拓扑世界的架构师——记国际著名拓扑学专家、河北师范大学教授吴杰

梁佳欢

在阿里巴巴全球数学竞赛颁奖典礼上发言（从左到右依次为：吴杰、刘建亚、包刚、章志飞）

人类对宇宙的探索刺激了几何学与拓扑学的发展，通过与天文学、力学、物理等领域及数学其他分支，如分析与代数的交叉应用，代数拓扑已经成为一个独立的数学领域，几乎应用于科学技术的各个领域，爱因斯坦相对论的数学基础是拓扑学，2016年的诺贝尔物理与化学奖也与拓扑研究息息相关。

国际著名拓扑学专家、河北师范大学数信学院全职特聘教授吴杰，从一个专科生出发，打开了拓扑数学研究的大门，30多年逐梦前行，最终浇灌出拓扑领域的梦想之花。他在代数拓扑和应用拓扑研究，尤其是同伦群组合刻画、非稳定同伦论及构型空间等方面，获得了一系列突破性研究成果。

“或许，我与数学天生有缘”，回望走过的路，吴杰给出了这样一个答案。

随着大数据、人工智能、生物制药等领域的迅猛发展，作为核心数学工具的代数拓扑，亟须实现更加前沿的突破。2019年全职回国后的吴杰，冀望于推动国内代数拓扑从基础理论到未来技术的研究网络，建立产学研一体的团队，加快培养出一批拓扑领域的年轻人才。

“数学文章，也许可以关起门自己写。但数学要做到真正的应用，仅仅靠数学家做梦是做不出来的。”吴杰说。

让拓扑变得“可言可算”

一直以来，拓扑都是一个“妙不可言”的概念，如几何形状的变化更具有可视化的特性，人类对于拓扑的认知多停留在“只可意会”的层面。而现代数学则竭尽全力要将抽象晦涩的理念用明晰确切的语言进行表述，设计出通用普适的算法，使得一切理论结果都可以在计算机上操作、复制。

代数通过制定特定的运算规则和一系列的算法程序，通过计算来得到结果。用代数的方法来研究拓扑，就是要将妙不可言的拓扑用代数来进行分析，让拓扑变得“可言”又“可算”。

代数拓扑，又称同伦论，主要以代数方法研究几何对象，作为几何与拓扑的一个特殊方向，同伦论是一个古老且重要的数学研究方向。除了在数学各个领域中的广泛应用，同伦论的方法与结果也大量地应用于理论物理、弦理论、量子群、数学物理、计算机科学等科学领域。

吴杰数十年来致力于同伦论本身的研究及其与低维拓扑和群表示论的交叉研究，在几何与拓扑研究几何体的形状及其变换的数学领域建树颇多。

辫子群、链环群及其同伦群的组合刻画，是同伦论中的经典难题，也是代数拓扑的核心课题。早在20世纪50年代初，同伦群的研究就涌现出一系列成果。国外科学家通过建立单纯群作为回路空间的组合模型，可以对一个拓扑空间的同伦群给出理论性的组合描述；20世纪90年代，科学家发现了三维球面的一般同伦群的具体组合描述，通过单纯群的方法技巧，又意外地挖掘出三维球面同伦群与经典辫子群的重要联系，推动了同伦论与低维拓扑的交叉研究。

吴杰在美国罗切斯特大学数学系研究期间意外发现，三维球面的一般同伦群同构于一个精确给定生成元与关系组的组合群的中心，这一成果证明了三维球面同伦群同构于纯辫子群在一个精确的组合群上的作用的不动点，首次建立了辫子群与同伦群的直接联系，系统性地建立了Brunnian辫子群与同伦群的一系列令人吃惊的本质性关系。

