二维投影在二面体群的分子对称性教学中的应用

方 煜，黄东枫，孔祥涛

(安阳师范学院 化学化工学院，河南 安阳455000)

0 引言

在分子的点群中，二面体群包括Dn群、Dnh群和Dnd群。其中，Dn群具有一个Cn主轴(n次轴)和垂直于Cn轴的n个C2副轴；Dnh群除了具有Dn群的对称元素之外，还具有一个垂直于Cn主轴的σh镜面、n个穿过Cn主轴的σv镜面以及一个对称中心(若n为偶数)；Dnd群具有穿过Cn主轴并且能够平分两个相邻的C2副轴之间夹角的σd镜面以及一个对称中心(若n为奇数)[1-4]。结构化学课程的教学实践中，许多学生困惑于如何能够准确地找到以上所述的所有对称元素。同样，结构化学课程的任课教师也对此难以把握。许多结构化学或物质结构的教材以及结构化学精品课程等互联网资源上提供了几种良好的关于已知分子结构的对称操作和对称元素的三维交互式可视化分子模型资源，这些可以帮助学生学习分子的对称性[1-5]，但我们仍可以利用平面演示的优势，增强学生准确理解把握分子的对称元素方面的能力。从下面的方法可以看出，如果将分子投影到一个合适的平面上，则可以很容易地展示出分子的对称元素。

1 具有六边形投影的分子

首先讨论处于椅式构象的环己烷分子。如图1a所示，在结构化学和有机化学等教科书中，这种分子通常像“椅子”一样。 为了寻找对称元素，我们将“椅子”向后倾斜并旋转以查看正面和背面(图1b)。从中可以看出，六个碳原子在等分(平分)该分子的假想水平面的上方和下方以交替的方式均匀分布。现在旋转该假想水平面，使该假想水平面成为纸的平面(图1c和图1d)，然后选择纸作为投影平面，并将六个碳原子投影到纸平面上，就得到一个六边形(图1d)。接着，我们将六个碳原子分为两个组：用红色字体标记的碳原子在投影之前在纸平面上方，用蓝色字体标记的碳原子则在纸平面下方。从图1d中我们可以看出，穿过六边形中心并垂直于纸平面的线是C3主轴(也是S6轴)，因为绕其旋转120°后，仅会互换那些用相同颜色字体标记的碳。连接两个对边的中点的线是C2副轴，因为绕其旋转180°后，只会将红色字体标记的碳原子旋转到蓝色字体标记的碳原子所处的位置上，反之亦然。一共有三个这样的C2副轴，它们均在纸平面上并垂直于C3主轴。穿过六边形中两个相对的顶点并垂直于纸平面的镜面是σd镜面。如图1d所示，这个镜面将两个相邻的C2副轴所形成的夹角一分为二。这样的镜面也是一共有三个，所有这些对称元素都在六边形的中心相交。这个六边形的中心也是分子的对称中心，因为穿过这个中心的反演操作，会将用红色字体标记的碳原子(投影前在距离为d的纸平面上方)移动到用蓝色字体标记的碳原子(投影前在距离为d的纸平面下方)所处的位置上，反之亦然。现在该分子的所有对称元素都清楚地显示在图1d中，并且处于椅式构象的环己烷分子属于D3d群。

图1 处于椅式构象的环己烷分子及其投影(a、b、c、d)；[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+配合物离子及其投影(e、f、g)

现在，我们来讨论围绕八面体金属骨架构建的[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+配合物离子(图1e)。 如果我们把图1e的分子从纸平面上竖立起来，再从顶部面向下的角度来观察这个分子，将得到图1f。 我们选择纸平面作为投影平面，则图1g是投影图。 与图1d相比，对称轴没有变化，但是图中的三个乙二胺配体破坏了σd镜面和对称中心，因此[Co(en)3]3+属于D3群。

