运用化归数学思想，把握初中代数基本建构

山东省平度市实验中学 刘玉鹏

一、数学化归思想概述

作为重要的现代数学思想，化归思想需要将数学问题完成由难到易、由繁到简的处理，整个过程需要完成转化与归结，因此被称为化归。从化归思想特点来看，包含数学化、代数化和计算化。著名的数学家笛卡尔就曾经指出：“把一切问题化归为代数问题”，将化归思想当成解决问题的“万能方法”。在初中代数学习中，包含较多细碎知识点，想要在解题中做到熟练运用，还要做到运用化归思想完成知识方法的不断转化，从而完成代数基本建构。

二、化归思想在初中代数基本建构中的运用

（一）树立思想，深化理解

在初中代数学习中，教师常常会提到化归思想，但也总是停留在“提到”阶段，如在解题时简单叙述“这道题采用化归思想解答”，给学生留下了抽象印象，难以真正理解化归思想。对于学生来讲，由于教师未能向学生充分展示化归思想与解题规律的关系，学生较难从中获得启示，因此难以树立化归思想。教师应在初中代数教学中指导学生树立化归思想，能够深入理解化归方法。例如，学习“不等式”的内容，针对“利用不等式不同性质比较2a与a的大小(a ≠0)”的问题进行讲解，不能一味强调学生对不等式知识的理解和运用，还要引导学生通过思考将陌生问题转化为熟悉问题，完成问题严密推理，从而加强化归思想的理解和把握。具体来讲，就是可以先要求学生尝试运用之前学到的知识进行问题解答，学生利用“作差法”，能够得到：

∵2a>a ∴2a - a>a - a ∴a>0。

（二）加强运用，锻炼思维

在学生理解化归思想后，教师还要指导学生加强化归思想运用，以便得到思维锻炼，做到熟练运用化归思想解题。在初中代数解题中，时常会遇到各种复杂问题，导致学生产生畏惧心理。运用化归思想训练学生解题，能够使学生反复将复杂问题简化为多个简单问题，得到思维锻炼的同时，学会借助化归思想对复杂题目进行推敲，完成关键知识点提炼，继而顺利完成问题解答。例如，求解“实数a，b 满足a +b2= 1，求2a2+ 4b2的最小值”这一题，其中包含两个字母，属于二元问题。运用化归思想，可以得到：

∵a + b2= 1∴b2= 1- a∵2a2+ 4b2= 2a2+4(1- a)= 2(a - 1)2+ 2。 ∵a= 1- b2≦1∴a= 1时，2a2+ 4b2最小，取值为2。在进行代数多元问题求解时，要求学生根据题目结构特征对元与元关系展开分析，学生可以学会将问题化归为一元问题。除了用于求解简单多元方程，化归思想也能用于求解高次方程，使方程转化为低次。因此在锻炼学生化归思维时，可以引入这类方程。例如，“已知方程x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56= 0，两根为大于2的连续整数，求a值和方程根”这一问题属于三次方程，学生刚接触容易感到无从下手。运用化归思想进行分析，可以发现各项系数和为0，原方程的根为1。而在方程中，只需要对x - 1 因子进行提炼就能转化为一元二次方程问题，解题如下：

∵x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56

=(x - 1)[x2+(a + 18)x + 56]

= 0

又∵方程x2+(a + 18)x + 56= 0 的根为比2 的连续整数，假设分别为x1和x2，假设x2= x1+ 1

∴x1+(x1+ 1)=-(a + 18)，x1(x1+ 1)= 56

∴x1= 7，a=-33，x2= 8，为原方程三个根。

反复指导学生运用化归思想解题，能够使学生完成从模仿到自主思考的过渡，使化归思想得以融入学生知识体系中，成为学生解题的重要手段。习惯运用化归思想思考问题，能够使学生做到有序思考，解题时迅速找到思路。

（三）引导反思，建构模型

经过一段时间的代数学习，学生基本可以形成运用化归思想将陌生问题转化为熟悉问题，凭借已经掌握的知识求解问题。在此基础上，教师需要引导学生进行反思，总结化归思想主要用于哪些问题求解。但化归思想作为将一种状况向另一种状况转化的数学思想，并非仅仅停留在复杂问题简化层面。教师适时提出“将一般问题转化为特殊问题”的化归思想，能够拓展学生的思维，最终对化归思想产生全面理解，完成代数化归模型的建构，继而为代数学习奠定扎实基础。例如，教师可以要求学生求解“(20192+ 4)/(20212+ 20172)”这一问题，题目中拥有特殊数字，按照常规方法求解需要完成复杂运算。但运用化归思想，可以利用字母x 对数字进行表示，根据三个数字关系进行题目重新整理，得到：

假设x= 2019，则2017= x - 2，2021= x + 2，

(20192+ 4)/(20212+ 20172)

=(x2+ 4)/[(x + 2)2+(x - 2)2]

=(x2+ 4)/2(x2+ 4)

= 1/2

通过题目求解，学生能够从中获得启示，发现化归思想也可以用于对代数问题进行特殊化处理，从而简化题目求解过程，直接获得结果。在初中代数学习阶段，许多问题如果采用常规方法需要完成复杂运算，都可以运用化归思想进行处理，以便使解题效率得到提高。

三、结语

在初中代数教学中，教师还应逐步实现化归思想渗透，促使学生逐步完成代数基本建构。在实践教学中，教师将化归思想与代数问题求解充分融合，能够帮助学生理解化归思想，并在解题锻炼中得到思维巩固，最后通过反思得到思维拓展，做到灵活运用化归思想学习代数。