函数思想：让数学模型根植于学生内心

钱慧

【关键词】生活实例 多元表征 动态建模

《反比例的意义》这一课旨在让学生观察比较两个变化相依的量中的不变关系——乘积一定，这一内容是学生在非形式化地学习函数知识。从反比例的意义到反比例函数的图像，通过教学，让笔者深刻感悟到函数思想在小学数学中的体现，同时也深刻意识到渗透函数思想的重要性与必要性。下面来谈一谈在这节课的教学中渗透函数思想的一些教学探索。

函数思想是一种重要的数学思想，它的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。小学阶段虽然没有出现“函数”这一概念，但却在很多知识中体现了函数思想。学生愿意去发现规律，并将规律表达出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。在教学中渗透函数思想，有利于小学生清晰地把握问题中影响结果的数量及数量间的内在联系，提高分析和解决问题的能力，从而形成辩证看待问题的思维习惯和善于思考的品质。

一、生活实例，在观察比较中寻找变与不变

函数概念以变化为前提，变化是函数思想的精髓。利用变化的过程，才能使学生感受到函数思想。激发学生探究的本性，在于“变”中把握“不变”，是函数思想的集中体现。生活中有很多现象都蕴含着函数思想，挖掘出生活实例中的函数思想，需要教师的精心设计、有意识地渗透，充分发挥素材的功能，从而达到事半功倍的效果。在这节课中，教师根据学生的认知特点，从丰富典型的具体实例出发，引导学生经过自觉的探索，展开观察、比较，来理解比例中的变与不变。

师：（出示例3）现在表中记录了哪两种变化的量？单价和数量是怎么变化的？（单价越低，数量越多，单价越高，数量越少）

师：那这里的单价和数量成正比例关系吗？为什么？这种变化有什么规律呢？大家来完成探究活动。

活动要求：找一找：______和______是两种相关联的量。

算一算：__________________

想一想：单价和数量之间有怎样的数量关系？

说一说：什么是不变的？交流：谁来说一说？60表示什么？那这里有怎样的数量关系？什么是不变的？

师：像这种关系的两种量也成比例关系，给它起个名字吧！

我们一起来看一看：单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。它们都在变，在这个变化的背后，什么是不变的呢？

通过计算发现：单价和数量的乘积是不变的，当单价和数量的乘积一定（也就是总价一定）时，我们就说笔记本的单价和购买的数量成反比例关系，笔记本的单价和购买的数量是成反比例的量。

这里的单价和数量成什么关系？我们是怎么得出来的？和你的同桌说一说。

小结：单价和数量是两种相关联的量，当它们的积一定时，单价和数量成反比例关系。

以上教学片段，从生活实际出发，理解总价一定时，单价和数量成反比例关系;工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系，以此引导学生围绕“变与不变”进行探索。从典型的实例出发引出反比例的概念，不仅有利于学生从各种运动变化的具体实例中理解关联变量中的变与不变，也为以后进一步学习函数做好铺垫。

二、多元表征，在数量关系中感悟变量与对应

由于函數反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示，常用的有语言描述、表格、图像和解析式四种方法。小学数学教材中我们经常用以上方法来帮助学生进一步探索数量的变化规律，让学生在理解数量关系的过程中，采用多元表现手法，来掌握函数中的变量及变量之间的对应关系。在这节课中，教师从学生已有的认知基础出发，在具体的数量关系中，引导学生用多种表达方式来理解反比例中对应的函数思想。

师：刚才我们研究了反比例，当总价一定时，单价和数量成反比例关系;当工作总量一定时，工作效率和时间成反比例关系。想一想，怎样的两种量成反比例关系？

小结：两个相关联的量，它们的乘积一定，这两个量就成反比例关系。

如果用x和y表示两种相关联的量，用K表示它们的积，反比例关系可以怎样表示？

XxY=K（一定）

师：x和y是两种相关联的量，当x和y的积一定时，x和y成反比例关系。

师：生活中还有哪些成反比例的量？你能举例说一说吗？

追问：要判断两种相关联的量成不成反比例关系，关键看什么？

小结：两个量成反比例关系，必须符合两个条件：两种量是相关联的，两种量的乘积一定，也就是两种相关联的量的乘积一定。

正比例和反比例的概念在小学阶段是依据具体的实例进行描述的，它体现了函数概念的两个重要特征：两个变量是相互联系的，一个量变化时，另一个量也随之变化;函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。在正反比例的教学中，当学生明确“两种量是相关联的”之后，通过计算每一组的比值或乘积找到数量之间的关系，从而明确这两种量的变化规律（比值一定或积一定），进而用字母表达式、图像来表示两种变量之间的对应关系。

三、动态建模。在几何直观中发展思想与方法

动态演示将由抽象的关系式表达的数学模型用动态的几何模型直观地外显出来，既有利于学生体会图像的形成过程，理解图像的含义，又有利于学生体会数形结合的思想方法，感受图像的应用价值。图像的建立过程，也是学生动态地感受几何直观的过程，在这个过程中，学生感受着两个对应量之间的对应关系。在这节课的教学中，教师抓住学生刚学习了画正比例图像的基础，在“看一看、比一比”中观察反比例图像，在几何直观中发展思想方法。

师：我们已经知道了正比例关系可以用图像来表示，其实反比例关系也可以用图像来表示。你觉得反比例图像会是什么样子的呢？

生1：肯定与正比例图像不一样。

生2：可能是弯弯的线，因为正比例图像是一条直直的线，反比例和正比例相反，就是一条弯弯的线。

师：我们一起来看一看，x和y两个量成反比例，可以用这样的图像来表示（图略）。（动态出示）

师：正比例与反比例的图像是不同的（图略）。

师：正反比例的知识到了初中我们将会更深入地学习。

学生认识正比例的意义后，引导他们根据表中数据画出表示正比例关系的图像，在描出的点与数据的对应关系中理解图像的实际意义，进一步感受变量与对应的思想;在图像的动态呈现过程中，进一步理解两种量的变化规律，发展学生的函数思想;在借助正比例图像进行估算的实际运用中，进一步培养学生的数学运用意识。由于反比例图像在第一象限内是一条曲线（小学阶段只讨论整数范围内数量间的变化规律），画反比例图像和根据图像进一步认识成反比例的量的变化规律对小学生来说有一定的困难，教材根据数学课程标准的要求，没有安排这部分的内容教学，而是以“你知道吗”的形式对此做了简单介绍，笔者在教学中利用电脑动态演示反比例图像的形成过程，在正比例图像和反比例图像的对比中，丰富学生对函数图像的直观认识，为学生今后进一步学习函数知识打下良好的基础。通过对图像的观察和想象，学生就能更深切地感受正反比例量的特点，更深刻地理解正反比例的意义，更深入地感悟函数思想的本质。

中科院院士、数学家张景中在《感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们》一文中指出：“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含着一些深刻的数学思想，最重要的，首推函数思想……不用给孩子讲函数概念，但教师要有函数思想，在教学中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化对学生的素质就有好处。”学生对函数思想的感悟是一个长期的过程，教师在教学中要抓住渗透函数思想的契机，精心设计教学环节，通过生活实例、多元表征、动态建模等方式促使学生不断深化对函数思想的感悟，让数学模型根植于学生内心。