核心素养为目标导向 思想方法为实施载体——高三平面解析几何复习有效性的思考与实践

徐建新

(福建省德化第一中学 362500)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．”在稳步推进的高考改革中，有关部门特别强调了在考试评价中落实立德树人根本任务，提出突出学科核心素养、突出数学学科特色、着重考查学生理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力等方面的要求．在高三复习中，只有把这些要求落实于课堂，才能精准有效地做好复习教学．本文以笔者在解析几何复习中的一些做法为例，针对以数学学科核心素养为目标导向，以数学思想方法为载体，培养学生的理性思维能力和分析问题解决问题的能力，谈点想法，请同行不吝指教．

1 引导学生全面理解坐标法

解析几何是用代数方法研究几何问题，是研究几何问题的“方法论”．坐标法是用代数方法解决几何问题的“工具”，其要点是“先用几何眼光观察，再用坐标法解决”．为提升学生对“坐标法”的认识水平，笔者选用下列例题引导学生展开思考.

例1已知△ABC为等腰直角三角形，CA=CB，AB=4，D为AB中点，动点P满足条件：PD2=PA·PB，求CP的最小值．

师：这是一个什么问题？你打算用什么方法解决？

生1：用建系的办法来处理．

师：为什么要用建系的办法？

生1没能回答这个问题．因为各种资料中的解析几何题都不需要建系，所以学生对用坐标法解决问题的完整过程比较朦胧，这正是解析几何高考复习需要认真对待的问题．

师：本题是纯几何问题，自然先从平面几何角度分析问题．从哪个角度观察，如何分析图形的特征呢？一般而言，我们从构成平面图形的要素，即点与线入手，分析它们之间的位置关系与数量关系．

△ABC涉及的几何元素及其关系是清晰的，但点P的位置却是变化的，它与A，B，C三点的关系如何呢？不难发现，点P的变化，受几何条件PD2=PA·PB的制约．在此条件下，点P的位置确定吗？如果不确定，那么点P将如何变化，点P的运动轨迹是什么？这正是本题的关键所在．

为表达点P运动变化的轨迹、以及点P与A，B，C，D的关系，单纯依赖平面几何知识不易实现．在我们学过的知识中，向量、三角函数、解析几何等知识与方法都可以用来处理几何问题．本题涉及动点轨迹、动点与多个定点的联动关系，这正是坐标法可以发挥威力的地方，所以我们用解析几何的方法来解决．下面请生1介绍他的建系方法，以及对建系的思考．

生1：根据条件CA⊥CB，因此以C为原点，CA，CB分别为x轴，y轴建立直角坐标系．

师：好．请生1板书解答过程，同学们按此方法建系求解．

图1

设P(x，y)，则由PD2=PA·PB知

两边平方得

展开并化简，得

所以CP2=x2+y2=(x+y)2-2xy

CP2取最小值4．

所以，CP的最小值为2．

师：这是按照生1建系方式的解答过程(实际上生1没有完成解答过程，是笔者帮助补充完成的)．我们发现，运算过程比较复杂，而且很多同学想不到将xy作为整体视为一个变量，导致半途而废．为什么会如此复杂呢？是不是这种建系方法没有充分体现这个问题的几何特征？有没有其他建系的方法呢？

生2：根据等腰直角三角形的对称性，以D为原点，AB为x轴建立直角坐标系．

师：好．请生2板书解答过程，同学们按生2的建系方法独立解答．

解：如图2，以D为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则D(0，0)，A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)．

图2

设P(x，y)，由PD2=PA·PB，知

两边平方得

(x2+y2)2=(x2+y2+4+4x)(x2+y2+4-4x)，

化简得x2-y2=2，

所以CP2=x2+(y-2)2=y2+2+y2-4y+4

=2(y-1)2+4．

所以，CP的最小值为2．

师：比较两种解法，大家有什么想说的？

生：第二种方法简单多了．

师：请同学们思考一下，使第二种方法的运算相对简单的原因是什么？

经过讨论，大家认为，第二种方法充分利用了等腰直角三角形的对称性，使A，B，C，D的坐标简单了，从而简化了CP的表达式．

教学思考等腰直角三角形是本题的“主图”，学生想到的上述两种建系方法其实都很自然，但不同的建系方法对解答过程的繁简程度却产生了很大影响，这给学生以强烈刺激．实际上，选用第1种方法建系的学生较多，他们并没有考虑如何建系才能简化CP的表达式，仅仅根据条件的“方便”就做出了选择．此题的解答和反思使学生认识到，认真观察图形的特征，分析清楚图形中相关元素及其基本关系，再根据这些特征以及解决问题的需要选择坐标系，这是用坐标法解决问题的关键点之一．

2 强化数形结合地分析条件，优化解题过程

在分析几何问题(图形)的基础上探索解决问题的思路，是解析几何的“基本之道”．掌握这一基本之道，是学生学会数形结合地解决问题的具体表现，也是直观想象、逻辑推理和数学运算等素养的发展契机．因此，解析几何复习中，要采取切实有效的措施，强化学生运用数形结合观点分析几何条件，探索和优化解题思路，提升学生对数形结合思想方法的认知水平与应用能力．

例1要求学生根据图形的几何特征和解题需要选择建系，那么在确定的坐标系下解决问题是不是就不需要顾及图形的几何特征了呢？为此，笔者选择下列高考题，要求学生先作出图形，认真分析题意，思考解题思路并给出解答．

