中德两国小学数学试卷对比与启示——以小学四年级为例

刘胜峰

（福建省厦门实验小学）

数学命题是教育质量监测中的核心工作，在课程改革中起着导向和促进的重要作用。为了对比中德两国同龄学生数学学业质量水平的差异，特选取北京、上海、厦门等五个城市和德国柏林、慕尼黑等四个地区的小学四年级数学综合测试卷，对36份试卷的结构、特点、试题维度及其命题技术进行比照。在此基础上，思考如何确定试卷命题立意，如何提高数学解答说理题型比例，如何高观点选择试题素材、考查数学应用等问题，为我国新时代小学数学教育国际化做出判断，获得可以推广应用的经验。

一、试卷结构与编写特点比较

（一）试卷的立意与结构比例

试卷的立意是命题的开始，也是决定试题价值的根本因素与关键所在。立意就是确定一份试卷要评价什么的意图。受我国中考、高考的选拔性影响，我国小学数学试卷特别注意区分度，出活题、考能力是其典型的特点。

德国小学数学试卷被赋予了“诊断测试和调查研究”的功能，目的是要了解学生学习的真实情况，不需要排序、选拔和淘汰，不需要考查达标不达标，只是调查统计有多少人会多少人不会，哪方面有欠缺，有多少人会到什么程度，等等。

不同的立意起着不一样的价值引导作用，也决定着试卷的结构，同时引导着数学教师的日常教学行为——是要重视提高中低档题的正确率，还是要重视对试卷结果暴露出来的问题与漏洞进行查缺补漏。长期以来，我国的教学和学业评价存在偏重纯学术性的倾向，我们也应该重视小学数学试卷的立意导向，使其更科学地促进学生素质的全面发展。

德国小学四年级数学测试卷分为一卷和二卷，合起来组成一份完整的测试卷，每卷30分，两份试卷满分为60分。试卷在22～25题之间，包含计算题、填空题和解答题，其中解答题约占三分之二。虽然试卷的题量不多，但是内容面广，同类知识一般就测试一题，各个试题的相近程度很低。把德国小学四年级数学测试卷按“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”进行划分，四个领域内容所占的比例与份量分布如表1。

表1 四个领域内容所占的比例与份量分布表

两国试卷除了题型、分值存在较大差异外，在内容比例方面区别不大。另外，在我国五个城市的四年级数学试卷中都出现了单纯的计算测试题，分值都在20分左右，有些试卷专设学生完成试卷的“书写评价分”，一般为3分。德国试卷里也有单纯的计算测试题，但是一般就安排两题，分值为3分左右，他们没有评价学生的书写分。

（二）试卷编排特点与解答要求

德国试卷为学生留有很大的答题写作空间，学生可以直接在试卷上进行“草稿”。还会在试题里提供方格图、数轴等“提示语”，这对学生寻找到解题思路能起到很好的启发与帮助的作用。

用围栏把这个院子围起来并留了4米的通道，需要几米的栏杆？（如图1、图2）

图1

图2

此题“求周长”，考查的是学生观察图形、计算周长的能力。德国试卷提供了方格图辅助学生思考，学生既可以通过数方格边长得到结果，也可以通过把该图形转化成长方形，求出长方形的周长后再减去4米的通道长度。

数学材料通常使用图表、符号和文字三类语言，有时单独使用，有时综合使用。如果能熟练、准确地进行三种数学语言的相互转换，学生就能理解和掌握所面对的数学材料，从而实现高水平的数学问题解决；反之，就会造成数学理解、接受和处理障碍或困难，影响学生的学习效果。德国试卷不仅有许多图、表格，还不吝使用大量的文字语言，让每道试题都有一个很具体的生活情境，考查学生对符号语言、文字语言、图表语言的理解及相互转换能力。

自动喂食器用于喂鱼缸里的鱼，假设每条鱼需要相同数量的食物。因此，该机器被设置成喂养三种鱼，每天提供9克食物。

（1）带有此设置的宠物喂食器装满500g食物的时候可否喂食60天？说明理由。

（2）到目前为止，水族馆里有三条鱼，现在增加5条。因此，喂食器被重置，机器每天提供多少克饲料才足够？说明你的解决方案。

语言丰富的试题可以有效地检测出哪些学生无法正确提取数学图形所表示的量，或是无法正确解读数学符号所表示的关系，或是无法把数学图例内容转为数量内容。如果试题只局限于一种数学语言，学生的思维就会停留在所读材料的一个侧面，有时可能会有一种“山穷水尽”的感觉。像这样，通过丰富试题语言设计具有一定复杂性的问题情境，测评学生能否灵活应用所学知识与解决变式问题，或者设计少量结构不良问题测评学生是否能够调用认知经验以及相关概念，形成解决问题的策略，是德国试卷编排的典型特点。

