“同心协力”策略研究

平安 邹莲莲 平静

摘要：本文主要运用空间几何模型和弹性碰撞模型相结合的方式，讨论并给出了不同情形下“同心鼓”的协作策略。在理想状态下，队员可以精确控制用力方向、时机和力度，结合完全弹性碰撞模型，对周期内排球与鼓面的相关物理量进行分析，得出最佳协作策略下的鼓起落高度差和发力时机。考虑现实情形中的队员发力时机和发力力度不能精准操控，因此存在误差导致鼓面会发生转动，从而产生一定的偏转角度。结合转动定律，建立一般鼓面倾斜角度模型。在该模型基础上，通过简易实验得出不同情况下的旋转轴，建立鼓面倾斜角度模型。当鼓面发生倾斜时，根据光的反射定律描述球的跳动轨迹规律，建立倾斜球调整模型，通过调整特定位置的发力时机和发力的大小，使鼓转动至鼓面中心法线与球速所在的平面垂直于地面，并产生0.5度的倾斜角度，以此将球调整为竖直状态弹跳，并结合实际分析了该策略在现实情形中的实施效果。此外，现实中发力时机、发力力度、用力方向难以精确控制，如何使模型更加贴近实际，是本文面临的一大困难。通过对模型进行适当的、合理的假设，最终给出了较为合理的“同心鼓”协作策略。

关键词：空间几何模型;完全弹性碰撞;一般鼓面倾斜角度模型;折射定律;倾斜球调整模型

一、模型的建立与求解

1.球-鼓往复碰撞模型的建立与求解

考虑绳与鼓的固定点在鼓身均匀对称分布，且经调查，市面常见的同心鼓有8环、10环、12环、14环、16环、18环、20环这七种规格，即鼓身固定点的个数为偶数。因此当团队人数多于8人且为偶数时，队员位置的分布最易确定。因此，为使鼓的平稳性更易控制，建议一般协作人数在8-20人并且为偶数。通过以上分析建立了球-鼓往复碰撞模型，用于研究用力大小、人数、绳与水平面的夹角与发力时机和点球高度的关系，从而给出决策策略。

假设参与“同心鼓”团队的人数为n，队员与其对应的绳和固定点在同一直线上，且n条直线交于鼓中心轴线上一点。

排球从鼓面中心上方40cm处竖直落下，队员通过对绳的牵拉，使得鼓在竖直方向运动。排球受恒定的空气阻力f作用，其中c空气阻力系数，ρ为空气密度，s为排球的迎风面积，则有

其中，v0为排球下落时的初始速度，即v0=0m/s，v为排球下落40cm时的速度。迎风面积即为排球在竖直方向的投影面积。

周期碰撞系统，每个周期球鼓将在相同位置发生碰撞，碰撞完成以后保证球最高上升到原位置，此系统保证了在精准控制发力时机和力度的情况下球每次颠起的高度等于40cm，从而保证了球在单位时间的颠球次数最多。

通过对排球和鼓匀加速直线运动过程中的受力分析，列出以下等式：

设排球与鼓相撞所用的时间分别为t1、t2，将该碰撞过程理想化为完全弹性碰撞，则满足动量守恒和能量守恒：

联立以上方程组，可求得鼓起落的高度差和队员发力时机。

2.一般鼓面倾斜角度模型的建立

在现实情形中，团队队员在发力时机和力度上不能精确操控，因存在误差从而鼓面发生一定角度的倾斜。倾斜角度与队员的发力时机和力度与某一特定时刻有关，通过简易实验找到四种不同发力力度情况下的转动轴位置。利用质量平均的刚体转动惯量求解

得转动惯量为0.216和0.202。

利用转动定律和转动过程中角加速度与角度之间的变化关系，建立一般鼓面角度偏转的模型，在该模型中分别表示出因发力时机不同而导致的偏轉角度β1和因发力力度不同产生的偏转角度β2，矢量叠加即可求得在0.1s时鼓面的偏转角度

为了方便分析和求解，建立以鼓面中心为原点的空间直角坐标系，把角速度的方向规定为该角速度在鼓面上投影的方向。将因发力大小不同产生转动的角速度向X0Y面投影，得到其在沿X轴负向上的角速度分量和Y轴上的角速度分量，其中Y轴上的角速度分量为0。

对鼓受力分析可得知，在队员用力大小不等和发力时机不同步处对鼓面所产生的倾斜角度，是与该位置的对位的有关，故在计算倾斜角度时，把关于鼓心对称的两个点当作一个不受外力影响的系统来进行求解，把每个系统都分为三个阶段：第零阶段是两个人都没有开始发力，只提供保持鼓面平行、鼓静止的状态;第一阶段是两人中有一人开始发力，另一人尚未发力的时间段;第二阶段是两人都开始发力。第零阶段可直接转变为第二阶段。最后将所有系统导致的偏转角矢量加和，得到最终的鼓面倾斜角。

3.鼓面倾斜角度模型的建立与求解

在没有对位同时发生相同误差的情况，该系统的任意一个阶段中，不会改变。

则：

4.倾斜球调整的模型建立与求解：

经过计算来确保鼓面倾斜方向与球的倾斜方向在同一平面内，同时利用反射原理中的入射角等于出射角来求出鼓面倾斜的角度为0.5°。定义鼓距离绳水平的位置为0.11m，每个人的正常拉力F为80N。同时假定球的偏转角指向1，2号位置，且与1，2号位置的夹角比为1：2。

某位置提前发力的提前量t和其引起的鼓面偏转

其他位置力度加大后与正常力度的差值△F和其引起的鼓面偏转

则鼓偏转角和鼓偏转方向为tan（12°）

联立上述四式解得t=0.1314s，△F=13.8388N。即某位置提前0.1314s发力，与之相邻两位置发力大小为93.8388N。

5.策略效果分析

当时间提前量与发力力度的改变量在可控制范围内，操作性较强，结果较为理想。考虑在现实情形中，队员无法精确控制发力时机和发力力度，所以可考虑增加绳长以增大发力力度的合理范围，或多次操作调整鼓面倾斜角。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室，理论力学（第八版），北京：高等教育出版社，2016.

[2]马文蔚，周雨青，物理学（第六版），北京：高等教育出版社，2018.