纠缠态判据与高阶张量可分性的充分必要条件

征夏明　张强

摘   要：本文旨在进一步探究多体纯量子态的代数结构和性质，以多元函数可分离变量的充分必要条件为出发点，首先证明了二阶张量和纯态量子态可写成多个低阶张量乘积的充要条件。再利用与矩阵的代数余子式的性质，进而得到一般的关于纯多体量子态是否是纠缠态判别方法，最后证明了该定理的多个等价形式，在实际计算中可视具体情况使用。

关键词：分离变量  代数余子式  张量的秩

中图分类号：O413                                  文献标识码：A                       文章编号：1674-098X（2020）06（b）-0143-04

量子态的纠缠判据一直是量子信息领域中的重要问题，通常采用计算纠缠熵的方式判断，如冯诺依曼熵、瑞利熵等。然而其本质在于多体量子态中的代数结构，无论是分离谱亦或是连续谱量子态，都可以通过分析其代数结构从而得出纠缠性质。

1  二阶张量的可分性

众所周知，一二体量子态可由二阶张量aij完整表示。即在标准正交基|ij>下，任意的量子态ψ=aij|ij>（省略求和符号）。如果是连续谱，则为ψ=∫f（x，y）|xy>dxdy。我们知道一个量子态是直积态当且仅当aij=αiβj，连续谱就是f（x，y）=g（x）h（y），即张量可分离指标或函数可分离变量。文献[1]给出了函数可分离变量的条件。

命题1：若有可微函数1（x），2（y）使f（x，y）=1（x）2（y）对任意（x，y）∈DR2成立。则

对任意（x，y）∈DR2成立。

命题2：若在R2内连续，f（x，y）在D中没有零点且对任意（x，y）∈DR2成立。则存在连续可微的函数使f（x，y）=1（x）2（y）对任意（x，y）∈DR2成立。

能够看出在放宽条件的前提下，可以被视为量子态是直积态的充要条件。那么这个定理是否有相应的分立谱版本？答案是肯定的。

定理1：以下命题等价。

i. 非零张量aij可分离变量;

ii. R（a）=1（张量a的秩等于1）;

iii. 张量方程ai+1，jak，l+1-ai+1，jakl-aijak，l+1+aijakl=ai+1，l+1akj-ai，l+1akj-ai+1，lakj+ailakj                           证明：iii，显然（文献[2]）;

有αi+1βjαkβl+1-αi+1βjαkβl-αi βjαkβl+1+αiβjαkβl=αi+1βl+1αkβj-αiβl+1αkβj-αi+1β1αk βj+αiβlαkβj，观察后发现等式显然成立，iiiii，有必要先说明一下这个方程的来源，我们把命题1和命题2中方程的偏导数看做指标之间的作差，以ai+1，j-aij类比， 再以张量积类比函数的乘积，则得到本定理中的方程。

我们将张量aij写成矩阵形式：

这是一个D×D的矩阵（D是我们研究的量子态所在希尔伯特空间的维数），我们只需写出方程中出现的那些所在行列的项。

将式（1.2）改写得：

能够看出这是行列式之间的关系，只需证明矩阵a的所有二阶子式都等于0，在a不是零矩阵的前提下便可证明它的秩为1。

我们分情况讨论这个问题：

①，这表示了大矩阵a中所有相邻行的二阶子式的关系，同时这也是关于指标l的递推公式。

② j=l时，有。这表示所有相邻列的二阶子式的关系，也是关于指标i的递推公式。

③ i=k且j=l时，易得，这表示任意一个最小的二阶子式（行相邻、列相邻）都等于0。

将代入递推公式①，得所有相邻行的二阶子式都为0。最后只需将所有一个相邻行的二阶子式代入递推公式②，便证明了任意一个二阶子式都等于0， 又因为矩阵a≠0，所以R（a）=1[2]。

2  高阶张量的可分性

对于一般的张量如何处理？方法与二体情况是相似的。但是多体问题的复杂性在于有几个指标是可分的，有几个不可分。下面將从三阶张量的可分性出发，再进一步推广。

引理：以下命题等价

i. 非零三阶张量A可表示为Aijk=αiajk，其中α是矢量， a是二阶张量;

ii. 非零三阶张量A关于指标i和jk之间的广义秩等于1（记作R（i，jk））;

iii. 非零三阶张量A中指标i和j的偏秩与i和k的偏秩都等于1（记作R（i，j）=R（i，k）=0）;

iv. 非零三阶张量A的指标i与j、i与k之间分别满足方程（2）。

Ai+1，j，kAi'，j'+1，k-Ai+1，j，kAi'j'，k-AijkAk，j'+1，k+Aij，kAi'j'k=Ai+1，j'+1，kAi'jk-Ai，j'+1，kAi'jk-Ai+1，j'，kAi'jk+Aij'kAi'jk，即第三个指标不动，对前两个指标代入方程。i与k之间的同理，即保持第二个指标不变。

