20世纪杰出的数学家柯尔莫哥洛夫

2003年1月16至21日，许多世界著名的数学家云集莫斯科，参加一个名为“柯尔莫哥洛夫与当代数学（Kolmogorov and Contemporary Mathematics）”的学术会议，在会议上，菲尔兹奖获得者斯梅尔（Smale，1930-）、诺维科夫（Novikov，1938-），沃尔夫奖获得者阿诺尔德（Arnold，1937-）、希策布鲁赫（Hirzebruch，1927一）、卡尔森（Carleson，1928一）和西奈依（Sinai，1935-）等12位一流的数学家分别作了主题报告，这些报告都触及了柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）的研究领域，4月29日，莫斯科大学又举行了一场纪念会，隆重纪念这位20世纪的伟大数学家、数学教育家的百年诞辰。

一、早年的经历

1903年4月25日，柯尔莫哥洛夫出生于俄国坦波夫省，1987年10月20日在莫斯科逝世，他的祖父是牧师，父亲卡塔耶夫（Kataev）是一位农学家，曾被流放过，在十月革命后回来担任农业部某部门的领导，1919年在战斗中牺牲，柯尔莫哥洛夫的母亲出身于贵族家庭，后因难产而死，柯尔莫哥洛夫的童年是在外祖父家度过的，姨妈把他抚养成人，尽管柯尔莫哥洛夫在出生后就失去了母爱，也从未得到过父爱，但柯尔莫哥洛夫却是在关爱中长大的，很小的时候，姨妈就教导他要热爱学习，热爱大自然，在五六岁时，柯尔莫哥洛夫就独自发现了奇数与平方数的关系，体会到了数学发现的乐趣，外祖父家创办了一份家庭杂志《春燕》，年幼的柯尔莫哥洛夫竟然负责起其中数学栏目的编辑工作，他把自己的一些发现发表在该杂志上。

6岁时，他随姨妈去了莫斯科，在一所被认为是当时最有名的预科学校读书，在求学期间，他认真学习了生物学和物理学;14岁时，他从一部百科全书中学习了高等数学，并对象棋、社会问题和历史也产生了兴趣。

1920年，柯尔莫哥洛夫中学毕业后，当过一段时间的列车售票员，在工作之余，他写了一本关于牛顿力学定律的小册子，同年，柯尔莫哥洛夫进入莫斯科大学学习，除了学习数学，他还学习了冶金和俄国史，他对历史特别着迷，曾写了一篇关于15-16世纪诺夫格勒地区地主财产的论文，关于这篇论文，他的老师、著名历史学家巴赫罗欣（Bakhrushin）说：你在论文中提供了一种证明，在你所研究的数学知识范围内，这也许足够了，但对历史学家来说是不够的，他至少需要五种证明，历史教授的这番话对柯尔莫哥洛夫产生了重大的影响。

二、闯入数学王国

在莫斯科大学读书期间，柯尔莫哥洛夫非常喜欢听大数学家鲁津（Luzin，1883-1950）的课，且经常与鲁津的学生亚历山德罗夫（Alexandrov，1896-1982）、乌里松（Urysohn，1898-1924）、苏斯林（suslin）等在一起讨论学术上的问题，在鲁津的课上，这位一年级的大学生竞反驳了老师的一个假设，令人刮目相看，柯尔莫哥洛夫还参加了斯捷班诺夫（Stepanov，1889-1950）的三角级数讨论班，并解答了鲁津提出的一个问题，鲁津知道后，十分赏识他，主动提出收他为弟子。

尽管柯尔莫哥洛夫还只是一名大学生，但他却取得了举世瞩目的成就，1922年2月，他发表了有关集合运算方面的论文，推广了苏斯林的研究成果;同年6月，他发现了一个几乎处处发散的傅里叶级数;到1926年，他构造出了处处发散的傅里叶级数，这个级数是他在当列车售票员时想出来的，柯尔莫哥洛夫瞬间成为世界数学界的一颗闪亮的新星，几乎同时，他对微分、积分、测度论等也产生了兴趣。

