永磁同步电机FCS-MPC和CCS-MPC对比研究

何 婷，乔俊强，包建勤，杨巧玲

(1.甘肃自然能源研究所，兰州 730046；2.甘肃省太阳能光伏重点实验室，兰州 730046；3.甘肃省太阳能民用产品行业技术中心，兰州 730046；4.兰州理工大学 电气工程与信息工程学院，兰州 730050)

0 引 言

永磁同步电机具有高功率密度、高效率、高可靠性和便于维护等优点。目前已经开始替代异步电机用于高档数控机床[1]、船舶电力推进系统[2]、新能源汽车驱动系统[3]、高铁牵引系统[4]等工业领域。研究永磁同步电机高性能转速和转矩控制具有重大的现实意义。模型预测控制(Model Predictive Control，MPC)作为一类在线寻优的闭环控制算法，能够显著提升电机转矩的动态性能，已经成功应用于电机驱动领域[5]。MPC由预测模型、目标函数和滚动优化三部分组成[6]。按照MPC算法目标函数所对应控制动作的不同，MPC分为有限集模型预测控制(Finite Control Set-MPC，FCS-MPC)[7]和连续集模型预测控制(Continuous Control Set-MPC，CCS-MPC)[8]两类。

FCS-MPC通过目标函数计算逆变器各开关状态对应电压矢量的控制效果来选择最优矢量，无需PWM调制技术辅助，电流响应速度快，但单个周期只有一种开关状态，电流谐波和转矩脉动较大，鲁棒性差[9-10]，同时由于采用在线穷举方式确定目标函数最优解，导致FCS-MPC计算量庞大。为减少FCS-MPC计算量，改善控制效果，文献[11]首先求出期望电压的矢量角，确定电压矢量所在扇区，进而减少算法对开关状态的选择数量；文献[12]将转矩和定子磁链幅值的控制转化为对定子磁链矢量的控制，从而省略了权重系数的设计过程，算法运算量显著降低，并有效抑制转矩脉动、定子磁链脉动。文献[13]提出一种能克服电机参数失配的预测转矩控制策略，并引入基于PI算法的预测误差补偿器，实验表明该策略能够消除参数变化对转矩预测的影响。

CCS-MPC在预测过程中对电压矢量空间平面范围内符合要求的最优电压矢量进行搜索，最后通过PWM调制合成此电压矢量并输出。由于连续集内有无穷多个备选电压矢量，无法采取穷举寻优法，因此需构建相应的优化问题来求解最优输出电压矢量，使得CCS-MPC计算更为复杂[14]。根据优化问题不同，将CCS-MPC分为广义预测控制(Generalized Predictive Control，GPC)[15]和显式预测控制(Explicit Model Predictive Control，EMPC)[16]。GPC是将优化问题进行离线求解来确定最优控制律，EMPC将优化问题转换为多参数二次规划问题，把整个状态空间分为多个凸划分，每个凸划分内的二次规划问题都可通过离线方式确定最优控制规律。

综上所述，FCS-MPC和CCS-MPC具有各自的特点，但是哪种方法更适用于于永磁同步电机驱动系统？评判标准是什么？目前的文献少见报道。为进一步验证它们性能的优劣，以便在实际应用中合理选择，本文对传统FCS-MPC和典型GPC进行对比研究。首先建立永磁同步电机数学模型，在此基础上详细阐述两种模型预测控制的原理，并从稳态性、系统复杂性、参数变化对算法的影响三个方面进行理论对比，最后通过仿真对这两种控制算法在稳态性、动态性及鲁棒性三个方面进行仿真分析。

1 永磁同步电机数学模型

本文研究的对象是表贴式永磁同步电机，交直轴电感相等，即Ld=Lq=L，在d-q坐标系下永磁同步电机状态方程：

(1)

式中，R为定子电阻；id、iq、ud、uq分别为d-q坐标系下电流、电压；L为定子电感；ωe为电角速度；ψ为永磁体磁链。

永磁同步电机电磁转矩方程：

Te=1.5pψiq

(2)

永磁同步电机的机械运动方程为：

(3)

式中，Te为电磁转矩；p极对数；TL为负载转矩；B为粘滞系数；J为转动惯量；ωr为转子机械角速度(ωrp=ωe)。

2 有限集模型预测控制原理

2.1 有限集定义

对于两电平电压型逆变器共有8种开关组合，其中有6种开关组合使直流母线侧与电机侧连通，称这6种组合对应的空间矢量为有效电压矢量；同时存在2种组合使直流母线侧与电机侧不连通，电机定子线电压幅值和相位均为零，对应的空间电压矢量称为零矢量。将这8种矢量构成的控制集称为有限控制集(FCS)，FCS-MPC指仅从该控制集中选择控制输入。

