理论，采用等代内摩擦角来综合考虑c和φ值对土压力的影响[20]，或是采用其他经验公式，对墙后黏土层土压力进行计算。但上述仅是一种经验算法，力学概念不清，依旧存在计算误差较大的情况，而文献[14]和文献[15]的试算法和图解法求解过程过于复杂。因而，需进一步研究一种简单有效的黏土主动土压力计算方法。本文在库伦土压力理论基础上结合前人研究成果，推导了一种考虑墙土摩擦角、墙顶张拉裂缝区、墙体位移状态和折线滑动面的黏土主动土压力计算方法，同时也考虑了土体黏聚力对非滑动区土体的反力R与滑移面法线夹角的影响，该方法能对实际工程提供一定理论指导。

2 黏性土主动土压力理论分析

2.1 模型假定

假定挡墙墙体为刚性，初始状态与地面垂直，其绕B点转动，墙顶水平位移为s，经过一定位移达到极限状态，且顶面依旧保持水平。黏性土挡墙受力破坏分析如图1所示。

图1 黏性土挡墙受力破坏分析Fig.1 Analysis of forces in cohesive soil acting on retaining wall

墙高H为已知值。墙顶不考虑荷载作用，当墙后土体达到极限状态后，其破坏面由平面BC与CD组成[9,21]，且破坏面一直经过B点。在墙土体系变形过程中，非滑动区土体初始对滑动土体存在一定挤密作用，墙体经历位移s后达到极限平衡状态，假定此时墙后滑动区土体为刚楔形体。墙后土体重度为γ，黏聚力为c，内摩擦角为φ，墙土间摩擦角为δ，且不考虑墙土间黏聚力影响，破坏面与水平面夹角为α，墙后土体张拉裂缝高度为z，土体深度为h，墙顶拉裂缝宽度为b，反力与BC面法向的夹角为φm，面板绕墙脚转动角度为ε。其余符号参数详见图1。

2.2 公式推导

根据图1中滑动土楔体EBCD的静力平衡条件，可知G、R、Q的力平衡关系，见式(1)和图2。

图2 力的关系Fig.2 Relationship of forces

(1)

式中：G为土楔体EBCD自重；Q和R分别为挡墙和非滑动区土体对土楔体的反力；T1和T2为BC面和AB面上的剪切力；N1和N2为与接触面垂直的作用力。

根据摩尔-库伦破坏准则，BC平面上的剪应力由接触面处的摩擦力和黏聚力2部分组成[14-15]，即

T1=N1tanφ+clBC。

(2)

式中lBC为BC段长度。

T2=N2tanδ。

(3)

由图1中的三角形ABC的三角关系，可得:

b=(H-z)cotα;s=Htanε。

式中l为线段长度。

由上述线段关系可得滑动楔体EBCD的自重为

G=γ(SABC+SACDE)=

(4)

式中：SABC表示三角形ABC的面积；SACDE表示四边形ACDE的面积。

由三角形ABC中的正弦定理，可得

(5)

(6)

将式(6)代入N1=Rcosφm中，则可得:

(7)

N2=Qcosδ。

(8)

将式(2)、式(3)、式(7)和式(8)分别代入静力平衡条件，即

T1cosα+N2cosε=N1sinα+T2sinε。

(9)

则有

Q=λ1G-λ2c。

(10)

式中：

(11)

(12)

将式(4)代入式(10)，则侧向总的土压力为

若令c=0、z=0，代入式(13)，则有

式(14)即为挡墙的库伦主动土压力合力计算公式。

根据式(13)可知，Q是关于α的函数，而张拉裂缝高度z也是一个关于α的函数，且其与挡墙高度无关。若式(13)直接对α求导并求解，难以得到α的函数解。根据文献[20]，主动土压力强度是由pa=dQ/dh确定的，故在式(13)中，将H用h(深度)替换后，式(13)对h求导，可得到主动土压力强度pa，再利用pa与α的关系来求解cotα，则最终求解过程会相对简单，即

cotα=-tan(φm+ε+δ)+

(16)

式中破裂角α还应满足条件0<α<90°，且Hγtanφ-ctanφmtan(δ+ε)+c>0。

由于cotα是一个关于α的单调函数，如求得的cotα仅存在一个值满足条件，这个值可使pa取得极值，则同样仅存在一个α值，使pa取得极值。

当c=0时，将φm=φ代入式(16)，则

cotα=-tan(φ+ε+δ)+

(17)

