1-Bit压缩感知理论研究

贾威

摘 要：1-Bit压缩感知作为压缩感知理论的重要分支，在原有理论的基础上进一步简化，在量化时仅保留测量值的符号，并能由此重构信号，使采样和量化能够同时进行，提高了采样速度，节约了存储空间。本文介绍了1-Bit压缩感知理论的发展过程、基本理论、实际应用，并且详细分析了常用的、一致性较好的二进制迭代硬阈值算法和符号匹配追踪算法。

关键词：压缩感知;1-Bit压缩感知;二进制迭代硬阈值;符号匹配追踪

中图分类号：TN911.7文献标识码：A文章编号：1003-5168（2020）23-0011-04

Abstract： As an important branch of compressed sensing theory， 1-Bit compressed sensing is further simplified on the basis of the original theory， only the sign of the measured value is retained during quantization， and the signal can be reconstructed from this， so that sampling and quantization can be performed simultaneously， and the sampling speed is increased， saving storage space. This paper introduced the development process， basic theory and practical application of 1-Bit compressed sensing theory， and analyzed in detail the commonly used and consistent binary iterative hard threshold （BIHT） algorithm and symbol matching sign pursuit （MSP） algorithm.

Keywords： compressed sensing;1-bit compressed sensing;binary iterative hard threshold;matching sign pursuit

随着我国经济社会的高速发展、现代通信技术的进步和信息传播速度的提升，信号带宽、信号处理量逐渐增大，表现在日常生活中就是人们对图像、音频、视频信息质量的要求越来越高，这就对信号转换、存储及传输带来了诸多挑战。

在数字系统中，模拟信号需要经过量化和采样过程转换为方便计算机处理的数字信号。Nyquist采样定理指出，当采样频率不小于信号中最大频率的两倍时，人们才能准确无失真地还原信号。在超宽带通信等越来越多的领域中，采样频率要求非常高，一般的模数转换设备难以实现。

为了解决以上问题，研究人员在前人算法的基础上提出了压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论[1]。该理论指出，若一个信号具有稀疏表示，那么它可由一系列线性的、非自适应的观测量精确重建，即可以通过比较少的观测量就可以将信号稀疏感知表示，从而提高采样速率，节省存储空间。

在实际的数字信号处理应用中，采样后的信号必须经过量化才能进行数字化处理。随着采样率的提高，量化器的量化速率也要相应提高，这就对量化器造成更大的压力。为了从量化精度角度出发降低采样率，人们逐渐研究出1-Bit压缩感知理论。

1-Bit压缩感知理论的特点是在信号经量化器量化后仅保留符号信息，大小均为1 bit，然后利用測量符号对原始信号进行重构。量化过程仅需要一个比较器就可以实现，大大简化了量化设备，而且减小量化位数至一位，可以实现高速量化和高速采样。本文将从基本理论、重构算法和实际应用的角度对该术进行介绍。

1 基本理论

1.1 传统压缩感知理论

传统压缩感知理论的主要原理可以概括为三个关键步骤：信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法的研究。

压缩感知的输入信号必须是本身稀疏的或者在某种空间基底下稀疏的，因为现实中的信号往往不是稀疏的，所以人们首先要对信号进行稀疏变换，使原始信号具有稀疏性。假设原信号[x∈RN]是[N]×1维离散时间信号，由信号理论可知，空间中的任何一组向量都可以用一组基进行线性表示，则原信号可以被表示为：

利用修改后的公式求解的过程与BIHT算法一致，不再赘述。

2.2 MSP算法

2009年，Petros提出了符号匹配追踪（Matching Sign Pursuit，MSP）算法，该算法是一种贪婪算法。

与大多数贪婪算法一样，MSP算法在第[t]次迭代中会生成一个由观测值和支持集形成的信号估计值[xt]，然后在下一次迭代中更新支持集，从而对信号估计值[xt]进行更新，直到重构的信号[xt]满足要求。MSP算法每次迭代过程中的求解的最优问题是将[（diag（y）Φx）-22]最小化。

其中，[diag（y）]是生成一个方阵，方阵的主对角线上依次放置测量符号[y]中的元素，其余元素为0;[?-]表示对括号内矩阵中元素取负所做的功，即将所有大于0的元素置零，小于等于0的元素保留。[（diag（y）Φx）-22]类似一个罚函数，目的是惩罚信号估计值[xt]和待估计原始信号[x]中不同的元素，由1-Bit压缩感知基本理论的内容可知，观测值为[yi]=sign（[φixi]），重构信号为[xt]，如果重构信号[xt]与原始信号[x]相同，则[yi]和sign（[φixi]）的符号值也相同，两者的乘积为正数，经过[?-]运算后，正数元素也就是重构信号[xt]与原始信号[x]相同的位置的元素置零，两者不同位置的元素将会被保留下来。

2.3 1-Bit压缩感知的应用

1-Bit压缩感知技术可以实现量化与采样同时进行，简化量化设备，节省存储空间，提高模数转化速率，在信号处理领域有广阔的应用前景。

1-Bit压缩感知的实现需要的硬件简单。采样器只需要一个比较器就能实现，通过与零电平进行比较，大于0的信号值取1，小于0的信号值取-1，实现了高速采样。例如，在多谐波信号采集系统中[5]，1-Bit量化节约了大量存储空间，提高了采样率。

1-Bit压缩感知对非线性失真不敏感，具有较好的鲁棒性。1-Bit测量只获得信号的符号值，因此当信号值在一定范围内波动时，测量值不会发生改变，这就使得1-Bit压缩感知能够很好地应用到硬件条件易受到温度、湿度、光照等因素影响的环境中，使系统得到优化。

3 结论

本文从多个方面详细介绍了1-Bit压缩感知理论。首先从时代背景出发，对1-Bit压缩感知理论的产生发展以及与当下技术的结合进行了介绍，其次介绍了压缩感知的基本思想与理论推导，然后结合1-Bit压缩感知理论，对该理论应用的核心部分——重构算法进行了介绍，并列举了两种常用算法，最后列举了该理论在几个技术领域内的应用。近些年来，1-Bit压缩感知理论在国内外众多研究人员的努力下不断完善，已经在很多领域得到了应用，也向更多领域发展。完善理论，构建更加精确的算法，拓宽技术应用，是1-Bit压缩感知理论研究人员未来努力的方向。

参考文献：

[1]约琳娜·埃尔达.压缩感知理论与应用[M].北京：机械工业出版社，2019.

[2]Candes E J.The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].Comptes Rendus Mathematique，2008（9）：589-592.

[3]Donoho D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006（4）：1289-1306.

[4]Plan Y，Vershynin R.One-bit Compressed Sensing by Linear Programming[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2013（8）：1275-1297.

[5]楊柳.1-Bit压缩感知技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.