经过不断深入研究，吴杰在这一方面的成果论文先后发表于国际顶级期刊，受到国际科学界的高度评价，并因这一突破获得了2007年新加坡国家科学奖。

不止于此，在此基础上，吴杰通过论证给出了任意维球面一般同伦群的精确组合描述，将三维球面同伦群的组合描述大幅推广到任意维的球面，解答了同伦论已故领袖之一M.Mahowald于1994提出的同伦论经典难题。

通过后续研究，他与团队还进一步建立了链环群与单纯群的关系，关于同伦论与低维拓扑的交叉研究也帮助其获得三维流形Heegaard分解的新的信息。其在同伦群组合刻画的研究方法不同于传统方法，越来越多地吸收了来自低维拓扑及群表示论的一些方法。

对于数学对象的分类性研究，一般将对象进行分解，同时探索其不可约或不可分解的性质。针对co-H-空间回路自然分解的研究，是吴杰在代数拓扑领域的又一突破。在同伦论中，大量的关于同伦群的信息正是通过研究回路空间的分解得到的。

在该研究方向上，吴杰与国外学者Paul Selick突破了传统方法对给定空间回路空间的分解，首次对一个空间X的双角锥的回路空间ΩΣX作为空间到空间的函子进行研究，将Ω Σ的自然分解转化为置换群Σn的模Lie(n)的模表示论问题，并由此解决了Cohen猜想，揭示了同伦论与置换群的模表示论之间的本质性关联。

在非稳定同伦论领域，模2Moore空间的研究是所有Moore空间中最难的一类空间，有别于其他Moore空间，大量的情况到了mod 2 Moore空间的情况属于未知。在这一领域，吴杰与国外学者合作，构造出无限多个mod 2 Moore空间的同伦群中的指数为8的元素，并证明了三维球面的高阶同伦群是射影平面的双角锥的同伦群的直和因子。其关于mod 2 Moore空间的同伦论的系统性研究引入了一些群表示论方法，成功解决了诸多经典问题。

吴杰用组合方法研究同伦群的指数问题，建立了同伦群指数问题与辫子群的重要联系，并首次建立构型空间的单纯结构，由此建立了同伦论与辫子群的本质性联系。

近年来，吴杰致力于推动代数拓扑的应用，在拓扑数据分析及其在生物应用中、超图同调等领域中，指导学生进行创新，目前已经在相关领域成功应用。在超图同调的创新中，对于拥有打分机制的图数据引入了超持续同调概念，给出了同时适用于云数据与图数据的统一的拓扑数据分析方法，未来将适用于“图的高维拓扑与几何结构、复杂工业互联网数据分析、脑科学数据分析、神经科学数据分析”等不同领域。

团队合影

对数学天生有种“饥饿感”

早在中学时期，吴杰就是一个严重偏科的学生，却也因此小有名气，从教育局领导到学校的老师和同学，几乎都知道他有着数学上的天赋。

1980年，吴杰考入丽水师专数学专业，尽管只是一个3年制的专科学校，吴杰却在那里打开了数学研究的大门。

在丽水师专，他开始系统学习数学理论，科主任耿如明给了他很大帮助，把自己收藏的菲赫金哥尔茨《微积分学教程》借给他，吴杰视若珍宝，苦心钻研。直到毕业后在中学教书的三年时间里，他都醉心于数学理论体系的学习和研究。

1986年，由陈省身先生创办的南开数学所第一次向社会公开招13名研究生，吴杰毅然报考，他的英语刚好达到录取线，但总分却位列前五名，如愿被南开大学数学所录取为理学研究生。

导师周学光先生是国内同伦论的权威学者，研究Adams谱序列与同论群，这是同伦论中最难的一个领域。这正中吴杰“下怀”，那时候的他就喜欢钻研难题，无论是哪个细分研究方向，总想着要选择最难的来学。那个时候的吴杰对数学仿佛总有种“饥饿感”，总是觉得“吃不饱”，他本能地吸收着同伦论领域的知识。