两国试卷对学生的解答要求也存在一定的区别。德国考试以回答为主，考试要写的，不是学生求得的答案，而是对这个数学问题的意见，包括怎么看、如何分析、决定用什么方式处理，如果过程中遇到需要运算的环节，就用手上的计算器计算，等等。德国试卷有许多要求学生“说理”的试题，每个大题拆分成两个或三个小题之后，最后的那个小题几乎都是要求学生“说理”的，要求学生“说说这样选的理由”“说说你是怎么想的”“你为什么这样想”。

德国学生在用算式呈现解答思路之后，还需要用文字表达自己的解答步骤，对于数学试卷的解答形式学生可以不拘一格，可以进行纯文字的推理论证，也可以用列式计算的方法予以解决，还可以通过画图等方法进行直观阐释。

二、试题维度比较

（一）内容维度对比

试题分析，传统的视角是将其区分为“知识点与水平层次”两个维度。现代的新视角认为，试题质量分析应该是“三维论”，我国一般区别分数学知识与技能、方法与思想、数学能力，德国则是区分为数学内容、数学能力和数学素质。无论是传统还是现代，我国还是德国，都是以数学内容作为分析的基础。

中德两国在四年级都学习了“认识大数”，我国侧重于认识大数的读写法和求近似数，不要求进行大数计算，德国要求学生能够计算五位数甚至六位数的混合运算。德国试卷的第一题都是两道要求竖式计算题，我国试卷也会有安排计算题，但是题量较多，内容包含加减乘除、运算定律，形式有口算、估算、列竖式计算、简算,等等。

德国试题里的数据很多都是“现实版”的，和生活原型非常接近，如果学生采取心算或是笔算，很难快速获得结果。但是德国试题要求学生熟练使用计算器，学生被允许在解题时可以使用电子计算器辅助完成，因此试题里繁琐而真实的数据对他们没有任何挑战。另外，德国试题没有考查学生口算、估算或是根据不同的情境进行不同估算的要求，但要求学生必须清楚了解数学运算的原理。

我国在小学四年级数学教学中安排了“认识和学会使用计算器”，但是我们的各级各类考试至今还是不允许学生使用计算器辅助解答试题，因此我们的小学数学教师依然花很大的力气在培养学生的口算、心算和更快计算的能力。由于可以借助计算器这一工具辅助解答试题，因此德国的四年级教学没有用简便方法进行计算的内容，其计算方面的试题也没有要求学生运用简便方法进行运算，而这也是导致德国小学生运算能力远远不如我国学生的原因之一。

德国数学试题包含许多动手操作内容，而且考查要求高于我国。关于“图形的测量”，我国试题一般让学生观察图形之后，利用题目中已知的数据信息解决问题。德国试题是先让学生实际测量，再计算几何图形的周长或面积，试题标准答案要求学生精确到毫米，远远高于我国的试题要求精确到厘米。比如，考查“轴对称图形”，德国试题（如图3）要求学生在点子图上对轴对称图形进行观察、补充完整，涉及镜面图像。

图3

在代数领域，中德两国都设计了“能够理解并且运用符号表示数、数量关系和利用符号进行运算、推理”的试题。我国要求学生能用符号进行数学表达和思考，不仅考查四则运算，还考查等量代换、推理能力，在试题中考查符号运算时一般不包含具体的数。德国试题（如图4）不仅要求学生用等量代换的思想进行思考，考查推理能力，还要求解答包含着符号和具体数的代数运算，一组问题里既有大数还有不同级别的运算，符号之间的关系也显得复杂多样。

图4

随着信息化社会的到来，越来越多的问题将无法用单一的数学知识来解答，需要学生综合多个数学知识进行分析解答。像德国这样，在一道试题中综合考查运算、符号代数、等量代换关系等，学生需要联系不同领域里的数学经验，反映出其运用所学知识、观点、方法分析问题的能力，实现考查学生知识、能力、觉悟的统一。

