深度学习：纵向数学化是必由之路——对《点阵中的规律》深度学习再思考

焦波（特级教师）

【理论感悟】

弗赖登塔尔认为“数学化”分横向数学化和纵向数学化两种。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。在他看来，数学化就是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，运用数学方法组织现实世界的过程就是数学化。看来，“数学化”既是数学教学活动的目的，也是实现教学目的之手段。这样，一般人们将横向数学化理解为将现实与数学建立联系，将纵向数学化则理解为是建立抽象的数学知识之间的联系，常常包含着抽象和形式化就不难理解了。比较而言，我们认为纵向数学化有时更能发展学生的数学思维，促进学生深度学习。

【实践再思】

两年前，本人申报的省级课题《基于学生核心素养培养的教学与评价研究》已于2019年底顺利结题，但在核心素养背景下，如何通过数学教学努力提升学生思维的深刻性，即引导学生进行深度学习，培育数学核心素养的话题从未停止。一年来，我们团队结合以上理论感悟和教学实践，一直在进行深度学习的探讨。下面就选用北师大版五年级上册“数学好玩”中综合实践《点阵中的规律》这一课，以团队成员洪乔和魏峰两位教师执教、研讨的教学实录为例，谈谈教学中如何“引导学生深度学习，渗透模型思想，培育数学核心素养”的实践和再反思。

一、以疑诱思，深在激发求知欲望的心动中

教师的真正本领，不在于他是否会传授知识，而在于他怎样传授知识，是否能激发学生的学习动机，唤起学生的求知欲望，使其兴致盎然地参与到学习过程中来。教师要学会构造“一方池塘”，让学生学会学习、自我成长；要善于点燃“一束火焰”，让学生思维启迪、自觉成长。

在实录（一）中，洪老师新课伊始，就开展“人机大战”看谁算得快的计算比赛活动，动作快的用计算器算和口算快的用脑算都比不过教师的速度，从而让学生产生好奇，教师再揭示答案是用“数形结合”的方法把计算题转化成了正方形，导入新课，学生跃跃欲试地进入主动学习、积极探索的状态。在实录（二）中，魏老师先通过课前看图交流，（图一让学生通过不同的角度看到两张侧脸和瓶子，图二通过旋转得到不同的人脸）这样从不同角度观察得到不同结果的课前热身活动，既点题，又调动了学生的学习积极性；紧接着开展“课前10秒钟挑战极限”的活动，让学生感到惊讶，认为不太可能快速得到正确结果。教师话锋一转，“我们今天就是要把这种不可能变成可能，变成一定能！”

两位教师以形式各异的“以疑诱思”开始教学，有异曲同工之处，都有效地激发了学生的求知欲望，让深度学习的真正发生成为可能，这既是“敲门砖”，又是“承重墙”。

二、以形助数，深在生成符号模型的探究中

小学数学教学的建模，实际上就是让学生经历纵向数学化和再创造的过程。培育模型思想的重要策略是让学生参与建模过程，在模型的探究、构造中让学生的思维深度发生。

在实录（一）中，洪老师为了让学生易于理解，调整教材，先探究较简单的，不会出现多种符号模型（算每个点阵总点数的算式）的三角形点阵规律。将形象的三角形点阵表示为抽象的算式，引导学生观察数（数列）与形（点阵）之间的一一对应关系，学生的思维在算式表示中“顿悟”，顺利地实现了由形到数的第一次转化，使学生对分类找规律有所领悟。有了前面的铺垫，对于教材中的正方形点阵规律，洪老师大胆放手，让学生自主探索，深化三种方法找规律。在此过程中，既培养了学生从不同角度去发现问题、概括规律的能力，又让学生感悟由于形（划分形式）的不同，带来式（规律的模式）的各异，使学生在数与形的多次对应转化中深化模型思想。在实录（二）中，魏老师先课件出示10×10阅兵实景图，形象化地把士兵的兵阵变成一个点阵，这样从现实世界到符号世界的转换就是横向数学化的过程。再通过三个活动，从不同的角度揭示同一个点阵三种不同的规律。

我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”以上两位教师始终以“数形结合”为主线，从不同的角度用“观察、尝试与猜测”的方法，先帮助学生建立直观模型与抽象算式之间的联系，使抽象算式有了几何直观的支撑；再从简单到复杂，逐一引导学生找各组算式之间的内在联系，分析数字模型，发现模型规律；最后让学生借助表象，进行想象，形成抽象，用语言表述算式，并将规律符号化，提炼通项公式。借助“形”的结构来探究“数”的规律，而且用数学语言和符号（通项公式）重塑蕴含其中的数学模型，这种从特殊上升到一般，将事物与现象联系起来加以考察，探究规律的纵向数学化过程，既是实现抽象的基本途径，又是深刻揭示事物与现象的内在规律与本质的有效策略；既有利于学生归纳与概括能力的提升，又有利于模型思想的渗透和代数思维的形成。

三、以数解形，深在重塑神美结构的关联中

郑毓信教授说：“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”教学中，我们提倡教师要引导学生以联想和结构的方式去学习新知，通过建构将知识内部本身所具有的关联和结构进行个性化的再关联、重建构，从而形成自己新的知识结构，这是深度学习的重要特征。

教学中，两位教师都能引导学生用联系的眼光，探索三种规律间的转化，深刻领悟数学内部之间的融合关系。实录（一）中，洪老师在固化新知中，先探索三个算式间的联系，学生小组合作，得出通过移多补少或重新配对可以变成4个4，再揭示比赛获胜的秘诀是看算式想几乘几的点阵。学生能准确回答人机大战中六个算式各是几乘几的点阵，这是对已有的认知经验的再现，对自己的知识结构的重塑。尤其是实录（二）中，魏老师让学生自主归纳出得数都等于25的三个“形异神同”的算式后，魏老师引导学生在观察、比较“形异”的过程中，体会“5×5”的简洁性；再借助于“移多补少”的转化，体验三个模型间的统一性。此时，魏老师独具匠心的编了一段“小诗”来表示这种统一性，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。只要移多补补少，大小相等皆明了”；这样以数解形，不仅优化了学生的代数思维，还彰显了数学本身的魅力和神奇，使“数形结合”模型思想的“数学味”更浓厚。

四、以展延课，深在迁移思想方法的应用中

实录（一）中，洪老师第一次延伸是在策略运用中，放手让学生自主探究长方形点阵，使学生研究数要观察形的模型思想得到延伸，数形结合的策略得以形成；第二次延伸是在结课欣赏中，让学生再次回到生活——奥运击缶，气势磅礴；阅兵方阵，英姿飒爽……果然是哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像；第三次延伸是设计一个点阵，给了学生极大的创造空间。实录（二）中，魏老师通过课件展示，由平面点阵拓展到空间中，为学生插上想象的翅膀，拓展了视野，延伸了思维。

以上，把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验，使得原本陌生的数学知识与学生熟知的生活情景自然对接，体现了数学与生活的密切联系，使学生“数形结合”的模型思想在知识的迁移中、被使用中得以升华，也凸显了数学文化的价值和数学自身的魅力。

本文系安徽省2017年教育科学研究项目立项课题《基于学生核心素养培养的教学与评价研究》（项目编号：JK17015）的终结性成果之一。