式(17)与文献[22]中当ε>0时得到的cotα的解一致。这表明，上述计算公式在c=0时，式(15)可简化为库伦主动土压力计算公式。

为求解φm，可依据抗剪强度等效原理[23]，得到

N1tanφm=N1tanφ+lBCc。

(18)

将式(4)和式(7)代入式(18)，则得到

(19)

式(20)表明，可大致依据朗肯理论通过φ、γ、c、H得到φm的一个定值。

2.3 墙顶张拉裂缝高度计算

将边界条件深度h=z、pa=0代入式(15)，则可得到墙顶张拉裂缝高度为

(21)

式(21)表明，墙顶黏土张拉裂缝高度z是关于c、α、φ、φm、ε、δ和γ的函数。

将式(11)、式(16)和式(20)代入式(21)可得到张拉裂缝高度和黏聚力与内摩擦角的关系(图3)。图3表明，当黏聚力一定时，随着墙后土体内摩擦角和黏聚力的增加，墙顶张拉裂缝高度也增加。

图3 张拉裂缝高度和黏聚力与内摩擦角的关系Fig.3 Relation between tensile crack depth and internal friction angle under different cohesive forces obtained by the present formula

而根据朗肯理论，计算得到表层土体受拉区高度zc为

(22)

墙后土体张拉区高度仅与土体φ、c、γ有关，与挡墙顶位移、挡墙高度无关。墙后张拉裂缝高度随内摩擦角增大而增大。

图4为朗肯理论计算的张拉裂缝高度与内摩擦角关系。图4表明，本文计算得到的张拉裂缝高度变化规律与朗肯计算理论一致，但本文计算张拉裂缝高度则偏小，主要是本文计算方法考虑了更多的因素。对朗肯理论，当挡墙高较小而墙后土体c和φ值均较大时，张拉裂缝可能深入到挡墙基础底部以下较深位置，挡墙与墙后土体完全脱离，此时朗肯理论得到的计算结果可能与实际挡墙破坏时的情况不符。而本文方法则需要满足Hγtanφ-ctanφmtan(δ+ε)+c>0的条件，当墙高过小，且土体强度较高，则会无法计算，避免了出现与实际不符的计算结果。

图4 朗肯理论计算的拉裂缝高度和黏聚力与内摩擦角的关系Fig.4 Relation between tensile crack depth and internal friction under different cohesive forces obtained by Rankine’s theory

3 模型试验对比

3.1 算例1

文献[7]对墙后为矿渣(slag B)和粉砂(silty sand)等无黏性土和黏性土2种回填土材料进行了一系列大型模型试验。挡墙墙高H=10 m，墙顶地面水平且无超载。墙土摩擦角均依据文献[7]的建议方法取值。墙后回填土物理力学性质如表1。

表1 文献[7]中的地基土资料Table 1 Properties of foundation soil in literature [7]

图5对常见的几种土压力理论计算方法与本文计算方法在无黏性土的情况下进行比较。结果表明本文计算值与库伦土压力计算值一致，试验中测得的土压力沿深度方向分布在理论计算值的两侧。图5显示朗肯土压力计算值偏大，这主要是由于计算中朗肯主动土压力计算没有考虑墙土摩擦角δ。

图5 无黏性土的土压力不同理论计算值与试验数据比较Fig.5 Comparison of noncohesive soil pressure between theoretical calculations and large-scale experimental values

图6为不同土压力理论计算方法与本文计算方法在黏性土的情况下进行比较。中大尺度模型试验中，随着位移增加，土压力不断减小，即使当s=100.4 mm时，墙后土体接近主动状态，此时局部深度的试验值依旧比理论计算值偏大，可能是由于底部土体仍未完全进入主动状态。图6中朗肯土压力计算值明显比本文计算值偏大，而大尺度模型土压力实测值与本文计算值更为接近。另外一方面，土压力实际测得的侧向土压力合力约为118 kN，而本文计算值则为107.7 kN，朗肯计算值为136 kN，等效内摩擦角法计算值为132.62 kN，朗肯土压合力值明显比试验值和本文计算值偏大，而等效内摩擦角法则与朗肯计算值基本一致。

图6 黏土的土压力不同理论计算值与试验数据比较Fig.6 Comparison of cohesive soil pressure between theoretical calculations and large-scale experimental values

3.2 算例2

文献[9]采用自制位移控制液压装置对挡墙后回填黏土做了11组离心模型试验。模型墙高H=250 mm，模型比率为80.14，回填黏土重度γ=18.60 kN/m3，黏聚力c=38.2 kPa，内摩擦角φ=22.7°，墙、土间摩擦角δ= 2φ/3=15.13°。试验过程中挡墙采用以绕墙底转动、绕墙顶转动和平移3种组合位移模式。试验中挡墙达到主动状态的位移s=2.7 mm。

