时间最值问题的思考

李林钟

【摘要】本文主要把求时间最值问题转化为数学模型两定一动求最值问题。即是“PA+k·PB”模型的最值问题。从具体考试题分析讲解，分析题目内容、来源、背景。通过变式训练，从特殊到一般的变形，最后拓展提升总结模型。

【关键词】时间最值;胡不归;两定一动

中考数学压轴题历来是初中师生关注的焦点。它一般具有动态性、开放性、探索性等特点，涉及代数几何等多个知识点。对考生而言，压轴题是一根标尺，可以比较衡量学生的综合能力以及数学素养。而中考模拟试题压轴题，是给师生提供一个风向标，指导师生思考关注的方向。

时间最值问题可简化成数学模型“两定一动求最值”，即是“PA+k·PB”模型的最值问题。我们对参数k进行讨论，当 k 值为 1时就是“饮马问题”模型，即可转化为“PA+PB”之和最短問题，可以转化为轴对称问题来处理。原理：两点之间，线段最短。

当 k 值不为 1时，分类研究。

（1）点P在直线上运动——“胡不归”模型。如图1。

（2）点 P 在圆上运动——“阿氏圆”模型，如图2。

我们今天从一道具体考试题目来分析。

一、审题分析

1.题目具体内容：

已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点。

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B'恰好落在抛物线上，求点P的坐标。

（3）如图②，直线y=x+交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由。

2.题目来源：

2017年深圳福田二模数学试题第23题第（3）问;

3.选题背景分析

（1）本题运用知识点及体现的数学思想：

A、时间=路程/速度;B、两点之间，线段最短; C、点到直线的距离，垂线段最短;D、数形结合思想，转化思想

（2）本题考察中考热点问题

A、动点问题;B、数形结合;C、最值问题;D、胡不归问题

二、解题剖析

6.点F为直线EF上的动点，点B为定点。点到直线的距离，垂线段最短，当BF⊥EF时，BF最短;此时，BF与AE的交点D为所求。

7.具体解答过程

分析：

如下图所示：过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90o.

三、变式题解

1.我们可以把30°角转化成45°角。相对应的点Q在DE上的速度变成个单位。

变式1、如图，直线y=x+1交抛物线y=x2﹣2x﹣3于A、E两点，点B（3，0），点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由。

变式2、如图，直线交抛物线y=x2﹣2x﹣3于A、E两点，点B（3，0），点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒3个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒5个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由。

四、拓展提升

古老的“胡不归”问题，有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。由于思念心切，他挑选了全是沙砾地带的直线路径，放弃了沿驿道走一段的想法。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？……”这就是风靡千年的“胡不归”问题。

我们为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（见图（1））B是出发地，E是目的地;AE是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带。为了急切回家，小伙子选择了直线路程BE。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是哪条路线呢？胡不归问题可以用物理解法，也可以用数学解法。显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AE上选定一点D，小伙子从B走到D，然后从D折往E，可望最早到达E。用现代数学语言表达，就是：

如图（3），当BF⊥EF时，BF与AE交点D为所求。