利用向量法证明线面平行或垂直

廖枢华

[摘要]证明线面平行或垂直是高考数学的常考题型，向量法是证明线面平行或垂直的常见方法.在利用直线的方向向量证明线面平行或垂直时，容易出现易漏点造成答题不严谨而失分.而对于计算能力不强的学生，法向量的求解也是易错点.为此，可采用避免求法向量的向量法进行证明.

[关键词]向量法;线面平行;线面垂直

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020） 35-0026-02

在空间几何体中利用向量法证明线面平行或垂直是高中数学中非常常见的问题.在证明线面平行或垂直的过程中，大多数学生会利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系进行判定.利用这种方法容易出现疏漏和法向量求解错误的问题.下面，笔者通过举例说明其易漏点，同时讲解更优质的解法.

一、易漏点

在证明线面平行时，学生都可以计算出直线的方向向量与平面的法向量垂直，然后直接得出线面平行的结论.这种写法漏掉了两个步骤.

[例1]已知正方体ABCD -A，B，C，D，的棱长为2，F是DD，的中点，求证FC1∥平面ADE.

二、避免求解法向量的向量法

在采用向量法证明线面平行或垂直时，很多学生因为平面的法向量求解错误而导致证明失败，特别是遇上动点问题时，平面的法向量求解成为众多学生的难题.因此，在这两种证明的过程中若能避免求平面的法向量，那求证过程就会变得简单.证明线面平行可以采用平面向量基本定理，证明线面垂直可以根据线面垂直的定义直接证明线线垂直而得.

1.使用平面向量基本定理证明线面平行

例1中通过求平面ADE的—个法向量为n=（0，一1，2），证明FC1⊥n，即可证明FC1∥平面ADE.若是使用平面向量基本定理证明线面平行，只需要在乎面ADE中任意选择两个向量，使得直线FC1构成的向量能用这两个向量的線性关系唯一表示，

使用平面向量基本定理证明线面平行可以避免求平面的法向量，特别是含参数的平面法向量特别难求时.

2.向量法中使用线面垂直的定义证明线面垂直

向量法中，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量共线，就可以证明线面垂直，事实上，若是需要证明线面垂直，说明直线一定垂直于平面.我们只需要证明直线的方向向量分别垂直平面内两条不相交的直线的方向向量即可.

[例3]如图3，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA上底面ABCD，且PA= AD=2，H，F分别是线段AB，PD的中点.证明：PD⊥平面AHF.

向量法中，用线面垂直的定义证明线面垂直可以避免平面法向量的求解，其计算步骤简单易算，在证明直线的方向向量与平面的法向量共线的方法中，求解平面的法向量是多余的，因为要证的直线的方向向量实际上已经是平面的法向量了，

以上是笔者在平时教学和批改作业中遇到的学生解题问题及处理方法，在此作为教学笔记一起共勉.

（责任编辑陈 昕）