利用类似性识读切割体三视图

汪春平

摘要：读懂三视图是学习机械制图的主要目的之一，而如何识读切割体的三视图更是读图中的重点与难点，但如果能够用所学到的类似性的知识去识读切割体的三视图的话，会让我们受益匪浅。

关键词：类似性;切割体;投影面垂直面;一般位置面

0  引言

机械制图中，正投影法有三种基本性质：真实性、积聚性和类似性。当直线或平面倾斜于投影面时，直线在投影面上的投影为缩短的直线段，平面在投影面上的投影为缩小的类似形，这种性质称为类似性。

这个性质对于识读切割体的三视图帮助很大，如果应用得好，可以起到事半功倍的效果。切割体是由基本体经过切割而形成的，但不管怎么切割，截切平面只有三种类型：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置面。投影面平行面這里不作讨论，只讨论后两种类型：

①当基本体被投影面垂直面截切时，截切平面在与其垂直的投影面上的投影为直线，在与其倾斜的投影面的投影为类似形;

②当基本体被一般位置面截切时，该平面在三个投影面上的投影均为类似形。

1  类似性的应用

在读切割体的三视图时，要紧紧围绕类似性做文章，这里分两种情况讨论，一种是基本体被投影面垂直面截切，另外一种是基本体被一般位置面截切。

1.1 基本体被投影面垂直面截切

【例1】 如图1：已知主视图和左视图，请补出俯视图。

分析：用类似性解这类题首先要找出视图当中的倾斜的线，一般来讲（不能绝对），如果主视图上有几条倾斜的线，那么该立体就被几个正垂面切割;如果左视图有几条倾斜的线就被几个侧垂面切割;如果俯视图上有几条倾斜的线就被几个铅垂面切割。如图1，根据主视图有四条倾斜的线，左视图有两条倾斜的线，可以知道该长方体分别被四个正垂面切割和两个侧垂面切割;然后再根据“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，找出每条斜线在其它视图中所对应的投影。如图2，左视图上的两斜线q″，根据“高平齐”我们不难看出它在主视图上的投影为q′（八边形），根据类似性我们补出来的水平面投影q应该为八边形，而且是q′的类似形;同理，主视图上的p′对应左视图的p″（上面的小四边形），其作出来的水平面投影p应该为p″（上面的小四边形）的类似形，主视图上的r′对应左视图的r″（最大的四边形），其作出来的水平面投影r应该为r″（最大的四边形）的类似形，主视图上的m′和n′对应左视图的m″和n″（下面带虚线的四边形，二者重合），其作出来的水平面投影m和n应该为m″和n″的类似形。

通过上面的分析，应该对这个切割体的几个切割面的形状和位置很清楚了，下面就是具体的作图，其作图步骤如下：

①补出两侧垂面Q的水平面投影q（为q′八边形的类似形），在补的时候如果有困难不好下手可以先标出八边形的八个点的正面投影和侧面投影，然后再利用点的投影规律求出八个点的水平面投影，最后依次连接即可得八边形的水平面投影，如图3。

②补出左边正垂面P和右边正垂面R的水平面投影p和r（都为四边形，但要特别注意：p″为上面的小四边形，r″为左视图上最大的四边形），因为这两个面比较简单而且有边与上面补的八边形重合，所以我们可以直接补出来不用再去求点的投影了，如图4。

③最后直接补出形成下面缺口的两正垂面M和N的水平面投影m和n（为俯视图虚线围成的四边形），如图5。

1.2 基本体被一般位置面截切

这种情况要清楚地知道一般位置面和投影面垂直面的区别：一般位置面与三个投影面都倾斜，它的三面投影均为类似形，而投影面垂直面与某一个投影面垂直，与另两个投影面倾斜，它的三面投影为一条直线和两类似形。所以基本体被一般位置面截切的时候，该面在三个投影面的投影均为类似形，而被投影面垂直面切割的时候，在三个投影面的投影是两类似形加一条倾斜的直线。也正因为如此，我们在判断切割体被什么面切割的时候千万不能根据图中出现的两类似形来草率地下出结论，因为出现两类似形有可能是被投影面垂直面切割，也有可能是被一般位置面切割，只有当图中出现了一类似形加一条倾斜的直线的时候，才能排除一般位置面，肯定基本体是被投影面垂直面切割;只有当图中出现三类似形的时候才能排除投影面垂直面，肯定基本体是被一般位置面切割。

