具有圆盘约束的传感器故障可靠H∞控制

叶倩玉，武全胜，王福忠，姚 波

（1.沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳 110034；2.朝阳师范高等专科学校数学计算机系，辽宁朝阳 122000；3.沈阳工程学院基础教学部，辽宁沈阳 110136）

在现代工业系统中，安全关键系统（如航天系统、铁路系统等）一旦发生故障，便会造成不可估量的损失。因此，可靠控制问题越来越多地吸引了研究人员的关注[1-5]。在实际的系统中，由于部件老化等原因，可能造成传感器或执行器发生故障，且传感器故障可能会导致更严重的情况[6]。因此，为了提高系统的安全性，已开发出广泛的可靠控制技术，这些技术可补偿传感器故障并保持闭环系统的性能。文献[7]采用矩阵的奇异值分解方法，以线性矩阵不等式的形式给出了基于观测器的H∞状态反馈控制器存在的充分条件及设计问题。然而状态反馈控制器在实际控制工程中，往往不能直接测量，即使采用观测器的形式也不能获得准确数据，对系统进行有效控制是难以实现的。那么，考虑输出反馈对系统进行控制，其中动态输出反馈控制有消耗过多资源的弊端[8]，而静态输出反馈控制可直接获取准确的输出数据，不用建立新系统而耗费过多的资源。所以，静态输出反馈控制具有更为实际的研究意义。基于H∞控制理论的静态输出反馈控制是有效控制策略，广泛应用在飞行器和工业控制过程中[9-11]。此外，为了获得精准且快速的调节控制，区域极点配置的方法在实际工程中也是至关重要的。文献[12-14]运用极点配置的方法将系统的极点配置到某些特定的区域内，保证了良好的瞬态性能。

本文将极点约束在特定的圆盘区域内，以获得良好的瞬态性能；利用凸组合方法处理传感器单故障模型，减小了只从多故障角度设计控制器的保守性；通过有界实引理把结论转化为线性矩阵不等式组（LMIs）的形式，运用LMI 工具箱求解线性矩阵不等式组（LMIs），获得可行解，得到静态输出反馈可靠H∞控制器存在的充要条件。无论是否发生传感器故障，系统都可以获得期望的闭环极点，达到给定的H∞性能指标并保持渐近稳定。

1 问题描述

考虑线性定常系统：

式中，x(t)∈Rn为系统的状态变量；y(t)∈Rm为系统的测量输出变量；u(t)∈Rp为系统的控制输入变量；ω(t)∈RL为外部有界干扰输入；A、B1、C为适维矩阵；B2为适维列满秩矩阵。

传感器连续增益单故障矩阵模型为

式中，y(t)∈Rm为传感器正常信号向量；yf(t)∈Rm为考虑传感器单故障的信号向量；Fs为传感器单故障矩阵，其形式为

式中，fsi为第i条传感器通道上的增益值，且满足

考虑传感器故障的信号向量yf(t)就可以表示为

这种故障形式称为传感器任意单一故障，具有2 个特点：①在m个传感器通道中，任意一个传感器都可能出现故障；②最多只有一个传感器出现故障。

2 故障处理（凸组合法）

考虑传感器单故障，设

显然，集合θs有2m个元素。

设集合

这样描述的传感器单故障矩阵Fs∈Λs，存在正整数i使得Fs=Fsi。显然，Fsi是在θsi1和θsi2为顶点构成的凸集合中。因此，总可以找到αsij≥0,j=1、2，满足=1，使得

以上描述的传感器单故障矩阵集合可以推广到任意传感器多故障矩阵集合中。因此，在实际应用中，传感器从单一故障到多故障均可采用此方法设计可靠控制器，很大程度上减小了只从多故障角度设计控制器的保守性。

引理1：已知S是n×n正定矩阵，B是n×m列满秩矩阵（m≤n），则矩阵BTSB可逆。

证明：若BTSB不可逆，则BTSBX=0 有非零解。

∴XTBTSBX=0有非零解。

∴(BX)TS(BX)=0有非零解。

∵S是n×n正定矩阵。

∴BX=0有非零解。

∴BTBX=0有非零解。

又∵B是列满秩矩阵。

∴BTB为可逆矩阵。

∴BTBX=0只有零解，矛盾。

∴BTSB可逆。

引理2[15]：矩阵A的所有特征值均在半径为r，圆心为(-q,0)的圆盘中的充分必要条件是存在正定矩阵P，使得

引理3[15]（有界实引理）：设常数γ＞0，则系统是渐近稳定的且＜γ的充分必要条件是存在一个正定矩阵P＞0，满足

3 主要结论

3.1 基于圆盘约束的线性系统静态输出反馈H∞控制器设计

对线性系统（1）引入静态输出反馈控制器：

由此得到闭环系统：

定理1：对于闭环系统（3），存在静态输出反馈H∞控制器（2），使所有特征值均在半径为r，圆心为(-q,0)的圆盘中的充分必要条件是对于正定矩阵P和矩阵U,W使得下列线性矩阵不等式组（LMIs）：