2 具有八边形投影的分子

接下来，我们讨论具有八元环的分子。图2a中显示的分子是硫冠S8，图2b是其俯视图。同样，我们选择纸平面作为投影平面，则硫冠S8的投影是一个八边形(图2c)。从图2c中可以看出，穿过八边形中心并垂直于纸平面的线是一个S8映轴(也是C4轴)，因为围绕它旋转45°之后，会将红色字体标记的硫原子转到蓝色字体标记的硫原子所处的位置上，然后，通过纸平面的反映操作会再次回到红色字体标记的硫原子所处的位置上。连接两个对边的中点的线是C2副轴，总共有四个这样的轴。穿过八边形的两个相对的顶点并且垂直于纸平面的镜面是σd镜面，总共有四个这样的镜面。所有这些对称元素在八边形的中心相交，但是硫冠S8分子没有对称中心，因为处于相对的顶点位置上的两个硫原子的标记的字体颜色是相同的，因此，在投影之前它们都在纸平面的上方或在纸平面的下方。所以，这两个硫原子不能通过反演操作互换。现在我们可以得出结论，硫冠S8分子属于D4d群。

图2 硫冠S8分子及其投影(a、b、c)；[8]环辛四烯分子及其投影(d、e、f)；1,3,5,7-四甲基-[8]环辛四烯分子及其投影(g、h)

接下来我们讨论[8]环辛四烯分子(图2d、图2e)。 从这个分子的投影图(图2f)中我们可以看出，穿过八边形中心并垂直于纸平面的线是一个S4映轴(也是C2轴)。在纸平面上并穿过两个相对的单键中点的两条线是两个C2副轴。 垂直于纸平面并穿过两个相对的双键中点的两个镜面是σd镜面。像硫冠S8分子一样，[8]环辛四烯分子也没有对称中心。 处于相对的顶点位置上的两个碳原子的标记的字体颜色是相同的，因此，[8]环辛四烯分子属于D2d群。

现在，我们看一下1,3,5,7-四甲基-[8]环辛四烯分子(图2g)，图2h为此分子的投影图。 与图2f相比，剩下的唯一对称元素是S4旋转-反映轴，该分子属于S4群。

3 属于二面体群的其他典型分子

属于二面体群的另一个典型分子是丙二烯。我们将不再对其进行详细讨论，仅在表1中给出讨论的结果。为了进行比较，表1中还包含了几种烯丙基衍生物。表2给出了属于二面体群的其他典型分子。

在向学生讲授属于Dnd点群的分子时，我们发现分子的2D投影对于展示S2n映轴的旋转-反映操作特别有用。对于学生来说，识别Cn轴并不困难，绕Cn轴旋转360°/n可以使等效原子相互转化。然后，我们再让学生考虑一下360°/2n的旋转，这种选择将红色字体标记的原子转到蓝色字体标记的原子所处的位置上。这时，我们再让学生考虑如何再次将蓝色字体标记的原子回到红色字体标记的原子所处的位置上(答案当然是进行反映操作)。所以Cn旋转轴也是一种S2n映轴。

表1 丙二烯及其衍生物分子

表2 属于二面体群的其他典型分子

4 结论

总而言之，在结构化学教学中需要让学生意识到，将一个属于二面体群的分子投影到一个合适的平面上所产生的投影，通常是一个多边形或两个交错式的多边形。提醒学生如果要找到对称轴，务必注意观察过中心并垂直于多边形的线、连接两个对边的中点的线、连接两个相对的顶点的线以及连接顶点和处于对面顶点中点的线。至于对称面，可以是多边形本身的平面，也可以是垂直于多边形并穿过两个相对侧面或两个相对顶点的中点的平面，或者是穿过顶点和相对侧面的中点的平面。如果分子具有对称中心，则它必须是多边形的中心。还应让学生认识到，除了对于二面体群之外，学习绘制二维投影的方法对于理解其他一些点群也会有用，并且可以方便地将分子与其衍生物进行分子对称性方面的比较。作为计算机辅助的可视化教学方法的补充，此方法简单、有效(甚至使用彩笔或铅笔和一张纸便可实施)。这种方法还拓展了学生的结构化学学习技能，使其可以在二维平面上绘制出三维分子，并准确找到可以说明分子对称元素的视角。我校学习结构化学的学生反馈表明，学习绘制分子的二维投影，可以清楚地展示C2副轴的位置以及σd镜面如何将两个相邻C2副轴所形成夹角一分为二的过程，有助于学生理解和掌握属于二面体点群的分子对称性，从而提高了学生的结构化学学习效果。