周学光有着老一代学者的风骨情怀，他言传身教，不仅在学业上给予吴杰悉心指导，生活上也对他和同学们诸多照顾。周学光的夫人也把他们当成自己的孩子一样关怀备至，吴杰毕业后担任南开大学数学系教师的一段时间里，他的户口就先落在了周先生家里。

尽管从未想过出国，但在南开大学工作3年后，吴杰却意外地得到了前往美国深造的机会。原因是，他在数学研究中解决了美国罗切斯特大学Fred Cohen教授在同伦论研究中的一个猜想。Fred Cohen教授迅速向他发来了offer，希望他到罗切斯特大学攻读博士，为此还免掉了他的英语考试，提供全额奖学金，让他在美国有基本的生活保障。

那时，罗切斯特大学是同伦论的“世界中心”，在数学系20多名教授中，就有6人是世界一流的拓扑学专家，其中包括从普林斯顿大学退休之后到罗切斯特大学任教的拓扑学元老级人物John Moore，非稳定同伦论和稳定同伦论的明星级拓扑学专家Fred Cohen及Doug Ravenel。

在美国读博时，吴杰在同伦论领域的研究逐渐精深，博士生导师Fred Cohen同样给了他很大的帮助。到了第三年时，吴杰几乎每周都要给Fred Cohen与John Moore两人汇报数学研究上的进展。

那个时候，他在台上讲，两位明星级专家就在下面听着，一边听，一边予以指导，这让他进步飞速，几乎每周都有新的研究进展。而在20世纪90年代之前，美国华人中做同伦论的人很少，在很多同伦论学术会议上，吴杰几乎是唯一的一个华人学者。

令他备感温暖的是，尽管国籍不同，甚至年龄相差极大，但每位同伦论的前辈大师都对他非常友好，有的甚至把他当成自己家的孩子一样。

1999年，拿到美国自然科学基金课题资助的吴杰却放弃了在美国的研究事业，接受了拓扑学专家Jon Berrick的邀请，赴新加坡国立大学从事数学研究工作。“他当时跟我说，新加坡计划将新加坡国立大学建设为亚洲的哈佛，将南洋理工大学建设为亚洲的MIT。这个说法对我有非常大的吸引力，我喜欢去追求挑战性的目标。”

从丽水专科出发，逐渐在数学界站稳脚跟并小有名气，吴杰感受到了创造精彩和奇迹的成就感。如果能够实现将当时教学型的新加坡国立大学建设成为亚洲的哈佛这一目标，这将是一个更令他向往的奋斗和创业的过程。

此后近20 年时间，吴杰见证了新加坡国立大学逐渐走向世界名校，他和合作者们在Journal of the American Mathematical Society（美国数学学会杂志）的工作也为新加坡国立大学数学系首次冲进了数学顶级期刊。

2007年，他还与Jon Berrick拿到了新加坡国家科学奖，这也是基础数学首次获得新加坡的最高科学奖项。获奖证书上这样评价他们的工作：For their fundamental work on the deep connections between algebraic topology and the theory of braids（他们建立了代数拓扑与辫子群理论深层关系的基础性工作）。而这些都是吴杰多年来创新探索的科学结晶。

经过近20年来在拓扑学上的研究，在同伦论基础上，吴杰的研究兴趣开始延拓，往学科交叉方向发展；除了保持同伦论本身的研究，也获得了与低维拓扑、群表示论、组合群等其他领域交叉的众多结果。

推动国内代数拓扑创新发展

自1992年出国，2004年拿到新加坡终身职位，长达28年在国外埋头做研究的吴杰，却一直保持着中国公民身份，回国的愿望和念头事实上一直萦绕在他的心头。

2006年以后，随着国内代数拓扑界的发展，吴杰与国内同行的交流也日益增加，并在国内组织过大量的学术活动。2011年，吴杰与国内大连理工大学的雷逢春教授联合拿下了海外合作基金（杰青B类）前期项目，推动了同伦论与低维拓扑的交叉研究，并取得了大量成果，2014年又获得了海外合作基金的正式项目。