存在可行解。若可行解为(P,U)，则相应的静态输出反馈控制器增益矩阵为K=W-1U，W可以由PB2=B2W求得。

证明：由引理2可知，存在正定矩阵P使闭环系统（3）的极点配置在特定的圆盘区域内必须满足

根据有界实引理，闭环系统（3）是渐近稳定的且满足H∞性能指标‖Gωy∞‖＜γ的充分必要条件是存在正定矩阵P，使得

令PB2=B2W，WK=U，则式（6）和（7）分别为

下证W可逆：

由B2为列满秩矩阵，对等式PB2=B2W两边左乘以B2T得B2TPB2=B2TB2W，则W=(B2TB2)-1B2TPB2，即证B2TPB2可逆。

由引理1可知B2TPB2可逆，故W可逆。

对于给定的γ＞0，满足

综上，定理得证。

3.2 基于圆盘约束的线性系统传感器故障的静态输出反馈可靠H∞控制器设计

当线性系统发生传感器故障，对系统（1）引入静态输出反馈控制器：

由此得到闭环系统：

定理2：对于闭环系统（9），存在静态输出反馈可靠H∞控制器（8），使所有特征值均在半径为r，圆心为(-q,0)的圆盘中的充分必要条件是对于正定矩阵P和矩阵U，W使得下列线性矩阵不等式组（LMIs）：

存在可行解。如果可行解为(P,U)，则相应的静态输出反馈控制器矩阵增益K=W-1U，W可以由PB2=B2W求得。

证明：由引理2可知，存在正定矩阵P使闭环系统（9）的极点配置在指定的圆盘区域内必须满足

根据有界实引理，闭环系统（10）是渐近稳定的且满足H∞性能指标‖Gωy‖∞＜γ的充分必要条件是存在对称正定矩阵P，使得

令PB2=B2W，WK=U，则式（12）和（13）可化为式（14）和（15）：

存在正整数i使得Fs=Fsi，存在αsij≥0,j=1、2，满足=1，使得Fsi=所以式（14）和（15）可分别表示为

故有

下证W可逆：（与定理1相同，故省略）

对于给定的γ＞0，满足

综上，定理得证。

4 数值仿真

本文首先考虑正常的线性系统在无故障的情况下，通过设计静态输出反馈H∞控制器使闭环系统保持稳定并使极点配置在特定的圆盘区域内；再考虑正常的线性系统发生传感器连续增益单故障，系统部分极点跳出圆盘区域，系统不能达到给定的H∞性能指标；最后通过设计可靠H∞控制器，使极点全部配置在特定的圆盘区域内，使系统达到给定的H∞性能指标并保持稳定。

考虑系统：

开环系统极点为λ={0.7321,-2.0000,-2.7321}，可知系统不稳定，其中极点0.7321 不在半径为r=4，中心为(5,0)的圆盘中。

先考虑系统在无故障情况下，把系统极点配置在半径为r=4，中心为(-5,0)的圆盘中，令式（4）中γ=1.3，设计一个满足H∞性能指标的静态输出反馈控制器，其中增益矩阵为K=此时系统传递函数范数为1.058 9，如图1所示。

图1 极点配置在圆盘区域内

再考虑传感器发生单故障F=diag(fs1,fs2)，其中0.67 ≤fs1≤1.3,0.3 ≤fs2≤1.6，在原有反馈控制器的作用下，闭环系统部分极点跳出圆盘区域，如图2所示，不再达到给定的H∞性能指标，传递函数范数图像如图3所示。

在F=diag(fs1,fs2)，0.67 ≤fs1≤1.3,0.3 ≤fs2≤1.6的单故障前提下，重新设计带有H∞性能指标的静态输出反馈可靠控制器。带有可靠H∞控制器的系统，实现了期望的闭环极点，如图4所示；且满足H∞性能指标，传递函数范数图像如图5所示。

图2 部分极点跳出圆盘区域

图3 传递函数H∞范数随增益变化曲线

图4 带有可靠H∞控制器的圆盘区域

图5 传递函数H∞范数随增益变化曲线

5 结论

针对线性系统，本文研究了具有传感器连续增益单故障的情况下，采用线性矩阵不等式（LMI）的处理方法，结合对连续增益故障模型凸组合处理，给出了闭环系统在圆盘约束下的可靠H∞控制器的设计方案。数值仿真结果说明带有可靠H∞控制器的系统，分别在第一通道和第二通道出现传感器故障时，闭环系统的全部极点均在圆盘区域内，所有传递函数H∞范数均小于给定的γ=1.3。这说明在在受到一定外界影响时，可靠H∞控制器优于正常H∞控制器。