在学生解答过程中，通过巡视课堂，发现了有代表性的四种不同解法．笔者让这些学生展示自己的解法，并引导学生对如何利用问题中的几何条件以简化解题展开进一步讨论．

生3：由于A，B是直线F1B与两条渐近线的交点，因此设直线F1B方程为y=k(x+c)，与双曲线渐近线方程联立得A，B坐标．再利用A为F1B中点，F1B⊥F2B，列关系式求解．

如图3，设直线F1B方程为y=k(x+c),

图3

由A为F1B中点得

③

①式化简得，b=3ak；②式化简得b=3ak；③式化简得，bk2=b-2ak．

联立b=3ak，bk2=b-2ak，消k得b2=3a2，进而可得e=2．

师：请同学们仔细观察一下解题过程，你能发现其中的问题及其原因吗？如何改进？

学生发现，①、②两式化简后的结果相同，但解释不清原因．

师：运用数形结合的观点，分析①、②式的几何背景．由点A坐标的形成过程可知它在直线F1B上(A点坐标由直线F1B方程与渐近线方程联立而得)，等式xF1+xB=2xA，即①式的几何背景(元素间的位置关系)是A为线段F1B的中点．同理，②式的几何背景也是A为线段F1B的中点．两者的几何背景相同，都是点A，F1，B位置关系的表示．因此①式、②式是等价的，化简后的结果自然相同，选择其中一个化简即可．形式上看②式比①式简单，可选择②式化简．

教学思考实际上，有不少学生都如生3一样同时列出①式、②式，不仅在解题过程中做了无用功导致解题效果差，而且有的学生因为无法解释化简后结果相同而造成困惑，从而影响后续的解答．有些学生完成了解答，但以“得出正确答案”为满足，不注意解题后的回顾与反思，说明解题的盲目性较大，学习习惯不好，这也是学习效率不高、解题能力提高不快的重要原因．这里笔者抓住学生解题过程中出现的问题，引导学生对代数表达式的几何意义进行思考，通过“复盘”解题思路，找到产生问题的原因，形成优化解题思路的策略．

由△F1BF2为直角三角形得

如图3，不妨设点B在第一象限，B(x，y),

生5：由OA∥F2B与F1A⊥OA可得直线BF2、F1A的斜率和方程，将这两条直线的方程与渐近线方程联立可得A、B的坐标，再由A为F1B中点列式求解．

师：这两种解法简洁明了．注意生5的解法中只求出A、B的横坐标，而无需求出纵坐标．上述三种不同的解法中,都涉及到求点B的坐标，请大家分析一下它们的共性与差异．

为了清晰地说明求点B坐标的不同方法，笔者引导学生思考每种方法产生的几何背景，使学生感知形与数之间的联系，体会图形关系与数量关系之间的联系．通过独立思考并进行小组讨论，学生逐渐明确了如下问题：

三种方法的共同之处都是从分析图形的基本结构入手，得到点B的位置特征，再根据坐标法思想，将其位置特征转化为点B横、纵坐标间的制约关系(即横、纵坐标间满足的代数关系式)，最后通过运算得到解答．差异在于利用了点B位置特征的不同表征，因而得到的方程组也不同．

从思维过程看，三种解法都运用了数形结合思想，建立形与数之间的联系，以及借助几何直观获取图形特征和数量关系的信息，都经历了从点B的位置特征到点B的横、纵坐标满足的数量关系的过程，即从“形”到“数”的过程．每一种求点B坐标的方法都有其特定的几何背景，都是源于对图形特征信息的认识与加工，都是以点B的位置特征为依据，是数形结合的产物．导致解法差异的原因在于对图形特征信息的认识、加工与转化方式的不同，对点B的位置特征理解的不同．

如图3，由条件知，OA为△F1BF2的中位线，OA∥F2B，∠BF2O=∠AOF1=∠BOF2．

在直角三角形△F1BF2中，|OB|=|OF2|，∠BF2O=∠OBF2．

师：请大家仔细分析一下这一解法，你能说明生6的解法为什么会那么简捷吗？

教学思考在本题的解答中，我们运用数形结合思想将向量关系表达的条件转化为图形基本元素间的关系．结合平面几何知识得出图形的几何特征，再紧紧围绕图形的几何特征建立双曲线基本量a，b，c间的关系．我们看到，对图形几何特征认识的差异和几何性质使用的差异，直接影响着解题过程的简捷程度．可见，把握几何图形的特征、充分运用几何图形的性质、重视平面几何基本知识的运用是解答解析几何问题的基础；运用数形结合思想将问题中的几何关系转化为数量关系、以及对问题中的代数关系赋予一定几何意义或给出几何解释，从而有效地建立数与形之间的联系是解决解析几何问题的“灵魂”．对于学生在解析几何中出现的问题，老师们的一致看法是“学生的运算技能不过关”．殊不知，解析几何中的运算是带有几何特征的“算”，如果仅仅从代数运算角度分析原因，那么就没有准确地反映解析几何的这一特点，教学效果也只能是事倍功半．

结束语

坐标法是数形结合思想的完美体现．面临具体问题，用数形结合的眼光去看，从几何、代数的不同角度去分析，就使我们对问题的条件、结论以及它们的联系和转化方式有了多角度的理解，从而也就可以使条件、结论得到不同形式的表达，形成多样化的解题方法，使得几何直观、代数推理综合地发挥作用，这就是解析几何中解决问题的方法总是不唯一，且有方法的难易、代数运算的繁简之分的原因．事实上，用坐标法解决问题的过程中，引导学生数形结合地看问题，探寻简洁的解题方法并深入思考其原因，就是在解析几何中发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的关键举措．