对一道典型光滑斜面上连接体例题的变式及分析

湖南 邹兆贵

光滑斜面上的连接体问题是高中物理的一个重难点，通常涉及受力分析、共点力的平衡、牛顿运动定律等知识，重点考查整体法、隔离法、临界条件的判断与分析，学生往往难以准确掌握其规律。下面笔者通过对一道典型光滑斜面上连接体例题进行变式及分析，以期提高学生对连接体问题的分析及处理能力。

【例题】如图1所示，在倾角θ=37°的固定光滑斜面上，物块A静止在轻弹簧上面，物块B用细线与斜面顶端相连，物块A、B紧挨在一起但AB之间无弹力，已知物块A、B质量分别为m和2m，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。某时刻将细线剪断，则在细线剪断瞬间，下列说法正确的是

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图1

A.物块B的加速度为0.6g

B.物块A的加速度为0.6g

C.物块A、B间的弹力为0.4mg

D.弹簧的弹力为1.8mg

【点评】本例中考查连接体瞬时加速度、物体间弹力的突变问题。解决此题的关键在于理解及掌握以下两点：1.细线剪断后瞬间，物块A、B具有相同的加速度；2.细线剪断后瞬间，轻弹簧的形变量来不及突变，弹簧弹力大小仍然为F1，而物块A、B间的弹力发生了突变，从无到有。再利用整体法与隔离法即可求得细线剪断瞬间，物块A、B间的弹力及两者的加速度。

【变式1】如图2所示，光滑斜面体固定在水平面上，倾角为30°，轻弹簧下端固定A物体，A物体质量为m，上表面水平且粗糙，弹簧劲度系数为k，重力加速度为g，初始时A保持静止状态，在A的上表面轻轻放一个与A质量相等的B物体，随后两物体一起运动，则

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图2

B.当B放在A上的瞬间，A对B的摩擦力为零

D.当B放在A上的瞬间，A对B的支持力小于mg

【点评】变式1与例题相比，综合性更强，难度明显增加。利用整体法与隔离法即可求得当B放在A上瞬间，整体的加速度大小，其中对A、B间摩擦力大小的分析及弹力大小的分析旨在考查牛顿第二定律的矢量性、正交分解等有关知识，而对两物体运动到何位置速度达到最大，则考查了临界极值条件。本例中当物体A、B的加速度为零时，物体A、B的速度达到最大。

【变式2】如图3所示，三个物体质量分别为m1=1.0 kg、m2=2.0 kg、m3=3.0 kg，已知固定斜面的上表面光滑，斜面倾角θ=30°，m1和m2之间的动摩擦因数μ=0.8(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10 m/s2)。不计绳和滑轮的质量和摩擦。初始时用外力使整个系统静止，当撤掉外力时，m2将

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图3

A.和m1一起沿斜面下滑 B.和m1一起沿斜面上滑

C.相对于m1下滑 D.相对于m1上滑

【点评】变式2与变式1相比，同为光滑固定斜面上的连接体问题，考查了整体法与隔离法，但变式2重在分析连接体物体间是否相对滑动这一临界问题。本变式中，分析判断m1和m2之间是否相对滑动是关键。遇到此类连接体问题时，通常采用假设法。先利用整体法，假设两者未发生相对滑动，求得整体的加速度；再利用隔离法，求得单个物体所需要的合力大小；最后计算单个物体实际受到的合力大小。若实际受到的合力不足，则说明假设不成立，物体间实际上发生了相对滑动；反之，假设成立，物体保持相对静止。

【变式3】如图4所示，放置于水平面上的楔形物体，两侧倾角均为30°，左右两表面光滑且足够长，上端固定一光滑滑轮，一根很长且不可伸长的轻绳跨过定滑轮分别与左右两侧斜面平行，绳上系着三个物体A、B、C，三物体组成的系统保持静止.A物体质量为m，B物体质量为3m，现突然剪断A物体和B物体之间的绳子，不计空气阻力(重力加速度为g)，三物体均可视为质点，则下列说法正确的是

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图4

C.绳剪断瞬间，楔形物体对地面的压力不变

D.绳剪断瞬间，A、C间绳的拉力为2mg

【点评】本变式中，C物体的质量未知，需要先利用平衡知识得到C物体的质量，这是本变式中连接体问题中的基础；剪断物体A、B间的绳子瞬间，A、C间绳的绳子拉力发生了突变，对A、C利用整体法与隔离法，即可求得其加速度大小及两者间的绳子拉力大小。在分析楔形物体对地面的压力是否变化时，重点从A、C间绳子拉力对定滑轮的作用力大小发生了变化入手，利用受力分析即可判断。

【变式4】如图5所示，在倾角为θ的光滑斜劈P的斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，C为一垂直固定在斜面上的挡板。A、B质量均为m，斜面连同挡板的质量为M，弹簧的劲度系数为k，系统静止于光滑水平面上。现开始用一水平恒力F作用于P，(重力加速度为g)下列说法中正确的是

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图5

A.若F=0，则挡板受到B物块的压力为2mgsinθ

B.力F较小时，A相对于斜面静止，F大于某一数值，A相对于斜面向上滑动

D.若F=(M+2m)gtanθ且保持两物块与斜劈共同运动，则弹簧将处于原长

【解析】F=0时，对物体A、B整体受力分析，受重力、斜面的支持力FN1和挡板的支持力FN2，根据共点力平衡条件，沿平行斜面方向，有FN2-2mgsinθ=0，故由牛顿第三定律知，B物块对挡板的压力大小为2mgsinθ，故选项A正确；用水平力F作用于P时，A具有水平向左的加速度，设加速度大小为a，将加速度分解如图6所示。

图6

对A受力分析，由牛顿第二定律得mgsinθ-kx=macosθ，当加速度a增大时，x减小，即弹簧的压缩量减小，物体A相对斜面开始沿斜面向上滑动，故只要有力作用在P上，A即向上滑动，故选项B错误；物体B恰好离开挡板C的临界情况为物体B对挡板无压力。此时，整体向左加速运动，对物体B受力分析，受重力、支持力、弹簧的拉力，如图7所示。

图7

图8

由牛顿第二定律得mgsinθ-kx=macosθ，联立解得kx=0，故弹簧处于原长，故选项D正确。

【点评】本变式中，光滑斜面体没有固定。当F=0时，利用整体法即可求得B物块对挡板的压力大小；当F>0时，对A物体利用隔离法分析及分解其加速度知，A物体受到的弹簧弹力相对于F=0时减小了，而弹簧开始处于压缩状态，故A物体实际相对斜面体向上运动；B离开挡板C的临界条件为B、C间弹力变为零；当F等于某一给定特殊值时，则综合利用整体法与隔离法，联立方程即可求解。