基于线性矩阵不等式的纯时滞系统稳定性分析与控制器设计

翁发禄， 耿飞跃， 丁元春

(1.江西理工大学电气工程与自动化学院， 赣州 341000； 2.江西理工大学资源与环境工程学院， 赣州 341000)

纯时滞系统普遍存在于化工过程、金属冶炼等场所[1-5]。例如，冶金加热炉的传热、蒸汽锅炉的加热、化学反应过程等均可描述成纯时滞系统的形式。此外在燃煤锅炉中对风煤水的控制也存在纯时滞现象。由于纯时滞的作用，系统状态无法第一时间响应控制信号的改变，而是经过一段时间后产生响应。在系统控制器设计中，如果未恰当考虑时滞对系统的影响，有可能造成控制性能下降，甚至闭环系统不稳定。在过去的几十年内，已有学者对纯时滞系统做了大量的研究。例如，夏百花等[6]对一阶纯时滞系统的PID(比例、积分、微分)控制和Smith预估补偿控制进行了分析与设计。刘尚标[7]设计了一种倒数模型用于纯时滞系统的控制。杜星瀚等[8]利用干扰观测器对Smith补偿控制的结构进行了改进。Khusainov等[9]考虑了线性纯时滞系统的相对可控性及镇定问题，获得了柯西问题的积分形式解。He等[10]研究了一种纯时滞脉冲竞争系统的衰减和稳定性，并获得了改进的稳定性条件。Liang等[11]介绍了多项式的分数延迟矩阵余弦和正弦，给出了纯时滞分数线性系统柯西问题解的表示形式。虽然纯时滞系统提出较早，但是大部分已有成果是在经典控制理论的基础上进行讨论，基于状态空间的相关成果较少。由于状态空间能够清晰描述系统内部结构，方便处理多输入多输出系统，因此，进一步获得基于状态空间描述的纯时滞系统相关成果是必要的。

线性矩阵不等式(LMI)解决系统控制问题最早可追溯到一百多年以前[12]。随着计算机技术的发展及内点法求解的提出，LMI受到广大科研人员的关注，同时，采用LMI解决系统控制问题也已成为研究热点。例如，文献[13]基于LMI讨论了2D奇异系统的稳定性分析与综合问题。文献[14]基于LMI研究了结构系统的主动控制问题。毛凯等[15]在LMI中引入自由权矩阵实现了神经网络系统的全局稳定性分析。孙宜标等[16]基于LMI实现了直线伺服系统跟踪控制。基于增广LMI，Ge等[17]讨论了非线性柴油机系统的扩展保成本控制。基于LMI技术，魏新江等[18]针对随机多源干扰系统进行了复合容错控制器设计。但是，纯时滞系统的状态空间描述缺乏无时滞项，进而造成其基于LMI的相关理论成果极少。据所掌握文献可知，基于LMI的纯时滞系统控制问题研究仍旧不足。故此将主要基于LMI方法分析纯时滞系统的稳定性，并得到其稳定性分析与控制器综合的充分条件。考虑到参数不确定是实际系统必然遇到的问题[19-21]，相关研究成果将进一步扩展至不确定参数系统。

1 模型描述

考虑如下纯时滞系统:

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn、A∈Rn×n和B∈Rn×m分别为系统状态向量、系统状态矩阵及系统输入矩阵；τ1为系统纯时滞量；u(t)为系统控制输入。考虑到控制输入量的计算与传输需要消耗一定的时间，在此，假定控制输入信号的时滞量为τ2，可得状态反馈控制器：

u(t)=Kx(t-τ2)

(2)

式(2)中：K为状态反馈控制器增益。将控制器[式(2)]代入系统状态[式(1)]可得其闭环系统：

(3)

考虑到有：

(4)

(5)

则闭环系统[式(3)]可进一步描述为

(6)

引理1[22]对于任意对称正定矩阵Π∈Rn×n，标量r1及r2满足r1

(7)

引理2[14]对于给定适当维数矩阵Ω=ΩT、Υ及Λ，有Ω+ΥF(t)Λ+ΛTFT(t)ΥT<0，其中FT(t)F(t)≤I，当且仅当存在任意σ>0，使得Ω+σΥΥT+σ-1ΛTΛ<0。

2 稳定性分析与控制器设计

本节首先基于LMI推导出定理1用于纯时滞系统控制器设计，然后在定理1的基础上得到定理2用于纯时滞系统的稳定性分析。

(8)

式(8)中：

证明：选择正能量函数：

V(t)=xT(t)Px(t)+

(9)

式(9)中：

对函数V(t)求导，可得：

(10)

由引理1，有

(11)

(12)

基于系统描述[式(6)]，可知

(13)

式(13)中：S为适当维数的任意非奇异矩阵；β1、β2、β3为任意常数。综合式(10)～式(13)，有

(14)

定理1给出了纯时滞系统[式(1)]镇定控制器存在的充分条件。在未找到线性矩阵不等式(8)可行解的情况下，可适当调整参数β1、β2及β3的值实现在更大范围内搜寻不等式(8)的可行解，也就是说β1、β2及β3增加了不等式(8)可行解的取值范围，降低了定理1的保守性。同时，如果令式(9)中的Q2=0，式(13)中的β3=0，K=0可以得到如下定理2用于判断纯时滞系统开环状态下的稳定性。

(15)