（三）认知水平维度对比

试题的认知水平要求一般分为了解、理解、掌握、应用四个层次。择取两国试卷中“数与代数”试题的认知水平进行比较，可以发现：两国试卷该部分的认知水平要求多表现为模仿和迁移，探究类试题相对较少，难度范围差异不大。虽然两国都同样重视联系实际编制试题情境，但是我国人为虚构情境的试题比例高于德国，德国较多使用社会科学背景作为试题情境，因此其问题的综合难度系数会更高一些。

如“数的认识”试题（图5），德国试题要求“在方框内填上正确的数字”，我国试题也同样要求在数轴上表示数。但是德国试题要求表示的是准确数、正整数，停留在认识整数部分，而我国试题则是考查近似数、小数。在解答德国试题的过程中，如果学生只是简单“找位置”是无法得到答案的，必须根据数轴进行计算，要把一个整体平均分成几份，再进行填数。我国试题可以通过判断数所在的大致位置，得到答案。德国试题更能体现数轴作为数学工具在数学上的具体应用，即“每个数在数轴上是怎么产生的？和是多少？”我国试题侧重于考查小数的位置以及其在数轴中的位置。

图5

德国对于立体图形的认知水平要求也明显高于我国，他们不仅要求学生要掌握三视图所表达的原图形，还对学生空间想象的精准度有较高要求，学生想象出来的图形要接近原图形并且能够基于想象进行计算。

如，luukas和mattias看着图片里的模型，是由球和等长的木棍组成的。

（1）lukas考虑从模型的组件中构建四个小方块，他需要多少个木棍和球？

（2）matthias想用模型的组件来构建塔楼，从中可以看到前视图和侧视图，勾选最合适的选项：比模型多8根木棍（ ），比模型多4根木棍（ ），比模型多2根木棍（ ），一样多（ ）。

像这类观察物体的试题，学生要凭借文字想象出立体图形，还要从立体图形中找到与棱、角相关的信息进而解决问题。我国小学四年级还没有学习立体图形的特征，只安排了“从不同角度观察物体得到不同的结果”的学习。即使是考查“三视图”的试题，最高要求也只是“描绘出从左面、正面、上面观察到的四个同样的小正方体所摆成的物体的面”，要求比德国低很多。

德国小学数学试卷对认知维度的设计，重视获取数学信息能力的考核和思维能力的考核，尤其是批判性思维、创造性思维的考核，这些都是比知识更重要的东西。他们把试题考查指向衡量学生智慧技能和认知策略的水平，将目标指向学生在解决实际问题过程展现出来的逻辑推理、数学表达等综合应用能力，将更有助于学生适应未来科技革命和知识经验的挑战。

三、命题技术比较启示

（一）比较组题特征的启示

命题技术包括取材与组题，其中素材是基础，不同类型、不同位置的题目通常需要不同的素材，只有收集、寻找到好的素材，才有可能命制出合适的题目。按回答的方式及判分手段的性质分类，试题一般分作主观性试题和客观性试题两大类，每一类试题又包括各种不同形式的题目。德国小学数学试卷的客观题和主观题比例相差不大，许多主观题都是开放性的解答题。他们编制的开放型主观题既有时代性，又从学生的现实生活出发，以考核能力为核心，有较强的思想性、科普性和人文性。

德国试卷上的解答题一般是在一个大前提（已知条件）下，提出若干问题，要求学生完整地写出解题过程。它的特点是容量较大，能直接考查多个知识点，以及综合考查多种数学思想、方法和数学能力。由于这类题目从一个基本数学事实出发，通过变形、扩张、发展形成一系列的题组，因此较之选择题更能考查考生的解题思路和解题过程，也能更好地对不同水平的考生进行多层次的区分。

德国试卷上的解答题大体可以分成两类。第一类：所提的若干问题是并列的，彼此独立，互不关联；第二类：所提的若干问题是递进的，彼此间存在层次上的联系，后一问的解答，依赖于前一问的结果。提问方式有单问也有分步设问，有的是证明题，也有的是探索题。题设条件有“隐”条件也有“显”条件，有间接条件也有直接条件，所涉及的知识点、数学思想、数学方法都较为广泛，学生数学思维参与的强度也较大。

德国试卷的解答题很注重层次性，一般每道题都包含2～3个小题，每小题的内容都是由浅入深，由简单到复杂，可以让不同层次的学生的能力和才华得以展示和发挥。如德国统计测试题：

