直观想象素养视角下的微专题教学实践研究*——以动点的轨迹方程为例

福建省厦门市厦门实验中学(361116) 吴俊英

引言

直观想象是数学核心素养的关键组成,是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.在数学解题中,直观想象更是不可或缺的重要思维与工具.很多看似复杂,无从下手的数学问题,借助直观想象就可能很容易获得解题的捷径.高三二轮复习时间紧,任务重,教学时可以聚焦一个具体考点(重点、热点或难点),以微专题的形式组织教学活动,一个微专题占用1-2 课时.微专题学习可以有效激发学生学习兴趣,提高学生学习积极性,调动学生学习主动性,从本质上提高学生数学素养.本文以圆锥曲线轨迹方程为例,谈谈直观想象素养视角下的微专题教学实践.

1 教学诊断分析

求动点的轨迹方程是解析几何的重要内容.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养,因此这类问题成为高考命题的热点,也是学生的一大难点.学生在解决解析几何有关问题的时候,存在以下几种问题: (1)识图、作图、用图意识薄弱,解题时没有养成作出草图或相对准确图像的意识;(2)平面几何知识较弱,无法充分挖掘几何条件,结合平面几何知识,减少计算量.(3)对题目中条件的含义理解不清,无法选择选择简便的方法实现几何条件代数化或者代数条件几何化;(4)对不同题型相应的方法选择较盲目,多凭感觉而没有养成解决一类问题的思考路线.

2 归纳知识结构

本节内容要求学生正确理解曲线与方程的概念,会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题,用方程的观点实现几何问题的代数化解决,并能根据所给条件选择适当的方法.教学时可以借助思维导图,由学生自主归纳求动点的轨迹方程的一般步骤及求动点轨迹方程的思维出发点和思考路线.

设计意图: 经过一轮复习,高三学生应能明确求轨迹方程中“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤以及求曲线的轨迹方程的常用方法: 直接法、定义法、相关点法、参数法等.但学生对于方法的选择更多只停留于利用方法简单机械的操作,而对其背后的思维出发点还不甚清楚.通过知识归纳帮助学生进一步理顺解题思路.

3 例题及变式练习

以高考题为例重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法,再通过变式练习强化,达到能力迁移.教师在课前学案中要求学生先对例题进行求解,并尝试一题多解,体会不同方法在求解时计算量的不同,作出优劣判断,体会图形在解题中的作用.

图1 例1 示意图

图2 例1 简化图

例1(2016 全国卷I理科数学第20 题节选) 设圆x2+y2+ 2x −15 = 0 的圆心为A, 直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.

设计意图: 强调全国卷尽量不给图的特点,要求学生通过审题自己作图,结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路.强化学生作图能力.如图1,一般学生在画图时也会画出直角坐标系,本题中可引导学生作图时先不画直角坐标系如图2,更易看出各个几何量之间的代数关系.

表1: 常见曲线的特征

解题时从条件中判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的要素(如表1 所示),求出曲线方程.解题时要从动点与定点的位置关系角度理解问题,去探究目标“证明为定值”的证明思路.定义是数学问题研究的起点,圆锥曲线的定义蕴含了丰富的几何内涵,对问题的理解与思考具有深刻的意义,所以运用定义中蕴含的几何特征进行解题,经常是有效的解题思路.分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,则可根据定义采用设方程,求方程系数得到动点的轨迹方程.

变式练习1: 点Q(6,0),点P在E的轨迹上移动,求线段PQ中点的轨迹方程.

变式练习2: 求CD中点的轨迹方程.

追问: 直线l与E的轨迹的交点记为G,H,求GH中点轨迹方程.

变式练习3: 已知点E(1,0),已知抛物线C:y2= 2x,过点E的动直线l与抛物线C交于A,B两点,线段A,B的中点为M,求M的轨迹方程.

设计意图: (1) 如果轨迹动点M(x,y) 依赖于另一动点P(a,b), 而P(a,b)又在某已知曲线上, 则可先列出关于x,y,a,b的方程组,利用x,y表示出a,b把a,b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程(如变式1).(2)解题时有时要借助平几中的有关定理和性质: 有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.(如变式2 可利用垂径定理推出轨迹为圆进而利用圆的定义进行求解).(3)变式练习3 与前面不同,不易写出动点M在移动时所满足的几何条件,但可以发现,动直线AB绕点E旋转是引起动点移动的M原因,因此可以用直线AB斜率过渡,进行求解.

