一道习题引发的思考——《数图形》教学与反思

徐登池

【教学内容】

苏教版四年级上册练习十三第2题。

【教学过程】

一、复习旧知，引入新课

师：数一数，下图中有多少条线段？在作业纸上用不同颜色的彩色铅笔圈画。

展示学生作业。

生：有AB、AC、AD、BC、BD、CD，一共6条。

生：AB、BC、CD、AC、BD、AD，也是6条。

师：两位同学汇报时都说得很有序。我们在数线段的时候，有两种数的方法，可以从最左边的一个点依次数，还可以从最短的一段一段地数。

师：我们已经学会了数线段的方法。在平时的学习中，还会遇到数角、数三角形、数长方形。今天这节课我们继续来研究数图形的知识。

【设计意图：通过复习二年级的数线段的知识，帮助学生回顾之前所学内容。以往教学中，都是用铅笔连一连、画一画，学生在观察的时候不容易区分。本节课通过用不同颜色的彩色铅笔画，呈现学生不同的画法，让他们看得更加一目了然，同时也复习了两种数的方法，为本节课的内容做好知识迁移。】

二、探究方法，发现规律

下图各有多少个角？

教师提出要求：先画一画，再数一数，并用算式表示。把你的想法记录在作业纸上。

预设学生出现的方法：

（1）无序。会有遗漏的。

（2）有序。①从一条边数起。②从一个角组成的角数起。

师：（呈现一个无序的作业）这样画可以吗？

生：不行，有漏掉的。

师：为了做到不重复、不遗漏，我们要有序地数。

师：（呈现两种有序的不同的画法）说说你们是怎样有序地数出角的个数的？

生：我以图②为例，从最左边的这条射线数起，有3个角；再从左边第二条射线数起，有2个角；最后从左边第三条射线数起，有1个角。一共有3+2+1=6个角。

生：我以图③为例，最小的角一共有4个，两个小角组成的稍大一点的角有3个，三个小角组成的再大的角有2个，四个小角组成最大的角有1个，一共有4+3+2+1=10个。

师：（两位同学边指边说）大家听明白了吗？

生：（齐）明白了。

师：仔细观察这两位同学的作业，你有什么发现？

生：我发现数角和数线段是一样的。

生：都有两种不同的数法。可以从一条边数起，也可以从一个角组成的角数起。

师：（追问）仔细观察射线的条数和算式，你有什么发现？

生：我发现算式都是从一个数开始，每次加的数比前一个数少1，一直加到1。

师：（指着算式）第一个数这里是2，这里是3，这里又是4。怎么回事？

生：第一个数比射线的条数少1。

生：先数出射线有几条，然后减去1，最后再依次加到1就可以了。

师：如果有n条射线，一共可以组成多少个角？你能像这样用算式表示吗？

生：1+2+3+4+5+6……加不完。

生：可以加完，应该是1+2+3+…+（n-1）。

师：根据上面三幅图得到的这个结论，仅仅是我们的猜想，需要打个问号。到底成不成立，还需要进一步举例验证。

出示要求：自己在作业纸上画，比黑板上的射线条数要多。

生：（边说边指）我画了7条射线，一共有6+5+4+3+2+1=21个。

生：我画了6条，一共有15个。

……

师：有没有同学举的例子不符合这个规律的？

生：（齐）没有。

师：那刚才猜测的这个规律是存在的，n条射线组成图形的角的总个数=1+2+3+···+（n-1）。

师：刚才用画一画、数一数的方法找到了射线的条数和角的个数之间的规律。

【设计意图：让学生经历有序数的过程，形成有序思考的思维品质。同时，也让学生初步感受数角的方法和数线段的方法类似。并通过对比，发现规律。最后让学生经历“提出猜想—举例验证—得出结论”的规律探究过程。】

三、直接运用规律

1.数三角形。

（1）第一层次。

课件演示：出示一个点A，再出示一条由若干条线段组成的图形，然后A点和线段上的五个点依次连接。

师：你能用刚才数角或数线段的方法很快数出一共有多少个三角形吗？

生：我发现数三角形和刚才的数角是一样的。

生：可以从最左边的三角形数起，△ABC、△ABD、△ABE、△ABF；再从左边第二个数起，△ACD、△ACE、△ACF；以此类推，还有△ADE、△ADF、△AEF。一共10个三角形。

生：还可以这样数，最小的三角形有4个，分别是△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；第二小的有3个，分别是△ABD、△ACE、△ADF；较大的有2个，分别是△ABE、△ACF；最大的有1个，△ABF。一共也是10个。

师：现在来看看，数三角形和数线段、数角在方法上有什么相同点？

生：数三角形的方法和数线段、数角是一样的。

（2）第二层次。

师：刚才好多同学觉得数角和数三角形太简单了，现在老师要增加难度，想不想挑战？

提问：如果再加一条线段，你知道一共有多少个三角形吗？加两条呢？看谁算得快！

生：拆分。如：把左图拆成两个大三角形，右图就拆成三个大三角形。然后按照数线段或数角的方法数。

（4+3+2+1）×2=20

生：横着数和斜着数结合起来。如左图，最下面的一条线段上有BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共10条线段，斜着数有AG、AB、GB共3条线段，但这里只有AG、AB两条线段可以与横着的线段组成三角形。

