不定方程x2+256=y17的整数解

高 丽，董 娟

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

1 引言及主要引理

不定方程既是数论的一个主要研究对象，也是研究数论的重要理论工具。不定方程的研究结论，不仅有助于数学各个领域的发展，并且在其他非数学的领域中也存在着巨大的应用价值。在不定方程的解法问题上，还没有得到通用的结论，但总的原则是通过初等方法或者高等方法把所求解的不定方程转化为相对简单、熟悉的方程进行求解。

设A∈N，关于不定方程

x2+A=yn(x，y，n∈N,n≥2)

(1)

整数解的存在情况，是数论中的一个重要问题。近年来，许多数学家对相关方程进行了探究，并得出了相应的结论。

文献[1]证明了当A=1时，方程(1)无整数解；文献[2]证明了当A=16,n=3时，方程(1)无整数解；文献[3]证明了当A=16,n=7时，方程(1)无整数解；文献[4]证明了当A=44,n=7时，方程(1)无整数解；文献[5]分别证明了当A=4m,m=3,4,5,n=9时，方程(1)当m=4时存在整数解(x，y)=(±16,2)，而当m=3,5时无整数解；文献[6]证明了当A=4m,m=1,2,3,n=15时，方程(1)无整数解；文献[7]证明了当A=36,n=17时，方程(1)无整数解；文献[8]证明了当A=64,n=17时，方程(1)无整数解；文献[9]证明了当A=256,n=7时，方程(1)无整数解，当A=1024,n=7时，方程(1)同样无整数解；文献[10]分别证明了当A=4,n=5，当A=64,n=5以及当A=64，n=7时，方程(1)均无整数解。

目前，对于不定方程x2+A=yn的研究较多，但针对当A=256,n=17时，不定方程x2+A=yn的整数解问题并未做过研究。因此，在本文中主要探究当A=256,n=17时，不定方程x2+A=yn整数解的情况。

引理1[11]设M是唯一分解整数环，正整数k≥2，以及α,β∈Z,(α,β)=1，αβ=τk,τ∈M，则有α=ε1μk,β=ε2υk，μ,υ∈M，其中ε1,ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk,ε为单位元素。

2 定理及证明

定理不定方程

x2+256=y17,x,y∈Z

(2)

无整数解。

证明分x≡1(mod2)和x≡0(mod2)两个方面进行分析：

(1)当x≡1(mod2)时，在Z[i]中(2)式可以等价为

(x+16i)(x-16i)=y17,x,y∈Z。

设 (x+16i)(x-16i)=ε，

由ε|(2x,32i)=2，

可知ε只可取1，1+i，2。

又x≡1(mod2)，则有

x+16i≡1(mod2)，

所以ε≠2。

假设ε=1+i，则有

N(1+i)|N(x+16i)，

即 2|x2+256。

此情形与x≡1(mod2)产生矛盾，所以

ε≠1+i。

设ε=1，由此和引理1得

x+16i=(a+bi)17,x,a,b∈Z。

根据上式可得

x=a17-136a15b2+2380a13b4-12376a11b6+

24310a9b8-19448a7b10+6188a5b12-680a3b14+

17ab16，

(3)

16=b(17a16-680a14b2+6188a12b4-

19448c10b6+24310a8b8-12376a6b10+2380a4b12-

136a2b14+b16)。

(4)

要使(4)式成立，必须有b|16。

因此b的所有可能取值有

b=±1,±2,±4,±8,±16。

下面根据b的所有可能取值进行分类讨论：

1)当b=1时，由(4)式得

15=17(a16-40a14+364a12-1144a10+

1430a8-728a6+140a4-8a2)。

要使上式成立，则必须满足17|15，显然这不可能。

因此b=1时不成立。

2)当b=-1时，由(4)式得

-1=a2(a14-40a12+364a10-1144a8+

1430a6-728a4+140a2-8)。

要使上式成立，则必须满足a2=1。

将a2=1代入上式，有

a2(a14-40a12+364a10-1144a8+1430a6-

728a4+140a2-8)=15≠-1，

因此b=-1时不成立。

3)当b=2时，由(4)式得

-65528=17(a16-40a14×22+364a12×24-

1144a10×26+1430a8×28-728a6×210+

140a4×212-8a2×214)。

要使上式成立，则必须满足17|-65528，显然不可能。

因此b=2时不成立。

4)当b=-2时，由(4)式得

-65544=17(a16-40a14×22+364a12×24-

1144a10×26+1430a8×28-728a6×210+

140a4×212-8a2×214)。

要使上式成立，则必须满足17|-65544，显然不可能。

因此b=-2时不成立。

5)当b=4时，由(4)式得

-4294967292=17(a16-40a14×42+364a12×

44-1144a10×46+1430a8×48-728a6×410+

140a4×412-8a2×414。

要使上式成立，则必须满足17|-4294967292，显然不可能。

因此b=4时不成立。

6)当b=-4时，由(4)式得

-4294967300=17(a16-40a14×42+364a12×

44-1144a10+1430a8×48-728a6×410+

140a4×412-8a2×414。

要使上式成立，则必须满足17|-4294967300，显然不可能。

因此b=-4时不成立。

7)当b=8时，由(4)式得

-281474976710654=17(a16-40a14×82+

364a12×84-1144a10×86+1430a8×88-

728a6×810+140a4×812-8a2×814)。

要使上式成立，则必须满足

17|-281474976710654，

显然不可能。

因此b=8时不成立。

8)当b=-8时，由(4)式得

-281474976710658=17(a16-40a14×82+

364a12×84-1144a10×86+1430a8×88-

728a6×810+140a4×812-8a2×814)。

要使上式成立，则必须满足

17|-281474976710658，

显然不可能。

因此b=-8时不成立。

9)当b=16时，由(4)式得

-18446744073709551615=17(a16-40a14×

162+364a12×164-1144a10×166+1430a8×

168-728a6×1610+140a4×1612-8a2×1614)。

要使上式成立，则必须满足

17|-18446744073709551615，

显然不可能。

因此b=16时不成立。

10)当b=-16时，由(4)式得

-18446744073709551617=17(a16-40a14×

162+364a12×164-1144a10×166+1430a8×

168-728a6×1610+140a4×1612-8a2×1614)。

要使上式成立，则必须满足

17|-18446744073709551617，

显然不可能。

因此b=-16时不成立。

因此，当x≡1(mod2)时，不定方程x2+256=y17无整数解。

(2)当x≡0(mod2)时，若x为偶数，则y也为偶数。令

x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z，

则(2)式可等价为

(2x1)2+256=(2y1)17。

整理上式可得

(5)

由上式可知x1为偶数，令

x1=2x2，x2∈Z，

代入(5)式得

(6)

由上式可知x2为偶数，令

x2=2x3,x3∈Z，

代入(6)式得

(7)

由上式可知x3为偶数，令

x3=2x4，x4∈Z，

代入(7)式得

(8)

由上式可知x4为奇数，令

x4=2x5+1,x5∈Z，

代入(8)式得

由上式等式左边可知

产生矛盾。

因此，当x≡0(mod2)时，不定方程x2+256=y17无整数解。

根据上述各种情况，可得不定方程x2+256=y17无整数解。