通才莱布尼兹的数学成就

巴英

摘要：本文介绍了通才莱布尼兹的数学成就，其中主要是他对微积分的贡献，其次还有涉及他在数学符号的引用、复数、拓扑学、二进制和代数学里的工作。

关键词：微积分;高阶导数;交错级数;复数;拓扑学;二进制;代数学

1 通才莱布尼兹

戈特弗里德·威廉·莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646-1716）生于德国，于莱比锡大学专攻法律，取得哲学学士学位。之后他远离家乡莱比锡，远赴纽伦堡，凭借《论组合的艺术》获得阿尔道夫大学哲学博士学位。 莱布尼兹是历史上罕见的跨学科跨领域式的通才，被誉为17世纪的亚里士多德。他做过外交官，同时还是数学家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家、地质学家、符号学家，另外还在逻辑学、力学、光学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。总体而言，他在数学和哲学领域的贡献更卓越一些。

2 莱布尼兹在数学上的杰出贡献

2.1微积分方面

微积分是17世纪最伟大的发现，M.克莱因曾总结到，微积分的参与者是17世纪的十几个大数学家和几十个小数学家、以及有关天文学家和物理学家。而这之中，做出了杰出贡献的当属牛顿和莱布尼兹。历史上，关于微积分的发现发生过知识产权的争论。起因是莱布尼兹曾经于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦，期间与了解牛顿的人有过通信，之后于1684年发表微积分著作。另一方面，牛顿早于莱布尼兹十年就有了微积分的研究，但是发表却在1687年，晚了莱布尼兹三年。这样，英国数学家捍卫牛顿，欧洲大陆数学家支持莱布尼兹，两派之间持续互相攻击数年。事实证明，牛顿的大部分结果都先于莱布尼兹，但是莱布尼兹也是独立发明者。历史的盖棺定论是，牛顿和莱布尼兹几乎同时独立发现微积分。

莱布尼兹在微积分方面的研究成果如今渗透在大学公共课《高等数学》和数学专业基础课《数学分析》的许多分支，有很多公式和定理直接以他的名字命名。其中最著名的便是牛顿-莱布尼兹公式，它反映了函数局部和整体的关系，或者说是定积分與不定积分的关系。不仅如此，公式本身也完美地解决了定积分的计算问题。可以说，牛顿-莱布尼兹公式属于微积分的奠基石公式，这是一元函数微积分的顶峰。

牛顿-莱布尼兹公式  如果f（x）在[a，b]上可积，f（x）在[a，b]上连续，至多除有限个点外F'（x）=f（x），则

莱布尼兹还推演出两个函数乘积的高阶导数公式，外观十分类似于二项式定理，这个公式在导数的阶数越高时，越能彰显它的优越性，很大程度地简化了高阶导数的计算。

莱布尼兹公式  如果函数u=u（x）和v=v（x）都在x处具有n阶导数，则

莱布尼兹特别研究过交错级数，获得了以下的莱布尼兹判别法，用于判断交错级数的收敛性，十分简约实用。

莱布尼兹判别法 如果交错级数 满足条件：

那么级数收敛，且其和s≤u1，余项rn有|rn|≤un+1。

2.2符号学方面

数学从某种意义上来说，就是一门符号的学科。莱布尼兹很早就意识到数学符号的作用，在他看来，好的数学符号可以帮助人们减轻思维负累，甚至有可能是数学成功的关键。莱布尼兹是富于想象的，他花费很多时间，选择富有提示性的符号，而这些恰恰是牛顿不重视也不擅长的。比如在微分学里，莱布尼兹用dx和dy表示微分，用dy/dx表示导数，用dn表示n阶微分。又如在积分学里，用∫表示积分（求和sum的首字母s拉长），从形式和含义上都无比经典。之后的二重积分、三重积、n重积分以及各类曲线积分和曲面积分的符号也由此类似延展得到。于是整个微积分学形成了完整独立的符号系统，并且延用至今。这些简约、得体、适用的符号，进一步促进微积分的发展，已是不争的事实。

2.3复数方面

人类对复数的接纳经历了漫长的阶段。 事实上，早在公元1世纪希腊数学家海伦在研究金字塔时，就已经隐约发现有复数的存在，但是直到16世纪意大利学者卡当才首次在求根公式中引入，17世纪笛卡尔予以命名虚数，18世纪欧拉首创虚单位i，最后18世纪末才受到重视和关注。这之中，莱布尼兹也曾经困惑地说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄的两栖物。”尽管如此， 莱布尼兹还是深入地讨论过复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。莱布尼兹大胆地让虚数参与到运算中来，正是这份勇气和开创，让对复数的研究大大推进不少。

2.4拓扑学方面

1679年，莱布尼兹在他的著作《几何特性》里，试图阐述几何图形的基本性质，在采用特别的符号表示后，经过运算产生产生新的性质。这类基于数学分析的需要而产生的一系列几何问题，类似于研究地形地貌的学科，莱布尼兹称之为位相学分析，现在称之为拓扑学。拓扑学主要就是研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质，简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。分形几何的创始人本华·曼德博十分肯定莱布尼兹的海量研究工作，他认为分形几何理论是在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求到支持的，并且莱布尼兹实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。

2.5二进制方面

1679年，莱布尼茨发明了二进制，并对其系统性深入研究，完善了二进制。他曾断言：“二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。有意思的是，当莱布尼兹从传教士那里了解到中国文化中的周易八卦，便认为阴阳说就是二进制的中国版，两者具有互通性。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这一切，为计算机的现代发展奠定了坚实的理论和实践基础。”

2.6代数学方面

在代数学中的线性代数分支里，莱布尼兹还对线性方程组进行过研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。

3.结束语

1716年，莱布尼兹病逝于汉诺威，孤独而安静，没有像牛顿一样安葬在威斯敏斯特大教堂的科学家之角为后人瞻仰。马克思在给恩格斯的信中写道：我是佩服莱布尼兹的！

参考文献

[1]同济大学应用数学系主编，高等数学上、下册（第七版），高等教育出版社，2006年。

[2]M.克莱因，古今数学思想，上海科学技术出版社，1985年。

[3]林永伟、叶立军编著，数学史与数学教育，浙江大学出版社，2004年。