1925年，柯尔莫哥洛夫大學毕业，成了鲁津的研究生，这一年，柯尔莫哥洛夫发表了8篇在读大学时写的论文，在每一篇论文里，他都引入了新概念、新思想、新方法，他的第一篇关于概率论方面的论文就是在这一年发表的，此文是他与辛钦（Khinchin，1894-1959）合作完成的，其中含有三角级数定理以及关于独立随机变量部分和的不等式，后来，这些发现成了不等式以及随机分析的基础，他证明了希尔伯特变换的一个切比雪夫型不等式，该不等式后来成了调和分析的“柱石”，1928年，他求得了独立随机变量序列满足大数定律的充要条件;翌年，又发现重对数律的广泛条件，此外，他的工作还包括微分和积分运算的若干推广、直觉主义逻辑等。

1929年夏天，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫乘船从雅洛斯拉夫尔（Yaroslavl）出发，沿伏尔加河穿越高加索山脉，最后到达亚美尼亚的塞万（sevan）湖，在湖中的一个小半岛上住下，在那里，他们享受游泳和日光浴的乐趣，亚历山德罗夫戴着墨镜和巴拿马草帽，撰写一部有关拓扑学的著作，此书是他与霍普夫（H，Hopf，1894-1971）合作完成的，一问世即成为一部经典的著作，柯尔莫哥洛夫则在树荫下研究连续状态和连续时间的马尔可夫过程（一类随机过程），1931年，柯尔莫哥洛夫的该研究结果发表，其内容是扩散理论之滥觞，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫两人的友谊即始于这次长途旅行，亚历山德罗夫后来回忆道：到1979年，我和柯尔莫哥洛夫认识已经有五十年了，在这整整半个世纪里，我们从未有过任何争吵，从未有任何误解，即便是在某个问题上有分歧，我们彼此都会尊重对方的观点，同时也会心平气和地交流，而柯尔莫哥洛夫则认为两个人的友谊是他一生中最珍贵的感情。

1930年夏天，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫开始了另一次长途旅行，这次他们访问了柏林、格丁根、慕尼黑、巴黎，柯尔莫哥洛夫结识了希尔伯特（Hilbea，1862-1943）、库朗（Courant，1888-1972）、兰道（Landau，1877-1938）、外尔（Weyl，1885-1955）、卡拉泰奥多里（Caratheodory，1873-1950）、弗雷歇（Fre，chet，1878—1973）、波雷尔（Borel，1871-1956）、莱维（Levy，1886-1971）、勒贝格（Lebesgue，1875-1941）等一流数学家，与弗雷歇、莱维等进行了深入的学术讨论。

20世纪30年代是柯尔莫哥洛夫数学生涯中的第二个创造高峰期，在这个时期，他发表了80余篇有关概率论、射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学、哲学、数学史与数学方法论等方面的论文，1931年，柯尔莫哥洛夫被莫斯科大学聘为教授，1933年，他出版了《概率论的基本概念》，这是概率论的经典之作，该书首次将概率论建立在严格公理的基础上，解答了希尔伯特第6问题中概率部分的问题，这标志着概率论发展新阶段的开始，具有划时代的意义，同年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论中的分析方法》，为马尔可夫随机过程理论奠定了基础，从此，马尔可夫过程理论成为一个强有力的科学工具。

在拓扑学上，柯尔莫哥洛夫是线性拓扑空间理论的创始人之一;他和美国著名数学家亚历山大（Mex，ander，1888—1971）同时独立引入了上同调群的概念，1934年，柯尔莫哥洛夫研究了链、上链、同调和有限胞腔复形的上同调，在1936年发表的论文中，柯尔莫哥洛夫定义了任一局部紧致拓扑空间的上同调群的概念，1935年，在莫斯科国际拓扑学会议上，柯尔莫哥洛夫定义了上同调环。