在参数β1、β2及β3给定的情况下，LMI[式(8)]及[式(15)]均为严格LMI，可以通过MATLAB的LMI工具箱直接求解，极大提高了定理应用的便利性。

3 鲁棒性分析

考虑如下不确定纯时滞系统:

(16)

式(16)中：x(t)、A、B及τ1的定义与系统(1)相同。ΔA、ΔB为不确定矩阵，且满足：

[ΔAΔB]=MF(t)[N1N2]

(17)

式(17)中：M、N1及N2为已知适当维数的常数矩阵；F(t)∈Rk×s是未知时变参数矩阵，且满足：

FT(t)F(t)≤I

(18)

基于定理1及定理2可得定理3及定理4保证系统[式(16)]的鲁棒稳定性。

(19)

式(19)中：

证明：将矩阵A替换成A+ΔA，不等式(8)可描述为

(20)

由引理2可知，不等式(20)成立，当且仅当存在σ>0，使得不等式(21)成立。

(21)

基于舒尔补引理可知，不等式(21)成立等价于不等式(19)成立。

定理4对于任意给定时滞τ1，存在适当维数的对称正定矩阵非奇异矩阵及任意常数β1、β2及σ>0使得线性矩阵不等式(22)成立，则纯时滞系统[式(16)]开环状态下是鲁棒稳定的。

(22)

定理4的证明与定理3的证明类似，在此省略。

4 实例仿真

例1考虑如下纯时滞系统的稳定性：

(23)

令β1=β2=1，求解定理2可知线性矩阵不等式(15)有解，且有

也就是说，该系统[式(23)]稳定。现令初始条件满足x(t)=[0.1 0.2]T,t∈[-1, 0]，经计算机仿真可得系统的状态响应曲线，如图1所示，从图1可知该系统状态收敛，即定理2是有效的。

图1 纯时滞系统[式(23)]开环状态响应曲线Fig.1 Open-loop state responses of the pure time-delay system (23)

例2考虑如下纯时滞系统：

(24)

经求解定理2可知线性矩阵不等式(15)无可行解，即该系统开环不稳定(开环状态响应如图2所示，初始条件同例题1)。现令β1=β2=β3=1，求解定理1可知线性矩阵不等式(8)有解，且有

进而可得纯时滞系统[式(24)]镇定控制器为

(25)

经计算机仿真可得闭环系统的状态响应曲线(如图3所示，初始条件同例题1)，从图3可知纯时滞系统[式(24)]在控制器[式(25)]的作用下稳定，即定理1用于纯时滞系统控制器的求解是有效的。

图2 纯时滞系统[式(24)]开环状态响应曲线Fig.2 Open-loop state responses curves of the pure time-delay system (24)

图3 控制器K1作用下，纯时滞系统[式(24)]闭环状态响应曲线Fig.3 State responses curves of the nominal pure time-delay system (24) controlled by K1

例3考虑纯时滞系统[式(24)]存在如下不确定性M=[0.1 0]T，N1=[0.2 0.1]T，N2=[0.2]，F(t)=sin(2t)。令β1=β2=β3=1，求解定理3可知线性矩阵不等式(18)有解，且有

进而可得纯时滞系统[式(24)]存在参数不确定情况下的镇定控制器

(26)

经计算机仿真可得闭环系统的状态响应曲线(如图4所示，初始条件同例题1)，从图4可知不确定纯时滞系统在控制器[式(26)]的作用下稳定，即定理3用于不确定纯时滞系统鲁棒控制器的求解是有效的。

图4 控制器K2作用下，参数不确定纯时滞系统[式(24)]的状态响应Fig.4 State responses curves of the uncertain pure time-delay system [formula(24)] controlled by K2

例4考虑图5所示水箱水位控制。h及S分别为水位的高度及水箱的横截面积；进水控制器及出水流量传感器安装在进出水管的两端[Qin(t)及Qout(t)分别为进出水流量]；进出水管的长度分别为L1及L2，L1及L2分别对进出水造成τ2及τ1的时滞量。出水口处于自由出水状态，有Qout(t)=εh(t-τ1)，其中ε为常数。系统被控参数为水箱水位h，控制输入为进水流量Qin(t)=K3h(t)，K3为状态反馈控制器增益。基于以上分析可得系统描述为

(27)

图5 一阶水箱水位控制系统Fig.5 Single-tank water control system

图6 水箱系统状态响应曲线Fig.6 State responses curve of the single-tank water control system

在此，假定该系统有ε=0.1，S=1，τ1=0.1，τ2=0.15。现令β1=β2=β3=1，求解定理1可知线性矩阵不等式(8)有解，且有K3=[-0.286 5]。经计算机仿真可得闭环系统的状态响应曲线{如图6 所示，初始条件：h(t)=1,t∈[-0.12, 0]}，从图6可知水箱系统在控制器K3的作用下稳定。

5 结论

基于LMI实现了纯时滞系统的稳定性分析与控制器设计。首先，考虑到控制信号计算与传输需要消耗时间，在系统控制通道中引入了时滞。然后，基于矩阵变换将系统模型描述成含分布时滞的形式。其次，基于Lyapunov系统稳定理论及线性矩阵不等式技术，得到了系统稳定的充分条件。同时，相关成果扩展至系统参数不确定性情形。最后，通过实例分析验证了相关定理的有效性。