课程思政下的线性代数教学——以向量组的线性相关性为例

谢婉秋

（陆军步兵学院 江西·南昌 330100）

1 研究背景

线性代数是大学数学的一个重要分支，以行列式、矩阵和向量等为研究的主要内容，主要处理线性关系的问题，在军事、工程技术、经济学、自然科学、社会科学等众多领域都有着广泛的应用，故成为我国高等院校所有理工农医及经管类专业的基础课程，该课程涉及的概念多、公式多、定理多，且理论性强、抽象性高、内容相对枯燥，致使学生学习兴趣不浓，学习的积极性不高，并且以往的教学多侧重于思维方法的训练，旨在培养学生一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，在德育方面有所忽视，学科德育渗透性不深，致使学生学习主动性不强，学习效果不理想。

课程思政是以课程为载体，把“立德树人”作为教育的根本任务贯穿教育教学始终的一种教育理念，通过建立全员、全过程、全方位、全课程的育人格局，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成具有思政育人元素的科学合理的课程体系。目前，课程思政的教育观念日益得到普遍认同，在实践过程中，院校越来越感觉到“进一步挖掘各门课程育人功能、调动授课教师积极性”的重要性，将德育教学目标与教学内容紧密联系起来，使学生带着强烈的目标意识去学习，进而调动其学习的积极性和主动性，引导学生深入的思考，既培养了学生主动学习的良好学习习惯，也训练了学生发现问题的能力、思辨能力和语言表达能力。

2 向量组的线性相关性的思政课程设计

2.1 思政课程的总体设计

课程思政强调挖掘学科和课程的育人功能，融入思想政治教育的元素与资源，把思想政治教育贯穿到教学环节中去，让立德树人润物无声。具体设计方法如下：

2.1.1 内容设计

在内容上，主要包括向量组线性相关性的基本概念、判定方法与性质定理。

2.1.2 教学方法设计

在课堂教学中有机融合课程思政教育，不是机械、教条地设置思政教育内容，而是通过课程的特点寻找育人元素，要结合的深入自然，做到恰当应用，设计的具体落脚点与对应的切入方法主要有三类：

（1）理论知识本身所隐含的家国情怀与个人情感价值观；

（2）从科学上升到哲学，依据哲学与数学之间的联系，挖掘课程中“对立统一”“偶然与必然”等辩证关系，让学生学会运用辩证思维去分析和解决问题。

（3）向量组的线性相关性理论具体落实到应用实例上，给予生活的某些启示。

2.2 课程思政教学内容

2.2.1 向量组线性相关性的概念中的课程思政

向量组的线性相关性是线性代数课程中的重要内容之一，本身是一个抽象难懂的概念，涉及的内容有：线性相关、线性无关、线性表示、线性组合等，学习起来相对枯燥，又极易混淆，因此，为了激发学生的学习兴趣，提升学生的理解能力，改进教学方法和模式是重中之重，教学中，教师可以主动尝试转变思路，创新特色理念教学，不断优化教学内容，创新教学方法，探索新的教学手段，将课程思政与线性代数课程有机融合，充分挖掘提炼课程知识体系和教学过程中的德育元素，帮助学生形成正确的世界观、人生观和价值观，培养好德才兼备、全面发展的人才，实现真正意义上的育人功能。

定义：给定向量组A:a1,a2,…,am，如果存在不全为零的数k1,k2,…,km使 k1a1+k2a2…++kmam=0

则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。

否则：当且仅当k1,k2,…,km全为零时，使k1a1+k2a2…++kmam=0成立。

思政导入：

分析1：由定义可知给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一，都是线性表示的具体体现。这说明一切事物的内部包含着两个方面，这两个方面是不同的，相互对立，同时又相互依赖、相互统一，引导学生学会辩证的看待问题。

分析2：在讲解向量组的线性相关性概念时，可以从一个向量构成的向量组入手，研究其线性关系，然后过渡到两个向量构成的向量组，再延伸到三个向量构成的向量组，最后推广到更一般的情形，即多个向量构成的向量组，研究其线性关系，由浅入深，由易到难，从特殊到一般，循序渐进，使学生更容易理解和接受，强化学生的认识的境界。

分析3：讲解概念时，也可以借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，两个向量线性相关几何上表示在直角坐标系中的两个向量共线，三个向量线性相关几何上表示在空间直角坐标系中的三个向量共面，相对的，线性无关表示的就是问题的对立面，这样结合几何直观的教学模式将抽象的知识形象化、直观化，使学生形成正确的概念表象，提高教学效果。

在学习向量组的线性相关性的判定方法时，紧密联系前后所学知识，将方法归纳总结如下：

方法一：利用定义。

即只需讨论使得k1a1+k2a2+…+kmam=0成立时的系数。

方法二：转化为判定线性方程组的解。

（线性相关）向量组A：a1,a2,…,am构成A=(a1,a2,…,am)矩阵向量组A线性相关，就是齐次线性方程组

x1a1+x2a2+…+xmam=0，即Ax=0有非零解。

绿色环保是近年来苏印总厂发展的一个重要命题，从源头削减，中间控制到末端处理，每一步，其都格外重视。据介绍，公司使用先进的环保材料，积极推行无水胶印等先进技术，在自身生产过程中减少VOCs等有害物质的排放。此外，其于四年前专门成立了清洁生产治理委员会，投资配备了处理废气、废水、固废物等的环保装备，建立了清洁环保管理体系，以保证每一指标都可以达到标准，甚而要做得更好。

