R软件在概率论与数理统计课程教学中的应用

（河南工学院 理学部，河南 新乡 453003）

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科[1]，是高等院校计算机专业的重要基础课程之一。该课程在培养学生解决实际问题能力、实践动手能力等方面可发挥非常重要的作用[2]。随着大数据时代的到来和人工智能的发展，概率论与数理统计的相关理论、基本方法已经成为计算机专业人才不可缺少的数学基础知识之一。

为了激发学生的学习兴趣，针对该课程理论性强、概念抽象难理解的特点，把软件引入实验课就显得尤为重要。关于实验课的教学，许多专家学者都进行了相关研究[3]。2003年，李昌兴、史克岗[4]总结了西安邮电学院多年的数学实验和数学建模课程教学的经验，探索了数学实验课程的教学改革。2004年，朱旭[5]探讨了如何通过开展数学实验教学来加强学生科学素质培养。2011年，赵礼峰[6]研究了数学实验课程对大学生素质培养的重要作用，张序萍等人[7]对煤炭院校大学数学实验教学体系进行了研究。2017年，崔玉杰等人[8]探讨了R和Python软件在概率论与数理统计教学中的应用。2019年，侯臣平[9]研究了Matlab在概率论与数理统计教学中的应用。而当下，如何根据概率论与数理统计的课程特点，在课堂教学中合理利用R软件进行实验设计，让学生学好概率论与数理统计，并灵活运用其解决实际问题，是摆在高校数学教师面前的一个重要研究课题。

1 R软件简介

R是一个开放的统计编程语言，它源于S语言，是由新西兰顶尖学府奥克兰大学的Robert Gentleman和 Ross Ihaka及其他志愿人员一起开发的，因其具有开源性和兼容性而迅速流行起来。通过R软件的官方网站可以获取最新版本的R软件及应用软件包，且大多数都是免费的。

R软件提供若干统计程序包、一些集成的统计工具和各种内嵌的统计函数，也可以根据需要编制函数，用户只需要根据统计模型指定相应的数据库及相关的参数，便可灵活地进行数据分析、数据存储、计算结果分享等工作，甚至还可以创造出新的满足实际需要的统计计算方法。

R是一套完整的数据处理、计算和制图软件系统，其功能包括数据存储和处理、数组运算、统计分析、统计制图，可操纵数据的输入和输出，可实现分支、循环、用户自定义等。R软件的界面与其他编程软件的界面相类似，由菜单和快捷按钮组成。快捷按钮下方的窗口便是命令输入窗口，有时也是输出窗口。

2 R软件在教学中的应用案例

在概率论与数理统计的课堂教学中，教师既要教一些理论，还要设计合理的实验，以激发学生的求知欲，调动学生学习的热情，创造轻松愉悦的课堂氛围，引导学生自主学习，提高学生的动手实践能力和分析问题、解决问题的能力。

2.1 蒲丰投针实验的分析

在讲授伯努利大数定理时，为了更直观地揭揭示其描述的随机现象统计规律性，在教学过程中可以R软件为工具，用计算机随机模拟方法——蒙特卡洛方法，引入蒲丰投针实验，将定理的结果应用到实际问题中，让学生体会到学习数学的实际意义和价值。

1777年，法国数学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针实验，即设平面上一簇平行线的间距为a，向平面上投掷一长度为l(l

利用已学过的几何概率求得针与平行线相交的概率，具体步骤如下：

设针的中心到该簇平行线的最小距离为x，针与此平行线的夹角(如图1所示)记为θ，则针所落的位置完全取决于(θ，x)，针落下的所有可能的位置在平面的图形可用一个矩形OABC来表示，如图2所示。

图1 θ 和x表示的含义

图2 针的所有可能位置的平面图形

设随机投针n次，针与线有k次相交，则针与线相交的频率为。最后由伯努利大数定理知：当n足够大时，有从而可得圆周率π的近似值，即

2.2 基于R软件的蒲丰投针实验的设计

用R语言来实现蒲丰投投针实验：

(1)产生随机数：产生n个相互独立的随机变量序列(θi,xi)(i=1，2，…，n)。其中θi服从区间(0，π)上的均匀分布，xi服从区间上的均匀分布。

(2)实验模拟：验证各((θi，xi)是否满足不等式。若不等式成立，则表示针与线相交。设随机投针n次，针与线有k次相交，则圆周率的近似值为

R语言程序设计如下：

将该R程序保存为1.R，再调用该程序进行模拟，这里取n=10,000，l=0.7，a=1。

运行程序zzc1.R:

source("1.RR")

zzc(10000，l=0.7，a=1)。

程序运行结果如图3所示。

图3 程序zzc11.R运行结果

若取n=100,000，l=0.7，a=1。

运行程序zzc2.R:

source("1.R")

zzc(100000，l=0.7，a=1)。

程序运行结果如图4所示。

图4 程序zzc2.R运行结果

从实验结果可以看出：两次的结果都很接近π的真实值，并且一般情况下，随着投针次数n的增加，π的近似值与真实值的误差会越来越小。

2.3 R软件在教学中的实践意义

通过前面的教学案例可知，将R软件引入课堂，一方面可以将抽象的教学内容变得更加直观，更易于学生理解和掌握；另一方面可以让学生体会到看似枯燥的数学知识，既来源于实践，又可应用于实践。要引导学生努力搭建好理论和实践的桥梁，这样才能够学以致用，用以促学，学用相长。同时，学生还可以将涉及的一些基本概念和理论如几何概型、概率与频率的关系和大数定律联系在一起，从而促进对基础知识更深层次的理解，为将来解决实际问题打下扎实的数学理论基础。

3 结语

针对概率论与数理统计课程具有理论性强、概念抽象难学难理解的特点，在概率论与数理统计的教学中尝试利用R软件进行实验教学，取得了较好的教学效果。教学中，学生先自己动手解决实际问题，教师再在课堂上进行讲解，这样即发挥了教师的主导作用，又能让学生自主学习，对学生掌握概率论与数理统计的基础知识，提高实践动手能力，培养创新精神不无裨益。