核心素养导向下数学运算能力的培养

钱桂荣 (江苏省锡山高级中学 214174)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称新课标)指出：数学运算与数学核心素养的其他五个要素构成一个有机整体，它们既相互独立，又相互交融． 在数学运算核心素养的形成过程中，要使学生能够理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得正确运算结果，以此进一步发展数学运算能力． 下面结合本人的教学实践，谈谈寻求提升学生运算能力的途径和方法．

1 明确运算对象，把握运算的指向性

新课标指出，数学运算是在明晰运算对象的基础上进行的． 在课堂教学中，通过理解运算对象的内容、运算对象的背景、运算对象所在的知识体系，多角度观察，实现运算对象的多元表征，并广泛联系相关知识，引导学生对已知与未知条件进行合理推断，揭示因果关系 (由因导果或执果索因)，牢固掌握并灵活运用概念中所表现出的数量化、符号化的内涵，明确运算对象，把握运算的指向性．

明确运算对象要求我们从多个视角审视运算对象：已知条件是什么？已知条件中的对象与所求对象有怎样的联系？从数量或图形角度看，它们有何内在联系？从数量的角度看，对应的数量、代数式、不等式、方程等是什么？从图形的角度看，图形由哪些基本的几何元素组成，这些几何元素之间有怎样的位置和数量关系？这些问题在运算一开始都要考虑清楚，做到运算指向正确、任务明确．

2 准确运用运算法则，把握运算的合理性

数学运算最基本的要求是准确运算，提升运算能力的关键在于整体把握概念的实质、深刻揭示运算的本质，理解算理，遵循运算的基本法则．

本题容易采用下面的错误解法：

从上面例子可以看出，学生在运算中出现的错误从本质上说是对一些公式、定理、法则的本质掌握不够清楚，要提高运算的准确性，必须狠抓算法、算理的正确使用， 避免盲目套用公式法则而导致解题失误．

3 突出运算思路的寻找，把握运算的准确性

探究运算思路是在理解运算对象、运算法则的基础上，确定运算的具体指向，寻求运算的条理和头绪，是对数学运算的进一步推进． 运算思路合理与否，将决定运算的简与繁，甚至成与败，思路一旦确定，后面的工作便迎刃而解． 因此，探究运算思路是数学运算中的关键环节，通常也是最为困难的．

寻求运算思路时我们不妨可以借助波利亚的《怎样解题》中提供的各种途径：探寻包含在问题中的所有概念、公式、定理与方法，能不能利用它？联想与现在的问题有关且已解决的问题，考虑能不能利用或模仿它？仔细推敲每个条件或努力挖掘出隐含条件，尝试对问题进行转化与化归，正难则反． 如不能解决问题，能否找出一个更易着手的有关问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？一个更普遍的问题？

4 注重运算方法运用，把握运算的简捷性

运算速度是运算能力的重要标志，在数学教学中要强调在准确运算的前提下算得快，而要想算得快，就必须做到基本运算熟练，运算方法合理，运算途径简便． 同一个问题往往可用不同的思路和方法去解决，方法选择得越合理，运算速度也就会越快． 有些数学问题可根据题目的已知条件，利用有关概念、性质、法则进行简化运算，从而提高运算速度．

图1

分析2 由于直线l过椭圆的右焦点，所以AF,BF都是椭圆的焦半径，因此可以考虑用椭圆的第二定义，通过数形结合来求解．

图2

上面两种解法中，第一种解法(即代数方法)是解决此类问题的通法，推理清晰严密，通过逐步消元求解，体现了解析几何的一般解题方法，但这种方法有一定的运算量． 第二种解法(即几何方法)，过程比较简单，运算量很小，不易失误． 然而当改变条件，直线不经过焦点，此时AF,BF不是焦半径了，几何方法就不适合了，只能用通法(代数方法)来求解．

5 讲究运算的程序设计，把握运算的逻辑性

运算程序是对运算思路的具体落实，合理的运算程序设计是建立在对问题本质的思考之上的，它使运算按部就班地展开，易于驾驭，这对繁杂的运算尤为必要． 因此，应重视程序的设计，并相对“固化”一些常见且重要的运算程序，便于学生掌握．

③-④，得an=(1+S2)qn-3(q-1)(n≥3)． 接下来只要求出q，即可得到数列{an}的通项公式，只需要再用赋值法求出前几项即可．

由⑤⑥得a3=4，a4=8，从而q=2． 所以an=(1+S2)qn-3(q-1)=2n-1(n≥3)． 由于a1=1，a2=2也满足上式，故an=2n-1(n∈N*)．

在上述问题的解决过程中，先由条件对正整数m,n任意变化时，等式恒成立，可先固定一个量m，然后得出Sn+1与S2n关系，再由n和n-1对应的两个等式成立，两边对应相除，得出{1+Sn}(n≥2)成等比数列，得到式子后再由an=Sn+1-Sn求得an(n≥3)关于n的关系式，最后对条件多次赋值求出数列前四项，这样既求出了公比，也说明n=1，n=2时也满足求出的当n≥3时的关系式，从而得到数列{an}的通项公式． 这些运算步骤都是数列问题的常用运算程序．

6 追求运算结果正确，把握运算的规范性

求得正确的运算结果，是进行数学运算的最终目的，处理不好，会前功尽弃． 运算技能必须通过长期的限时限量的训练才能得到提高． 由于高中数学教学内容多、任务重，而一些“烦琐”的运算很费时，在教学中教师要精心备课，在关键运算点上要舍得花时间，对求解过程中学生可能忽视的知识与方法、运算的程序与要点、或者可能产生的错误，以及计算时可能会遇到的障碍等，要进行全面的考察或预估，并在教学时重点加以关注． 在运算训练中，应重点强调基本运算、规范运算，这是提高运算准确率的基础. 在教学过程中充分让学生参与一些数与式的运算过程，如在学习解不等式、三角恒等变换及圆锥曲线时，要有意识地安排一些运算量较大的问题，以培养学生不怕繁难运算的意志品质，并对典型的运算障碍与错误经常进行剖析，促使学生在经常性的运算过程中提高熟练程度和准确率．

运算能力不能脱离具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他核心素养而独立发展． 它与观察能力、记忆能力、表达能力、理解能力以及思维能力等诸多因素互相渗透、协调发展． 培养与提高学生的运算能力是一项复杂的系统工程，要贯穿于数学教学的始终，要有计划、有目标、有意识地运用科学的方法进行长期的渗透和培养，使学生逐步领悟运算能力的实质，进而逐步提升思维能力和数学核心素养．