基于习题构造和解剖的数学思维水平划分

梅放心

思维能力是数学核心能力。数学习题通过难度大小体现思维水平高低。从习题构造和解剖角度看，中学数学习题的难度由维度、梯度、跨度、隐度（简称“四度”）四个要素构造而出。“四度”符合中学数学习题实际。基于中学数学习题构造要素的高度提炼和概括，具有以下八点学科意义。

意义一，能够清楚表达数学思维的含义。数学习题作为客观现象的模拟体，以概念、符号、图形模拟单个事物，以数量及其关系模拟多个事物。即数学思维是对数学概念、符号、图形的本质属性以及对多个数量的内在联系的反映。此文划分，以构造要素“维度、隐度”体现客觀的“数学概念、符号、图形的本质属性和数量的内在联系”，以“梯度、跨度”体现主观的“反映”。

意义二，能够指导命题。依据此文划分，针对繁琐水平，可以就某个知识点从一维开始命题，不设置隐匿关系，例如围绕概念的本质内涵，依据思维的梯度和跨度由小到大，依次构造概念的完全的外延形式。也可以继续糅合二维、三维。针对内隐或外隐水平，一样可以就某个知识点从一维开始命题，设置隐匿关系由浅入深，思维梯度和跨度由小到大，逐步埋伏数量关系的起源形态和演变形态。一样可以继续糅合二维、三维。通过构造维度、梯度、跨度由简到繁，隐度由浅入深，形成连贯的甚至近乎微调的二次命题、三次命题……从而构造出思维水平逐步提升的系统化习题集。

意义三，能够分解还原习题的来龙去脉，清晰解读命题意图。绝大多数教师没有精力自行命题，但储存的习题量十分丰富。此文划分，可以指导逆向解剖习题。通过逆向解剖，分解出习题的“四度”，然后对数量关系的来龙去脉、数学方法的来龙去脉进行溯源性铺垫构想，再结合此文划分，产生自我命题。

意义四，能够量化数学思维水平。此文划分，针对繁琐水平可以以“维度，梯度，跨度”为自变量，思维水平为它们的函数，得到一个三元函数;或者用四维向量空间的一个点描述一个状态。针对内隐或外隐水平可以以“隐度，维度，梯度，跨度”为自变量，思维水平为它们的函数，得到一个四元函数;或者用五维向量空间的一个点描述一个状态。数学模型理论建立是成立的，但数学技术超出了本文水平。对数学教学实际需要来说，能够判断习题的构造要素属于几维、几梯、几跨、几隐，以构造要素的水平量化思维水平也就足够了。

意义五，能够分类量化《普通高中数学课程标准》。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》作为学科总纲，分类囊括了“四基”“四能”“六大核心素养”的要求，分类很明确，但“质量水平描述”无法细致。依据此文划分，可以通过分类命题形式系统地、递进地、细致地、深入地量化“质量水平描述”，也就可以将《普通高中数学课程标准》“质量水平描述”转化为具体的教学目标。

意义六，能够定点精确测量或诊断学生思维水平。

意义七，能够分目标、分等级循序渐进地提高学生数学思维水平，指明提高学生思维水平的起始着手点、延伸方向、落脚点。

意义八，能够摆脱传统数学思维水平划分的困惑。实际教学中，灵活运用通常是由于隐匿关系造成的，看清了隐匿关系，才能选择恰合的知识和方法，即灵活运用知识和方法，其水平大多高于综合运用。例如，由维度、梯度、跨度构成的繁琐水平，就包含着综合运用能力水平，如果无隐匿关系，那么纯粹的繁琐水平构成的综合运用能力并不是高级水平;综合运用只有设置了隐匿关系才能成为高级水平。再次，从包容性和根源性看，此文划分的每一级水平都可以从“四度”要素根源上构造出基本运用、灵活运用、综合运用，并且量化水平。

综上所述，基于构造和解剖的数学思维水平划分，依据数学习题构造要素划分思维水平，揭示了习题蕴含思维水平的结构原因，描绘了思维水平的发展线索，对数学思维顺序化教学、量化教学具有目标明确、思路清晰、操作易行的指导意义。

【本文系2021年度广东省教育研究院研究课题“高中数学学困生的归因分析及学法研究”研究成果，立项编号：GDJY-2021-M142】

责任编辑    徐国坚