函数与方程思想在高中数学解题中的应用

■郭国山

高中数学解题中，函数与方程思想的应用就是通过函数与参数，建立已知与未知之间的关系，从而更好地解决抽象数学问题。下面具体来分析它们的应用。

一、在数列问题中的应用

从函数的角度看，数列会给人们一种直观的呈现，其属于特殊的函数表达式。函数与数列之间的关系并不仅仅是含义相近，更多的是数列本身蕴含着很强的函数意义，在解决数列问题时，灵活地应用函数与方程思想，能让问题更加快速地得到解决。

例如：假设数列的an{ }的前n项和Sn满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，并且S3=15。试求：

(1)a1、a2、a3的值。

(2)数列an{ }的通项公式。

分析：在这个题目中就可以先通过函数与方程思想，将问题中的各种数量关系结合在一起，形成一个不可分割的整体，然后构建相应的函数关系式，通过等式运算得出结论。

根据题目信息，先列出关于Sn的方程式，从而得出a1=3，a2=5，a3=7。由于Sn=2nan+1-3n2-4n，当n≥2时，Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)，合并整理可以得出an+1=。最后通过数学归纳法可以得出n∈N*，an=2n+1。

二、在三角函数中的应用

在高中数学中，三角函数是一个十分重要的知识点，通过函数与方程思想，可以将三角函数的性质、求值、证明等复杂问题变成简单的代数问题。

例如：已知sinα+cosα=，α∈(0，π)，求tanα的值。

分析：本题可以通过三角函数的变量关系建立相应的一元二次方程根的代数式，将复杂的三角函数问题转变成熟悉的一元二次方程求根形式。

由sinα+cosα=，得出sinαcosα=，可以将sinα，cosα看成是方程x2-的两个根，通过解一元二次方程，可以得出。由于x∈(0，π)，sinαcosα＜0，可以得出sinα=，cosα=-，所以tanα=。

三、在现实问题中的应用

随着教学改革的推进，以社会生产、现实生活为背景的数学题目也越来越多。对于现实问题，同学们应灵活应用函数与方程思想进行解题，以此强化实际的解题能力。

例如：班级中20 名同学在小区植树，每个人植1 棵，相邻的两棵树距离为10m，开始的时候，树苗集中放在某一棵树的旁边，对树坑进行编号，为1～20，为了让学生从领取树苗到自己所对应的树坑所走的距离和最短，则树苗放置在哪两个树坑编号旁最合适?

分析：解题时，可以将树苗放置的树坑编号设为x，列出学生领树苗到对应树坑所走的总距离，取S的最小值，y=(1-x)2+(2-x)2+…+(20-x)2=20x2-420x+(12+22+…+202)，结合二次函数的知识，可以得出函数y=20x2-420x+(12+22+…+202)的对称轴是y=10.5。根据题意可知x取整数，可得x=10或x=11。所以树苗应放在10号、11号树坑旁边。