和积原理——两正数和与积的关系

邓志雄

道理是事物具有的规律，是用以判断是非的规则和理由，也是据以处理事情的办法和打算。道理有大有小，小道理要服从于大道理。原理就是大道理。原理是具有普遍意义的道理，是可以作为其他规律的基础的规律。

通过多年的琢磨，笔者逐渐体悟出两正数的和C=X+Y与积S=XY中包含的一个重要原理，并尝试用这个原理分析解释了一些经济和社会问题，得到了一系列新的认识。特请《产权导刊》开辟专栏与读者分享，希望感兴趣的同志结合实践做出更多拓展。

1  加法中的“和为常数现象”及其特点

小学一年级一开始，数学课就学10以内的加法。几加几等于10，是十进制算法中必须掌握好的重要学习内容和运算方法。

1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10，还有，5+5=10。

这5个等式，右边的和都是10，左边两个相加的数则是此消彼长并互补为10的：1和9，2和8，3和7，4和6，5和5。一方面此消彼长，一方面和为定数，这两个特点将给我们带来很多有趣的讨论。

放开了去想，100以内的数，也有这样的特点吗？

有的！

1和99，2和98，3和97，......，10和90，......，20和80，30和70，......，40和60，......48和52，49和51，50和50，一共50组数，都是两加数此消彼长并互补为100的。

再放开去想，在1000以内，10000以内......直到更大范围内，我们都能找到这种“两个正数之和为常数”的现象。用代数来表达，就是“X>0，Y>0，且X+Y=C，C为常数”。

值得重点说明的是：和为常数的两个正数一定是围绕常数此消彼长的，而此消彼长的两个正数必然互补形成一个常数。这是因为，在等式X+Y=C中，当C是常量时，X扩大Y就得等量缩小，X缩小Y就得等量扩大，即：（X+⊿）+（Y-⊿）=X+Y=C，所以和为定值的两正数的变化总是围绕着这个定值此消彼长的。反过来看，也有此消彼长的两个正数的和一定为定值。这是因为系统中只有此消彼长的两个数，若一个减小与另一个的增大等值，自然导致二者之和不变，即：（X-⊿）+（Y+⊿）=X+Y=C。

这一特点在直角坐标系中可以看得更清楚。如图1所示，X+Y=C是经过（C，0）、（0，C）两点的直线，（X，Y）是直线上一个动点。当动点沿直线运动时，始终有X+Y=C和X与Y此消彼长的约束关联。因C不变，任何X之长必导致Y的等量之消，反之，任何X之消必要求Y的等量之长。更清楚些看，令C=1，则X和Y就是互补为1的两个小数，它们之间当然是此消彼长的关系。

2  和为常数的两个正数的乘积比较

将10以内和为10的5组数彼此相乘，我们发现：

1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25。

认真观察思考，读者会有三个发现：两乘数的差距越大，其积就越小。两乘数差距越小，其积就越大。两乘数相等时，其积最大。

显然，不难验证，在100以内、1000以内、10000以内，情况也是这样。

更开放些，可以想象，在无限大范围内，当“两个正数之和为常数时，其乘积将在两数差距增大时缩小，在两数差缩距缩小时增大，并在两数差为0即两数相等时取得最大”。

当然，这需要加以数学证明。

3  和积原理的代数表达与证明

上述思想用代数语言表达就是：“若X>0，Y>0，且X+Y=C，C为常数，则S=XY将在X与Y的差距扩大时趋于缩小，在X与Y的差距缩小时趋于增大，并在X与Y的差距为0即X=Y时取得最大值”。

这里，两数差距指两数差的绝对值。其证明如下：

由于X+Y=C，C为常数，

故有：

S=XY

=X（C﹣X）

=CX﹣X?

=﹣（X﹣C/2）? + C2/4

由于﹣（X﹣C/2）?≤0，因此，当（X﹣C/2）增大时，S将趋于缩小;当（X﹣C/2）缩小时，S将趋于增大;当（X﹣C/2）=0即X=Y=C/2时，S将取得最大值：SM= C2/4。

而当X>C/2时，|X-Y|=2X-C，（X-C/2）增大即X增大，X与Y的差距|X-Y|=2X-C将随之增大;

当X

当（X-C/2）=0时，X=Y=C/2，X与Y的差距|X-Y|=0。

于是得证！

这个定理揭示了两个正数X与Y的“和”C=X+Y与“积”S=XY变动趋势的关联关系，利用这条定理中相关因素间的运动规律和辩证关系，我们可以解释不少经济社会现象，即这条定理是一条能管大用的科学原理，因此，我们将这条数学定理命名为“和积原理”。

4  和积原理的几何意义

恩格斯说，“笛卡尔的变数是数学中的转折点，从此，运动和辩证法进入了数学。”如图2所示，把S=XY放到笛卡尔直角坐标系中去表达，我们可以更清晰的看到，点（X，Y）沿着直线X+Y=C运动时，表现为长方形面积的S=XY变化的趋势和极值情况。

图2中，X、Y都处在第一象限，表示X>0，Y>0;满足X+Y=C的点集合在连接但不包括（C，0）、（0，C）两点的线段上，它们共同构成了S=XY极值原理的边界条件。点（X，Y）是边界线段上的一个动点，其横坐标是X，纵坐标是Y，这个点沿着边界线段运动时，分别以其横坐标X和纵坐标Y为长和宽的矩形的面积S=XY随之发生变化。點（C/2，C/2）是边界线段的中点，连接这个中点和坐标系原点的直线的方程是X=Y，由这个中点为右上角构成的矩形是代表SM的正方形。