师：为什么GB这条不算？

生：因为下面组成的是梯形，不是三角形。由此得出一共有：10×2=20个。

师：原来，数三角形和数角的方法是一样的。本来很复杂的问题，找到规律就变得容易了。

【设计意图：通过数三角形的个数，使学生进一步体会到按一定的规律去数可以不重复、不遗漏，同时感受到数角和数三角形的方法的相同之处。并抽象出算式模型，进一步培养思维的灵活性和有序性。同时，在原有知识的基础上，归纳总结数多行图形的方法，并让学生逐步掌握遇到复杂图形时，如何能有序、不重复、不遗漏地数。】

四、灵活运用规律

1.数长方形。

师：在平时的学习中，还会遇到有关长方形的问题。

（1）下图中一共有多少个长方形？

生：我是先数长上面有6个长方形，宽上面有3个。一共就是3×6=18个。

师：为什么宽上面有3个？我只看到了2个啊？

生：上下两个小长方形可以合成一个大长方形。

师：原来还隐藏了一个，我们在数的时候可要数仔细了。

生：我还可以当成数线段，长上面一共有6条线段，宽上面一共有3条线段，每条线段都对应一个长方形，一共是3×6=18个。

师：观察这两个图形，从外形看都是两层，为什么一个是每层的个数乘2，另一个是每层的个数乘3？

生：长方形中上面和下面两个小的都是长方形，上下合起来的图形也是长方形；而三角形的下面部分不是三角形。所以一个是每层的个数乘2，另一个是每层的个数乘3。

师：如果再加一行呢？你是怎么数的？

生：6×3=18个。

生：6×4=24个。

生：不对，宽上面不是3个，也不是4个，而是6个，应该是6×6=36个。

师：到底谁对谁错？问题出在哪里？

生：我来上去指一下。

师：看明白了吗？

生：明白了。最小的长方形就有3个，两个小长方形组成的长方形有2个，三个小长方形组成的大长方形有1个，一共有6个。

师：（追问）那你觉得在数的时候，要提醒大家注意什么？

生：一定要做到有序，这样才能不重复，也不遗漏。

【设计意图：通过数长方形的过程，让学生感受到方法是一样的，但是与数三角形是有区别的，数长方形时要注意一些隐藏的长方形，做到有序，不重复、不遗漏。这样既充分调动了学生的学习积极性，又能使学生在原有的基础上有更大的提高。】

五、拓展延伸

师：今天学习了数图形，回忆一下，我们是怎么学习的？

师：希望同学们能运用今天学习的方法解决生活中更多更复杂的数图形的问题。

【设计意图：课堂总结不仅回顾了数线段、数角、数三角形、数长方形的方法，更重要的是让学生体会到数学知识之间的联系，数学方法灵活运用的乐趣，在学生心中“种”下了“有序思考”的数学思想。】

【课后反思】

本节课以《射线、直线和角》课后的一道习题为契机，把这一类的题型进行整合、分类，在教学中让学生有了类意识，并能熟练掌握处理这一类问题的方法。从而在学习中不断感受到数学知识之间的联系，逐步建立数学模型，感受数学思想。

1.抓住本质，有序思考。

本节课以“数”为主，创设了不同的图形。课中，重点调动学生的学习积极性，让全体学生都主动参与到学习中。皮亚杰说过：“思维是从动作开始的，切断了活动与思维之间的联系，思维就不能发展。”课前，让学生准备彩色铅笔，目的是让学生在画的过程中能一目了然地看出其他同学数的方法，更能体现是否有序，同时也避免了重复、遗漏等问题。通过数角的活动，教师提出“你觉得他的方法好吗？”“按这样的方法数一数有什么好处？”随着学生思维的碰撞，“不重复、不遗漏”水到渠成，在后期的学习过程中“有序”数学思考得以生根。

2.自主探索，迁移方法。

通过交流，学生已经初步掌握了数角的方法，并能合理地迁移到数三角形和数长方形的学习中。发现虽然图形不同，但是数的方法是相同的。同时在学习数三角形和数长方形的过程中，进一步发现它们在数法上也略有不同，从而真正做到收放自如。

3.体现多种数学思想方法。

数学思想方法是数学的灵魂，数学方法的适当渗透比知识更重要。在这节课中体现了多种数学思想方法。

（1）“有序思考”。

在数角时，出示各种错误资源，让学生评价、讨论有什么好的办法可以不重复、不遗漏，学生给出按顺序、分类数，很好地体现“有序思考”的数学思想。

（2）“化繁为简”。

在课的一开始，通过数角、数简单的三角形，学生掌握了数的方法，在学习数多行三角形时，学生发现不需要再一条一条画了，可以用算式直接表示。通过从简单的问题开始研究，给学生渗透“化繁为简”的数学思想。

总之，本节课能够在教材的基础上，创造性地整合教材，充分发挥学生的主体地位，让学生亲历探索的过程，使学生掌握有序思考的方法，体会到学数学、用数学的乐趣，使数学核心素养真正在课堂教学中落地生根。

（“第十二届小学教学特色设计大赛”获奖作品选登）