【例2】如图6，已知形体的两面投影，请补出第三面投影。

分析：如图7，主视图中q′（为五边形）对应左视图中的斜线q″，因为是一平面加一斜线所以可以确定出Q面是侧垂面，其在水平面的投影q也应该是五边形。但图中出现了三对类似形：p′和p″（四边形），m′（主视图左边有虚线围成的四边形）和m″，n′（主视图中左下四实线围成的四边形）和n″，那么P、M、N面各是什么位置面呢？这里先不要草率地下结论，因为面是由点和线组成的，所以先观察P、M、N面点和线的投影，从图7中可以很清楚地看出P面有两条铅垂线（组成四边形p′和p″的两竖直线），因为铅垂线的水平面投影为点，所以P面的水平投影应该为直线，即P面为铅垂面，而组成M面和N面的点和线无这种特殊情况，所以M面和N面应为一般位置面，其水平面投影为类似形即四边形。

通过上面的分析，我们将其俯视图补出来，步骤如下：

①根据q′和q″补出侧垂面Q面的水平面投影q（为五边形），同时也补出了铅垂面P的水平面投影p（为五边形最右边的一条边），如图8。

②补出一般位置面M和N的水平面投影m和n（为带虚线的四边形），如图9。

③补出其它的投影面平行面（一水平面和一正平面）的投影，然后整理即得，如图10。

通过补出来的俯视图不难看出：因为M面的三面投影m′、m″和m，N面的三面投影n′、n″和n都是类似形（四边形），所以它们为一般位置面;Q面只有正面投影q′和水平面投影q为类似形（五边形），而侧面投影q″为直线，所以它为侧垂面;P面的水平面投影p为倾斜的直线，而正面投影p′和侧面投影p″为类似的四边形，所以它为铅垂面，这也进一步说明刚才的分析是正确的。当然在补的时候也不要忘记补投影面平行面的投影。

另外，在机械制图切割体当中还经常有补画漏线这一类题，对于这一类题，如果不能从已知的图线当中获得正确的信息，要想把所有的漏线补完整还是有一定的难度，特别是三个视图都有漏线要补，但是如果在补的过程当中利用好类似性，完全可以把缺漏的线补齐全。

【例3】如图11，请把下面视图当中的漏线补出来。

分析：此题当中三个视图都不完整，补之前一定要判断出该基本体是被哪些面切割，而且还要注意先后顺序。根据三视图可以看出该基本体先后被一正垂面（主视图当中的一条斜线）、两铅垂面（俯视图当中的两条斜线）、两正平面和一水平面切割（左视图当中的槽）。从图中还可以看出：俯视图当中的两条斜线在主视图当中能够找出它的正面投影（四边形），所以只须补其侧面投影即可，但对于主视图当中的一条斜线，在左视图和俯视图当中不能找出其完整的侧面投影和水平面投影，所以刚开始不能去补它所对应的其它两面投影，而要等它的侧面投影或水平面投影当中有一个补完整后再去补。正因为如此，所以在此题当中，要先补出左视图当中的槽的正面和水平面投影，然后再去补主、俯视图斜线所对应的其它面的投影。

作图步骤如下：

①左视图中用两正平面和一水平面切了一个槽，补出其正面和水平面投影（只有这样俯视图才能补完整，正垂面的水平面投影才能找出来）。如图12。

②俯视图中有两斜线p（判断P面为铅垂面）对应主视图的p′（为四边形），补出其侧面的两类似形p″，如图13。

③主视图上的斜线q′（判断Q面为正垂面）所对应的水平面投影q（为八边形），补出其侧平面的类似形q″（加一条线即可）。如图14。

2  结论

通过上面的论述可以看出：类似性在识读切割型组合体的三视图当中确实能够给我们提供很大的帮助，并且在比较复杂的图形当中，它的作用是不可替代的，所以在学习机械制图当中一定要掌握好这个武器，从而提高我们的識读图能力。

参考文献：

[1]钱可强主编.机械制图[M].五版.北京：中国劳动社会保障出版社，2007全国中等职业技术学校机械类通用教材.

[2]果连成主编.机械制图（第六版）习题册[M].北京：中国劳动社会保障出版社，2011全国中等职业技术学校机械类通用教材.

[3]胡建生主编.机械制图[M].北京：人民邮电出版社，2014（2017.1重印）高等职业院校机电类“十二五”规划教材.工业和信息化高职高专“十二五”规划教材立项项目.