FCS={Vi=V0,V1,…,V7}

(4)

2.2 有限集模型预测工作原理

(1)FCS-MPC以离散数学模型为基础，当采样周期Ts足够小时通过欧拉公式将式(1)离散化，得到离散化的永磁同步电机定子电流和转矩预测模型：

(5)

(6)

(2)根据第k时刻逆变器的开关状态{(Sa,Sb,Sc)|Sa,b,c(k)∈{0,1}}和位置传感器采集到转子位置θ，得出ud(k)和uq(k)：

(7)

式中，

(4)按照系统期望达到的目标，设计使目标性能优化的目标函数g(衡量不同逆变器开关状态下控制量参考值与预测值的相近程度)，以d-q轴电流控制误差为目标，设计目标函数如下：

(8)

(5)最后通过遍历寻优法，将预测值带入到目标函数中，求出有限集合中7个空间电压矢量对应的目标函数值，选择出使目标函数最小的逆变器开关状态作为该采样周期内的最优开关状态。图1为本文采用的传统FCS-MPC结构框图。

图1 传统FCS-MPC框图

3 连续集模型预测控制原理

3.1 连续控制集定义

CCS-MPC结合一定的调制技术(如正弦波脉宽调制(SPWM)、空间矢量调制(SVPWM)等)，在一个控制周期内输出由多种开关组合构成的脉宽调制波，合成电压复平面内任意相角、幅值的电压矢量实现对电机转矩和磁链的调节。不同于FCS-MPC，CCS-MPC控制集由许多个开关状态组成，每个开关状态的作用时间为连续值，因此称为连续控制集。

3.2 连续集模型预测工作原理

(1)预测模型

不考虑负载转矩TL，对式(3)两边取拉式变换

(9)

上式经零阶采样保持后采用Z域离散化法，得到永磁同步电机离散Z传递函数：

(10)

其中：a=K(1-e-TsB/J)/B；b=-e-TsB/J；K=1.5pψ。

将负载转矩TL作为系统扰动项折算到式(10)中，得到系统差分方程：

ωr(k)=aiq(k-1)-bωr(k-1)+cΔTL(k)

(11)

式中，cΔTL(k)为负载转矩波动的函数，可以看做系统噪声，可忽略不计即：

ωr(k)=aiq(k-1)-bωr(k-1)

(12)

进一步地可得出：

ωr(k+1)=aiq(k)-bωr(k)

(13)

将式(13)减去式(12)

(14)

(2)闭环预测

根据式(14)可得(k+1)T时刻系统的闭环预测输出

(15)

式中，预测误差e(k)=ωr(k)-ωrm(k)。

(3)参考轨迹

参考轨迹是从当前实际出发向设定值光滑过渡的系统期望输出，一般取一阶指数变化的形式：

(16)

式中，ε为柔化系数，0<ε<1；ω*(k)为系统的设定值。

(4)优化准则

(17)

式中，λ1、λ2为加权系数，分别表示对跟踪误差和控制量变化的抑制程度。

(18)

则kT时刻q轴电流给定值为

(19)

(5)电流预测模型

由式(5)可得电流预测模型

(20)

(21)

图2为本文采所用的广义预测控制结构框图。

图2 广义预测控制结构图

4 两种控制算法的异同及性能分析

4.1 两种算法稳态性能分析

FCS-MPC对应的优化问题是一类典型的整数规划问题，通常采用穷举寻优的方法，选择使得目标函数最小的电压矢量作为KT时刻最优矢量输出，但是该算法仅利用8个基本电压矢量的幅值和方向来控制电机，使得磁链和转矩调节受到限制，造成稳态转矩脉动较大；CCS-MPC通过利用电压复平面内任意幅值和相角的电压矢量控制电机，实现对转矩和磁链的精准调节，因此具有优良的稳态控制性能。

4.2 两种算法复杂性分析

(1)由式(5)推出多步FCS-MPC方程：

(22)

由式(22)可得，多步FCS-MPC模型存在矩阵n次方、三角函数等复杂运算，并且随着预测步长的增加，FCS-MPC计算量呈现指数增长，例如当预测步数为3时，需要在线穷举83=512次来确定目标函数的最优解，多步预测很难在短时间内完成。

(2)CCS-MPC是一类带约束的二次优化问题，同样在短时间内无法求解，只能借助显式算法或级联结构简洁求解，随着预测步长的增加，显式算法的分区数目会显著增加，消耗大量存储空间，查表工作量难度增大。

4.3 参数变化对两种算法的影响分析

(23)