1935年，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫在莫斯科郊外一个名叫科马洛夫卡（Komarovka）的小村庄里买了一座旧宅邸，他们的许多数学工作都是在这里完成的，阿达玛（Hadamard）、弗雷歇、巴拿赫（Banach）、霍普夫、库拉托夫斯基（Kuratowski）等许多著名数学家都访问过科马洛夫卡，莫斯科大学的研究生们经常结伴来到“科马洛夫卡”拜访这两位数学大师，与两位大师一起参加“数学郊游”，在那里，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫热情地招待学生们，到了晚上，学生们尽管有些疲劳，但总是带着学习上的收获快乐地回到莫斯科，著名数学家马尔采夫（Malcev）和盖尔范德（Gel，fand）就是其中的两位研究生，柯尔莫哥洛夫的博士生、著名数学家格涅坚科（Gnedenko）回忆说：“对于柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，与柯尔莫哥洛夫一起做研究的岁月是终生难忘的，最令人难以忘怀的是每个周日的郊游，柯尔莫哥洛夫邀请他所有的学生（研究生或本科生）以及别的导师的学生前来参加郊游活动，在郊游的过程中，我们讨论当前的数学（及其应用）问题，还有一些有关绘画、建筑和文学方面的问题。”

20世纪30年代末，柯尔莫哥洛夫发展了平稳随机过程理论，美国数学家维纳（Wiener，1894-1964）随后也获得了同样的成果，柯尔莫哥洛夫还把研究领域推广到行星运动和空气的湍流理论。

20世纪40年代，柯尔莫哥洛夫的研究兴趣转向应用方面，1941年，他发表了两篇有关湍流的论文，这两篇论文为湍流理论的发展奠定了基础，其中一个著名定律是“三分之二律”：在湍流中，距离为，的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比。

在这个时期，除了在数学方面，柯尔莫哥洛夫在遗传学、弹道学、气象学、金属结晶学等方面均有重要贡献，在1940年发表的一篇论文里，柯尔莫哥洛夫证明了孟德尔定律，当时，孟德尔定律在苏联是受批判的，柯尔莫哥洛夫的论文反映了他追求真理的科学精神。

20世纪50年代是柯尔莫哥洛夫学术生涯的第三个创造高峰期，这个时期，他的研究领域包括经典力学、遍历理论、函数论、信息论、算法理论等。

1953年和1954年，柯尔莫哥洛夫发表了两篇有关动力系统及其在哈密顿动力学中应用方面的论文，这标志着KAM（即Kolmogorov-Arnold-Moser）理论的建立，1954年，柯尔莫哥洛夫应邀在阿姆斯特丹国际数学家大会上作了“动力系统的一般理论与经典力学”的重要报告，后来，人们的研究证明了他深刻的洞察力。

在这个时期，柯尔莫哥洛夫开始了自动机理论和算法理论的研究，他和学生乌斯宾斯基（uspenskii）创立了被称为“柯尔莫哥洛夫一乌斯宾斯基机”的概念，他还力排反对意见，支持有关计算理论的研究，许多苏联的计算机科学家都是柯尔莫哥洛夫的学生或学生的学生，20世纪50年代中后期，柯尔莫哥洛夫致力于信息论和动力系统遍历论的研究，他在动力系统理论中引人了熵的重要概念，开辟了一个广阔的新领域，建立了混沌理论，1958-1959年，柯尔莫哥洛夫将遍历理论应用于对一类湍流现象的研究，这对他后来的工作产生了深远的影响。

1957年，柯尔莫哥洛夫和他的学生阿诺尔德完全解决了希尔伯特第13问题：存在连续的三元函数，不能表示成二元连续函数的叠合，他给出了否定的答案：任意多个变量的连续函数都可表示成单变量连续函数的叠合。

20世纪60年代以后，柯尔莫哥洛夫又开创了演算信息论（今称“柯尔莫哥洛夫复杂性理论”）和演算概率论这两个数学分支。

柯尔莫哥洛夫的研究几乎遍及数论之外的一切数学领域，1963年，在第比利斯召开的概率统计会议上，美国统计学家沃尔夫维茨（Wolfowitz，1910-1981）说：“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构。”

