2020全国Ⅲ卷理科11题的多解及推广*

刘成龙 郭 洪

四川西华大学理学院 (610039) 四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641100)

一、试题再现

A.1B.2C.4D.8

二、试题解法

为叙述方便，不妨设P(x,y)在双曲线的右支.

图1 图2 图3

解法4:(利用三角函数)如图3，过P作PH⊥x轴于H.设∠PF1H=α，借助三角函数，于是|PH|=|PF1|·sinα=2ccosα·sinα，则SΔPF1F2=

三、试题推广

张景中院士认为数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.[1]试题可以从多个视角推广，如下：

视角1 将试题条件一般化

视角2 将双曲线推广到椭圆

推广2证明方法同推广1，过程略.

视角3 将双曲线推广到抛物线

证明：设P(x,y)，对于ΔPFM，根据S=