(24)

(25)

式中，Tele为为电机的电气时间常数，C为待定常数。由上式可得，电机参数误差会对转矩误差造成影响，从而导致电机输出转矩出现跟踪误差。

(2)CCS-MPC可转化为求解带约束的二次优化问题，在算法的执行过程中对电机参数的依赖性小。

5 FCS-MPC和CCS-MPC仿真比较

本文通过搭建Matlab/Simulink仿真模型，对两种预测控制算法稳态特性、动态特性及电机参数变化鲁棒性进行仿真比较，并对结果进行比较分析。仿真模型所使用的电机参数如表1所示。

表1 永磁同步电机参数

5.1 稳态仿真结果

图3给出了FCS-MPC算法和CCS-MPC算法的电磁转矩脉动图，转速参考值设置为750 r/min，负载转矩设置为40 Nm。由表2两种控制算法稳态性分析知，CCS-MPC算法转矩脉动明显低于FCS-MPC算法。

图3 转矩脉动

表2 FCS-MPC和CCS-MPC稳态仿真分析

5.2 动态仿真结果

为验证两种控制算法的动态性能，设置电机运行工况：0时刻电机启动，转速达到7500 r/min启动结束。负载转矩初始值为20 Nm，在0.1 s时突加25 Nm负载，0.2 s时突加负载30 Nm，稳定运行后，0.3 s时突减负载至25 Nm。

图4为两种控制算法转速波形图，由表3两种控制算法动态性分析知，FCS-MPC对阶跃输入的响应快于CCS-MPC。当转矩发生变化时，FCS-MPC算法转速调节时间短且转速的超调量小于CCS-MPC。

表3 FCS-MPC和CCS-MPC动态仿真分析

图4 转速

由图5可观察出，两种算法在转矩突增、突减整个过程中均能平滑切换、无超调、具有优异的动态特性，但是FCS-MPC算法转矩切换时间更短。图6为两种控制算法d、q轴电流示意图，由于采用id=0控制，因此在整个过程中d轴电流接近于0，两种方法均能快速实现跟踪q轴参考电流的目的。

图5 电磁转矩

图6 d、q轴电流

5.3 不同电机参数对系统的影响

(1)电阻参数对系统的影响

图7给出两种控制算法在电机定子电阻为1.5R(定子电阻阻值的1.5倍)时电磁转矩的波形图，用来模拟电机长期运行后因温度升高造成定子电阻增大的情形。图5、图7比较发现电阻变化对两种控制算法电磁转矩几乎不产生影响。这是因为永磁同步电机定子电阻很小，产生的压降很小，因此定子电阻变化不影响电压矢量的选择，系统可以稳定运行。

图7 电阻变化时转矩波动

(2)磁链参数对系统的影响

图8给出两种控制算法在0.9ψ(永磁体磁链值的0.9倍)、1.0ψ、1.1ψ(永磁体磁链值的1.1倍)情况下电磁转矩波形，分别模拟电动机长时间运行、电动机正常运行、全新电动机运行的工况。两种控制算法对磁链变化的反映表现为启动转矩的变化，稳态时二者均不受影响，但是CCS-MPC算法对磁通变化的敏感度低于FCS-MPC算法。

图8 磁链变化时转矩波动

(3)电感参数对系统的影响

对电机而言，电感会随着铁心磁路饱和而发生改变，电感变化会对电机控制性能带来影响。图9为电感参数对两种算法电磁转矩的影响，当电感参数为0.7 L(定子电感值的0.7倍)时，FCS-MPC电磁转矩脉动为1.8 Nm，CCS-MPC电磁脉动为1 Nm，此时两种算法的电磁转矩脉动均大于1.0 L时的电磁转矩脉动，动态特性都不受影响。这是因为定子电感减小，电流滤波效果减弱，因此电磁转矩脉动会增大。

图9 电感变化时转矩波动

6 结 语

本文建立了永磁同步电机数学模型，在此基础上详细分析了传统FCS-MPC和GPC的原理，并对这两种控制算法的稳态性、动态特性及鲁棒性进行了仿真对比分析。从仿真结果看出，CCS-MPC算法稳态特性、参数变化的鲁棒性优于FCS-MPC算法，但动态特性逊于FCS-MPC算法；同时可得结论：定子电阻改变对预测控制电磁转矩几乎没影响；磁链改变会造成启动转矩变化；电感改变对电磁转矩脉动产生影响。两种控制方法都存在各自的优点，并具有广阔的发展前景。本文旨在通过对这两种预测算法不同性能对比分析，对预测控制在永磁同步电机实际工程应用中提供一定的参考和帮助。