在求轨迹方程时,如果不容易得出动点应满足的几何条件,也无明显的相关点,但却较容易发现(或经分析可发现)该动点移动的原因是受到另一个变量(角度,斜率,比值,截距或时间等)的影响,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们称这个变量为参数,由此建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法(或设参消参法),如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可.在选择参数时,选用的参变量可以具有某种物理或几何性质,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率及点的横纵坐标等,也可以没有具体的意义,还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

总之,在求动点的轨迹方程问题时,从以下两方面进行思考:

(1)寻求约束动点移动的几何条件.(2)寻求引起动点移动的原因,借助动因找到动点坐标之间的联系.

例2(2016 全国卷Ⅲ文科数学第20 题节选)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.若∆PQF的面积是∆ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

图3 例2 示意图

图4 例4 示意图

设计意图: 如图3, 借助图形分析,S∆P QF=可以由 面积关系发现直线AB经过定点E(1,0)问题转化为例题1 变式练习3.同样的,在作图时可先不画y轴,减少干扰,便于观察各几何量直接的关系.

变式练习1: 设点A、B为抛物线C:y2=2x上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

设计意图: 本例中动点满足的几何条件无法直接代数化,可以寻求引起动点移动的原因.解法一以OA斜率为参数进行求解,解法二以AB斜率为参数进行求解,解法三借助几何画板进行演示,可以发现直线AB恒过抛物线的定点E(2,0),由OM⊥AB,得M在以OE为直径的圆上(O点除外).

变式练习2: (2013年高考辽宁卷理科数学第20 题)如图4 所示, 抛物线C1:x2= 4y,C2:x2=−2py(p ＞0),点M(x0,y0)在抛物线C2上, 过M作C1的切线, 切线为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0= 1−√时,切线MA的斜率为

(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.

设计意图: 再次巩固参数法.明确当动点的几何条件直接代数化存在困难时,可以借助因为动点移动的原因建立动点坐标之间的练习,从而解决问题.

4 强化作图意识

具体操作: 教师课堂上注意使用尺规规范作图,示范指导如何结合作图过程读题、理解题意,如何将试题信息汇集于图,如何用图思考、发现问题解决的方法,并要求学生当堂将各例题及变式练习再作图感悟,通过审题自己作图,结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路.

设计意图: 几何直观是通过图形的生动性与形象性直观清晰地描述数学问题,分析数学问题,从而实现抽象思维与形象思维间的转换,将某些复杂的数学问题简单化,帮助人们解决数学问题.解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,结合平面几何知识,这往往能减少计算量.关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用,关注几何图形(特别是三角形)相关方法在运算中的应用.数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.另要解题时应留心失误.在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,因此,在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,将其剔除(如例题1 及其变式练习1,例题2 的变式练习1均应注意排除个别点);另一方面,又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外,要将其“捉拿归案”.求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分.

5 教学实施建议

(1)重视直观图形的教学

希尔伯特说:“要帮助我们的学生学会用图形来描述和刻画问题, 学会用图形去发现解决问题的思路.”直观想象在数学课堂教学实践中扮演重要角色,教师应重视基本图形的教学,认为课堂上应给学生提供探究的机会,让学生在探索几何图形的结构特征中形成几何直观,体会直观抽象;通过图形、符号语言的表达与交流发展学生几何直观和空间想象、合情推理的能力;通过画图感悟、探究本质、构建模型来凸显课堂教学结构;通过培养学生的主动用图意识,锤炼学生画图技能,提高学生识图能力,培养学生以形助数能力,进而提高学生几何直观素养.

(2)合理设置微专题

教师要善于从学生学情出发,根据学习需要,以具体知识或方法为中心,通过一条清晰的主线将问题串联起来,围绕重点和关键点设计教学,突出知识或方法间的相关性,或者是整合学生的易错点和难点进行微专题教学;教学活动重心应当从教转到学,加强学法指导,要帮助学生将问题表征、图式构建与学生思维有机结合.重视直观图形,通过设置直觉想象意境,促进学生主动参与,探索数学问题本质,由学生体会用图形描述、理解、解决数学问题的过程,积累活动经验,在潜移默化中提升直观想象素养.