三、独特的教学研究方式

在半个多世纪的漫长学术生涯里，柯尔莫哥洛夫不断提出新问题、构建新思想、创造新方法，在世界数学舞台上保持着历久不衰的生命力，这得益于他健康的体魄，他酷爱体育锻炼，被称作“户外数学家”，他和亚历山德罗夫每周有四天时间在科马洛夫卡度过（另外三天则住在城里的学校公寓里），其中有一整天是體育锻炼的时间：滑雪、划船、徒步行走（平均路程长达30公里），在晴朗的三月，他们常常穿着滑雪鞋和短裤，在外连续锻炼四个小时，平日里，早晨的锻炼是不间断的，冬天还要再跑10公里，当河冰融化的时候，他们还喜欢下水游泳，在70岁生日时，柯尔莫哥洛夫组织了一次滑雪旅行，他穿着短裤、光着胳膊在雪地里穿行，把别的参加者都甩在了后面。

他的许多奇妙而关键的思想往往是在林间漫步、湖中畅游、山坡滑雪的时候诞生的，在1962年访问印度时，他甚至建议印度所有的大学和研究所都建在海岸线上，以便师生在开始严肃讨论前先下海游泳。

柯尔莫哥洛夫也是一位著名的数学教育家，他喜欢为有数学天赋的学生提供特殊的教育计划，他认为，14～16岁年龄段的学生对数学的兴趣會明显地表现出来，对数学没有兴趣的学生应该学习特殊的简化课程，对数学有兴趣的学生就可以选择数学作为大学专业进行深入的学习，不过，在其进入大学之前应考核一下处理数学问题的各种能力——运算能力、几何直观能力、逻辑推理能力。

柯尔莫哥洛夫创立了莫斯科大学数学寄宿学校，多年来，他花费大量时间在寄宿学校上，制订教学大纲，编写教材，授课（每周多达26个小时），带领学生徒步旅行和探险，教学生音乐、艺术以及文学，这所学校里的学生常常在全苏和国际数学奥林匹克竞赛中名列前茅，但对于那些成不了数学家的学生，他并不感到担忧，无论他们最终从事什么职业，只要能保持开阔的视野、探索的精神，他都会感到满意，一个学生如果能进入柯尔莫哥洛夫的“大家庭”，那该是多么的幸运！

作为20世纪世界杰出的数学家，柯尔莫哥洛夫获得了许许多多的荣誉：1941年荣获首届苏联国家奖、1949年荣获苏联科学院切比雪夫奖、1963年获国际巴尔赞奖、1965年获列宁奖、1976年获民主德国科学院亥姆霍兹奖章、1980年获沃尔夫奖、1986年获罗巴切夫斯基奖等，他还前后七次获得列宁勋章。

1939年，柯尔莫哥洛夫当选苏联科学院院士，他还是波兰科学院（1956年）、伦敦皇家统计学会（1956年）、罗马尼亚科学院（1957年）、民主德国科学院（1959年）、美国艺术与科学院（1959年）、美国哲学学会（1961年）、荷兰皇家科学院（1963年）、伦敦皇家学会（1964年）、匈牙利科学院（1965年）、美国国家科学院（1967年）、法国科学院（1968年）、芬兰科学院（1983年）等机构的外籍院士或荣誉会员，巴黎大学（1955年）、斯德哥尔摩大学（1960年）、印度统计研究所（1962年）、华沙大学、布达佩斯大学等相继授予他荣誉博士学位。

柯尔莫哥洛夫喜爱俄国诗与美术，尤其热爱油画与建筑，他将诗体学看作是自己科学研究的一个领域，他也酷爱音乐，莫扎特的G小调交响乐和巴赫的小提琴协奏曲常常陪伴他和亚历山德罗夫（常常还有众多朋友）度过科马洛夫卡的宁静之夜。

他热爱学生，对学生严格要求并且指导有方，他直接指导的学生有67人，他们大多数成为了世界级的数学家，其中14人成为前苏联科学院的院士，1987年10月20日他在莫斯科逝世，享年84岁，柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地贡献了光辉的一生。