（线性无关）向量组A:a1,a2,…,am构成矩阵A=(a1,a2,…,am)向量组A线性无关，就是齐次线性方程组

x1a1+x2a2,…,xmam=0即Ax=0仅有零解。

方法三：转化为判定矩阵的秩。

向量组A:a1,a2,…,am线性相关 R(A)＜m。

向量组A:a1,a2,…,am线性无关 R(A)=m。

思政导入：联系是指事物与事物之间、事物内部各个要素之间的相互影响、相互制约和相互作用，唯物辩证法认为，物质世界是普遍联系的，要用联系的观点来看待问题，针对向量组线性相关性的判定方法的研究，不要孤立的去看待这个问题，要与已掌握的知识联系起来，如：线性方程组的解的讨论、矩阵的秩等，既加深了内容的理解，也强化了探索精神，引导学生勤于思考，善于总结。

2.2.3 向量组线性相关性的性质定理中的课程思政

在学习向量组的线性相关性的性质定理时，教师可以根据课程内容的性质、特点挖掘出线性代数中的隐性哲学，从哲学的角度对问题进行适度的辩证剖析，从本质上把握数学知识，深刻理解数学知识的实质。

性质1 m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。

特别地，n+1个n维向量一定线性相关。

思政导入：向量组的线性关系本身既有可能相关也有可能无关，具有偶然性的，微观上的偶然性集中起来，冲抵了种种相互矛盾的因素后，会呈现出宏观上的必然性，所以在某种特定条件下，向量组的线性关系是唯一确定的。

性质2若向量组A:a1,a2,…,am线性相关，则向量组B:a1a2,…,am,am+1也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。

思政导入：由定理知向量组部分相关则全组相关，全组无关则部分无关。培养学生“不忘初心，牢记使命”的责任担当，永葆本质不变，才能保证初心不改。

性质3设向量组A:a1,a2,…,am线性无关，而向量组B:a1a2,…,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。

思政导入：线性无关的向量组，达到极致后，就会向对立面即线性相关转化，告诫学生“物极必反”，事物发展到极点就会向相反的方面转化。

2.2.4 向量组线性相关性应用中的课程思政

在该课程的讲解中结合实例，如药方配制问题：

假设某中药厂用9种草药根据不同的比例配制成了7种特效药，分别编号依次为1～7号药，若已知该9种草药的成分，试问：某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品？

分析：若把每种特效药的成分作为一个列向量，则可把制药问题转化为讨论所给列向量构成的向量组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制；若向量组线性相关，则可以配制。该问题还可以扩展为各领域的最优化问题，如在经济学中，研究在要素有限的前提下如何实现资源配置效率的最大化问题，本身具有重要意义。

思政导入：马克思主义哲学原理告诉我们：实践决定理论，即理论来源于实践，是理论发展的根本动力、是检验真理的唯一标准；理论对实践有能动的反作用，即理论产生的最终目的是为了更好地指导实践，并在实践中得到检验和发展，数学知识来源于生活，又服务于生活，把线性相关性的理论知识与实际应用紧密结合，从实际问题中抽象出数学问题，建立相应数学知识，再回到实际应用中，解决相关问题，最终形成完备的系统理论知识系统。在实际问题理论的思考中，进一步深化数学知识运用的认识，使学生深刻地感受到数学的应用价值，培养学生发现问题、分析问题以及运用数学知识解决实际问题的能力，进而做到学以致用。

除了实际应用外，还可以强调学科之间的联系，如向量组的线性相关性在化学课程中可体现为化学方程式的配平问题，进而激发学生学习的兴趣，强化学生发散思维和创新能力的培养。

2.3 结语

课程思政已经广泛引起关注，特别是在院校中逐渐掀起了一股关于研究课程思政的热潮。从“思政课程”走向“课程思政”，课程思政体系需要打破各学科之间的壁垒，实现学科之间的深入交流。理工科作为院校学科建设的重点科目，更要充分发挥思政教育作用，大力推动以课程思政为目标的课堂教学改革，优化课程设置，完善教学设计，把线性代数课程润物细无声地上出“思政味儿”，从而提升教育的吸引力和感染力。

引入课程思政不是要改变专业课的本来属性，也不是每门课都要体系化、系统化地进行德育教育活动，更不是每堂课都要机械、教条地安排思政教育内容，而是应该坚持学科专业的性质不变、本位不变，充分发掘专业课德育功能。

本文以向量组的线性相关性为例，展示了三个方面进行课程思政切入的示范，仅指明了思政元素切入的大致方向，实践时应针对不同学科，不同课程，结合相应内容和特点，适时从多角度展开切入，德育教育是一个长期潜移默化的过程，要取得显著成效还需要师生长期的坚持和努力。