87名儿童参加调查，每个孩子都有他最喜欢的学科，用图表明结果。

（1）有多少孩子称数学为他们最喜欢的科目？

（2）在图中填写主题HSU的缺失列。

（3）沃尔夫冈对诶罗尔说：您把图标搞错了，我最喜欢的科目是音乐，但它不存在，为什么诶罗尔没有弄错？

这和我国统计类试题有很大的区别。我国对统计类测试题的核心内容和能力一般定于“理解统计的意义和应用统计信息解决实际问题”，因此会融入平均数、众数、中位数等统计概念，在试题内容维度上会包括统计方法、统计图表信息、统计结果应用等等，更全面、更综合。在题干特征方面，一般会给出具体统计的主题情境，以及学生利用统计图数据进行分析与预测的应用型问题，子技能包括认识统计项和统计量、能读懂各个直条的含义、会解释统计结果并根据统计结果能够做出简单的判断和预测。德国试题没有要求学生认识统计量，他们注重考查学生分析统计图里的信息，并据此判断和推理，通过“把缺失的项补充完整”考查学生对统计信息的加工处理能力。

（二）比较试题选材的启示

选材是根据一定的考查目的(立意)和中心进行的，立意与选材两者之间，往往交织在一起。德国试题的选材从比较高的观点物色数学问题，他们主要从社会现象、自然现象、生活现象、生产过程和科学实验等实践中寻找素材和问题，注重与社会生产、生活实际的结合以及与科学新成就的联系，因而选取得到的数学试题素材，所蕴涵的数学思想方法比较深刻，试题时代感较强，学生可以在解题的同时获取新信息、拓宽视野和知识面。现实生活中的数学问题涉及各方面的因素，解决这些问题需要跨学科知识和能力的考核，这对学生提出了更高的要求。

虽然我国和德国都注重数学与生活的广泛联系，将数学问题融于真实的情境之中，但是德国试题更加强调让学生解决实际生活中的问题，要求学生从数学的角度运用知识和方法寻找解决问题的策略，能清晰有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。我国试题往往是先定考查知识点再创编服务于该知识内容的试题情境，最常见的是采用学生学习过程中的典型错误为素材情境，通过设计层层递进的“问题串”，让学生在问题的解答中暴露思维过程。

德国试卷里的探索性或开放性试题，大多以社会生活中的实际问题为素材，要求学生利用已经学习过的知识，采用各种手段或工具，提出合理的解决问题的方案。大部分试题要求学生能够自主阅读提取有关联的数学信息，然后进行解决问题。他们试题中的字符数明显多于我国试题中的字符数，对学生数学阅读能力的要求更高一些。

ludwig画了三个不同的圆圈，第一个圈由8个字段组成，每个圆圈分为顺时针编号的全等字段。

（1）ludwig的第二个圈由16个字段组成，哪个字段与编号为5的字段直接相对？

（2）对于第三个圆圈，编号为10的字段与编号为4的字段直接相对，第三个圈多少个字段？

与一些开放性主观题相对应的是德国试卷的许多答案都是开放的，他们鼓励学生构建自己的答案，答案的形式也可以各种各样。

在实践中，我发现许多学生在材料、信息题上失分较多，不能有效获取新信息并加以应用是一个重要原因。在信息化社会的大背景下，对大量知识进行筛选的能力具有极为重要的意义。因此，我国小学数学试卷应该引入更多的问答题，既体现基础性知识，还体现策略性知识、实践性知识，多提供能考查出学生对小学数学核心知识、核心技能的理解和掌握，尤其是学生收集与分析信息的能力、综合运用所学知识解决实际问题的能力以及对数学思想方法的理解与掌握的试题素材，促使学生灵活运用课堂所学的数学知识和方法，使学生逐步成为知识的实践者，发挥学生学业质量监测对小学数学教学的正确导向作用。

参考文献::

[1]金娣,王钢 ．教育评价与测量[M]．北京：教育科学出版社,2010．

[2]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准(2011年版)[S]．北京:北京师范大学出版社,2012．

[3]刘胜峰．实施素养导向：德国基础教育数学课程大纲的分析与启示[J]．辽宁教育,2020(6)．

[4]刘家旎,蔡维,姜瑞欣,邓石磊．中国和德国教材的对比与分析——以“圆的认识”编排为例[J]．小学教学(数学版),2018(6)．

[5]张春莉,李兰瑛．小学数学教学评价及案例分析[M]．北京:北京师范大学出版社,2015．