从基础数学到应用，路途遥远，要先开展基础数学内部的学科交叉，积累经验再逐步向应用领域发展。为了在拓扑学科上实现战略发展，吴杰与雷逢春教授联合其他代数拓扑界同行，进行了无数次的讨论，也组织了大量的学术活动。一系列的项目，不仅推动着国内应用拓扑领域研究不断深入，也为他自己回到国内埋下了伏笔。

在国内，有代数拓扑学界形成学科的大学屈指可数，河北师范大学自1950年代创立代数拓扑学科以来，一直是该领域的重要研究基地之一。巧合的是，该校拓扑学科的两位副教授曾经到新加坡国立大学长期访问，并在吴杰的指导下做课题研究。

既有时代的契机，也有来自身边的影响，河北师范大学拓扑学科与吴杰建立了深入的学术交往和深厚情谊，并于2018年向吴杰发出了热忱邀请。2019年，吴杰全职回国，任职河北师范大学数信学院教授。

代数拓扑学并不是关起门来做数学游戏的自娱自乐的学科，在科学与技术的应用上有着巨大推动作用，无论是爱因斯坦的相对论还是2016年的诺贝尔物理、化学奖，都与拓扑息息相关。拓扑学的发展甚至已经成为现代科学与技术的灵魂之一，价值不言而喻。

值得关注的是，代数拓扑的研究已经在交叉学科的领域越来越深入，吴杰不仅建立了低维拓扑与同伦论的基础性联系，可以用辫子群或链环群等几何群去描述球面同论群，打通两大领域的管道，还打通了同伦论与模表示论的管道。他认为，这一系列研究成果对于我国来说，不仅可以强化数学领域的发展，更可以应用于推动科技网络的建设。

近年来，代数拓扑在国际上已经走向更加前沿的问题——代数拓扑在人工智能发展中的应用。吴杰说，新兴科技领域会需要离散化的数学去研究，组合拓扑就是其中最重要的数学工具之一。拓扑在机器人学中的应用，是除了拓扑数据分析外，应用拓扑的另一个热点领域，可以实现机器人运动规划的拓扑复杂度，必将推动人工智能快速迭代发展。

如今，吴杰在河北师范大学成立了拓扑与几何技术创新中心，全身心致力于推动国内代数拓扑领域的创新发展和人才梯队的培养。

在人才培养上，他有着自己的一套方式。吴杰认为，数学创新人才的培养，不能靠喂奶式、填鸭式的教育，本科高年级及以上的学生要有自己的定理、自己的观点、自己的例子，学生要发现自我、剖析自我、建设自我，而要迅速培养起一支拓扑学研究的年轻队伍，就要让他们与国际接轨，加强合作与交流。

他正调度来自复旦大学、南开大学、大连理工大学、浙江大学、山东大学及河北师范大学等院校的数十名硕士与博士研究生，在数学、计算机科学、数据科学、分子生物、脑科学等领域专家们的共同指导下，通过学科交叉与知识融通的培育方式，开展拓扑方法在数据科学与人工智能领域的应用研究。

“通过全国范围内的视角，大家协调起来，共同推动拓扑的应用，希望在比较短的时间内，国内能够涌现出一批年轻人才。”吴杰说。

他正在开展河北省高端人才项目“代数拓扑及其在前沿科技的应用”，通过这一项目，致力于促进代数拓扑的基础理论研究，拓展拓扑学在数据科学的应用以及加快在技术领域应用的基础研究，希望能够建立从基础理论到未来技术的研究管道与网络，建立一个新型的产学研创新中心。

“好的数学想法，需要好的算法去落实，好的算法需要好的技术去落地。每一步都是非常艰难，每一步都要求知识融通、强强合作。”吴杰说，他希望通过推动基础理论与理论应用双向互动的模式，催化新的理论，推动更前沿的技术应用。