根据文献[9]试验测得的数据，当位移达到2.7 mm时，挡墙才达到主动状态，因此图7中s=2.5 mm时测得的土压力应比真实的主动土压力更大些。图7中在约3/4H墙高处土压力实测值发生偏转，这表明实际的挡墙组合位移后，墙后土体内部土压力出现应力偏转。在墙后土体接近主动土压力状态后，墙后3/4H墙高以上部分的土压力分布更接近等效摩擦角计算值，但实测土压力合力值约为687.60 kN，本文计算值为620.34 kN，朗肯计算值为788.11 kN，等效内摩擦角计算值为758.42 kN。这表明，在考虑墙顶一定偏转位移后，本文公式计算的土压力合力值比实测挡墙土压力合力值偏小，但相比朗肯计算值与等效摩擦角计算值，更接近主动土压力实测值。

图7 组合模式下土压力模型实测值与理论计算值比较Fig.7 Comparison between theoretical calculations and experimental values obtained under compound movement mode

3.3 算例3

文献[5]对挡墙RB位移模式下的墙后黏土土压力进行模型试验。模型参数如下：挡墙墙高H=4.5 m，墙顶地面水平且无超载，墙后回填黏土重度γ=14.27 kN/m3，黏聚力c=1.472 kPa，内摩擦角φ=24°，墙、土间摩擦角δ= 2/3φ=16°，RB模式下挡墙墙顶水平位移s=40.1 mm。

图8对文献[5]中挡墙在RB模式下的土压力实测值、有限元计算值、等效内摩擦角计算值和本文计算值进行比较。由图8可知，本文计算值比朗肯计算值偏小，而比等效内摩擦角计算值偏大，但本文计算值与模型试验土压力实测值吻合度最好，实测值紧靠在本文计算方法分布直线的两侧。模型试验中实测土压力合力为47.19 kN，本文计算值为45.92 kN，朗肯计算值为52.63 kN，等效内摩擦角计算值为41.48 kN。通过比较土压力合力计算值，可看到本文计算值与实测值最为接近，等效内摩擦角计算值则明显偏小，而朗肯计算值则明显偏大。图8中有限元计算值与本文计算值存在一定偏差，且在位移条件下有限元计算的土压力分布表现出很强的非线性，比实测值先偏小，后偏大，在接近墙底附近处，土压力出现明显转折，最终计算值与本文计算值一致。这可能是因为有限元分析时考虑了一定的土拱效应，导致墙底部土压力出现应力偏转。

图8 RB模式下土压力模型实测值与理论计算值比较Fig.8 Comparison between theoretical calculations and experimental values obtained under RB movement mode

通过以上3个算例对黏性土和无黏性土的不同主动土压力理论计算值与实测值对比分析，发现本文主动土压力改进计算值与模型实测值基本能较好地吻合。本文公式计算所得土压力存在偏小的可能，但偏差在10%以内。与其他理论计算公式比较，在墙高较大的情况下，朗肯计算值和等效摩擦角算法得到的土压力明显偏于保守，而本文方法考虑了墙土内摩擦角、张拉裂缝、折线滑动面对土压力计算的影响，以及黏聚力对反力R与滑移面法线夹角的影响，能更好地反映RB位移模式下的支护结构后侧土压力分布及土压力合力值。

4 结 论

本文在库伦土压力理论的基础上，利用静力平衡条件，推导了一种新的考虑墙土摩擦角、张拉裂缝、挡墙墙背位移和折线滑移面的主动土压力求解 计算方法，该方法同时也考虑了黏聚力对反力R与滑移面法线夹角的影响。通过一系列模型试验中的无黏性土和黏性土的实测值及其他计算理论的相互对比验证，证明了本文计算方法具有一定合理性。当墙后土层为无黏性土时，本文计算方法可简化为库伦主动土压力计算公式；当墙后土层为黏性土时，该计算方法相比文献[14]和文献[15]中的主动土压力计算过程更为简便，同时能考虑多种外部因素的影响。因此，该主动土压力改进计算方法对实际支挡工程具有一定的理论指导意义。

由于本文建议计算方法建立在库伦土压力理论基本假定上进行的理论推导，因此只能考虑极限平衡条件下的墙后主动土压力计算，而实际墙后土体大多数情况下处于非极限状态；另外本文将墙后处于极限平衡状态土体等效为刚楔形体，且认为折线破裂面始终经过墙脚位置，这与实际土体产生的弹塑性变形、曲面破坏面和破坏位置仍存在一定差距。