S=XY的解析几何意义主要是点（X，Y）的运动带来的以下几个特点：

1.当动点（X，Y）向着中点（C/2，C/2）运动时，无论是从（C，0）点往左上行，还是从（0，C）点往右下行，都会出现X与Y的差距不断减小，二者大小逐渐趋向均衡，矩形S随之趋近于正方形，其面积S不断扩大;

2.当点（X，Y）与中点（C/2，C/2）重合时，X=Y=C/2，X与Y差距为0，矩形S变成正方形，矩形面积S=XY达到最大值：SM= C2/4。

3.当动点（X，Y）从中点（C/2，C/2）沿着边界线向（C，0）点运动时，虽然X逐渐增大，但同时Y不断减小，X与Y的差距越来越大，导致S=XY逐渐变小，当动点（X，Y）趋近于点（C，0）时，S=XY便趋近与0，二维的矩形趋近消退成一条没有面积的一维直线（X轴）。

当动点（X，Y）从中点（C/2，C/2）沿着边界线向（0，C）点运动时，虽然Y逐渐增大，但同时X不断减小，Y与X的差距也越来越大，也会导致S=XY逐渐变小，当动点（X，Y）趋近于点（0，C）时，S=XY也趋近于0，二维的矩形亦趋近消退为一条没有面积的一维直线（Y轴）。

上述解析图像十分明晰地告诉我们，在X>0、Y>0，X+Y=C的前提下，X、Y要相向而行，S=XY才能在X与Y的均衡增长中不断实现增长;X与Y要取得相等，S才能获得最大;一旦X和Y背道而驰，S就会随之减小。和积原理的这些重要思想和科学结论，我们将在讨论资源利用最大化、复合资本市场建设、混合所有制发展、病毒疫情防控和企业管理等问题时反复加以利用。

5  S值的单因素分布情况

将上述讨论中S值大小的变化沿坐标系横轴展开，我们可以作出C为定值时S值的横向分布图。

一般而言，二次函数S=aX2+bX+C的图像是一条抛物线。二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。抛物线对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，其坐标为P（-b/2a，（4ac-b2）/4a）。

按照上述“3”中的分析，S相对于X的函数式为S=﹣X2+CX 。按照上述知识，这条抛物线开口向下，顶点最高;对称轴为X=C/2;顶点坐标为P（C/2，C2/4），即X=Y=C/2时，SM= C2/4。

令C=1后作图，所得图3就是S值的横向分布图。这是一条以（1/2， 1/4）为顶点的开口向下的抛物线。在X值从0（不含0）向1/2逐步增大的时候，S的值随之逐步增大，但增速逐渐降低。当X值等于1/2时，S的值达到最大值 1/4 。当X值大于1/2后继续向1增大时，S的值逐步减小，减速逐步加快。当X趋近于1，S就趋近于0。

图4给出了C=1/2、C=1、C=2、C=3时S值的横向分布组图。由图可见，随着C值的增大，S的极大值有更快的升高。其中原因在于SM= C2/4中，当C发生增长时，SM会发生C2倍变化，其间蕴含着一种倍积的力量。

图5是C=10时S值的横向分布情况。此时，S值的曲线已经是一个高挑漂亮的抛物线了。可以想象，当C取更大数值时，S的曲线将变得更高更尖。

基于X、Y的对称性，可照此作出S沿Y轴展开的纵向分布图。事实上，将图2的X轴反时针旋转900到Y轴位置就得到S的纵向分布图。而在旋转过程中产生的切割体就是S=XY的立体模型。

S值单因素分布图的一个重要特点是，除了抛物线的顶点之外，相对于每一个S值，都有两个X值与之对应。两个X值对应同一个S值，在经济问题中就出现政策取舍问题。这一特点将在讨论拉弗曲线时再作深入分析。

6  两数之积S的极大值SM

从第三节的分析中我们得知，两数之积S的极大值SM由两数之和C来决定：SM= C2/4。若在一定的时段内，X与Y两数之和C不变，这个阶段中两数之积S的极值就不会增大或缩小。进入一个新的阶段后，当C发生变化，S也就将随之发生变化。由此产生做大蛋糕C=X+Y以求得S新的发展空间问题。如图6所示，当直线X+Y=C向内外平行移动时，其中点（C/2，C/2）将沿着直线X=Y运动。因此，不同的C值将共同给出一组不同位置上X+Y=C的平行线。显然，要分阶段做大S的极值，就得创造条件，打破常规，争取隔一段时间就将边界线平行向外推进一段，分阶段做大C值这个蛋糕。当然，工作中更要尽力防范系统风险，始终保持X与Y的均衡，严防C的向内缩减带来的系统性衰退。有关这方面的深入讨论，将在分析帕累托改进与帕累托最优问题时展开。

7  和与积的跨越发展边界线

值得指出的是，由于小数乘法自身的规律性，在S的增长过程中存在着一条关键性的跨越发展边界线。结合图4和图7分析可知：

在0

在C>1阶段，C2>C，指数函数的升维效应得以发挥作用，两数积S会随着两数和的增长出现更加快速的增长。

这就表明，C=1是S发展提升中的一条跨越发展边界线。在此之前，SM的极值空间非常有限，在此之后，S的极值空间迅速拓展。马泰效应等强者恒强的经济社会现象可以由此得到解释。先发国家占据科技与金融等C>1的高端实现持续发展，多数后发国家则仍然处在人才与资本等C<1的低端未能有效突破，原因就在于此。前者倍尝XY>X+Y好处，后者吃尽XY