证明：iii，设指标i，j，k所在空间的维数分别是N1，N2， N3，令l=jN2+k，则k=lmodN2，。这样做的意义是把矩阵a当作一个矢量来处理，这个矢量有N2·N3个分量。从而有Ail=αial=，可知Ail的秩等于1[2]（这就是所谓指标i和jk之间的广义秩）。

iii，显然。

iiii，指标i和j的偏秩是指固定指标k不变，计算出剩下的二阶张量的秩。

固定k，k=k'，此时ajk'是一个矢量，Aijk'=αiajk'，显然二阶张量Aijk'的秩等于1，即指标i和j的偏秩等于1.关于i和k同理。

iiii，利用文献[3]，任意张量有唯一的分解式（Tensor rank decomposition）。

式中r表示张量A的秩，共有r项。也可以将其改写成张量的乘积：

Aijk=ailbjlckl .即三个矩阵同时对指标l缩并，l∈{1，2…，r}。

同样，我们分情况讨论这个问题。

给定k，已知i和j的偏秩等于1，那么有如下可能：①则结论成立;②，得。

由条件知①和②同时成立，那么且。

结论成立。

iiiiv，利用定理1，显然成立。

这个引理很容易推广至n阶张量是否可分为一个矢量和一个n-1阶张量，这里不再赘述。利用此引理，可以得出如下定理。

定理2：以下命题等价。

i. 非零n阶张量A可表示为，其中每个α是矢量;

ii. 非零n阶张量A每一个指标与剩余指标的广义秩等于1。R

iii. 非零n阶张量A中任意两个指标的偏秩都等于1.R（i，j）=1;

iv. 非零n阶张量A中任意两个指标满足方程（2）。

证明：iii， 以i1为例，将看做张量ai2…in，再利用引理。对于其他指标思路相同，结论成立。

iiii， 显然。iiii， 以i1为例， 用引理知i1和i2…in可分，同理可得每一个指标都与其余指标可分，因此张量A只能表示为n个矢量的张量积。

iiiiv， 利用定理1和引理，显然成立。

如果我们不局限于一个张量表示为多个矢量的乘积，而是分成若干低阶张量，则有如下推论。

定理3：以下命题等价。

i. 非零M阶张量A可表示为其中每个a都是张量，且N1+N2+…Nn=M;

ii. 将指标分成n组，，任取其中一组指标，这一组指标中的任意一个与这一组指标之外所有指标的广义秩等于1，∈有

iii.指标分组同上，任意取两组指标，再分别在这两组指标中分别取一个指标，则他们的偏秩等于1，I≠J，R

iv. 指标分组同上，任意取两组指标，再分别在这两组指标中分别取一个指标，它们之间满足方程（2）。

对于一个n阶张量Ai1i2…in，为判断其是否是纠缠态，如何纠缠的，只需多次使用上述定理，方法如下：

I. 依次判断i1与剩余指标是否可分，i2与剩余指标是否可分…in与剩余指标是否可分，共n次。若每个指标都与剩余指标可分意味着张量A是完全直积态。

II. 将i1，i2看做一个整体，判断i1与除了i2外剩下的n1-2个指标是否可分，再判断i2与除了i1外剩下的n1-2个指标是否可分。同样地，一直到取遍n1个指标中的任意两个指标，将可分的排除。

III. 对剩下的指标，任意取3个指标，将其看作一个整体，判断与其余指标的可分性。

IV. 如果n是偶数，需要一直计算到任意n-2个指标与剩余的是否可分;如果是奇数则是。最后整个张量A的可分结构就完全清楚了（如果为了降低计算量，顺序反过来算更合理）。

注意到定理3中的判别条件有3个，对于有限维的情况3种都可以使用，若维数无限但是可数，在已知张量的解析表达式的前提下只能使用最后一种方法。

以上讨论的都是分立谱，连续谱的判别方式与之相似，有如下定理。

定理4：若有可微函数

。则下列方程组成立：

其中i，j∈{1，2，…n}。

对任意RN1+N2+…Nn）成立。N1，N2，…Nn分别是矢量的维数。

定理5：若在内连续，在D中没有零点且方程组

对任意成立。则存在连续可微的函数

使对任意成立。

证明：基本同文献[4]中的定理1、定理2，设N1+N2+…Nn=N，因此可以将定理看作N个一维变量分成n组，组与组之间可以分离变量。从而由命题2、3知只需将方程组中每一组变量内部满足的方程删去即可（例如第一组变量有N1个，内部满足的分离变量偏微分方程不需要考虑）。再将剩下的方程按顺序排列即得证。

定理4和定理5给出了一种符号表示的思路，即将矢量作为指标[5]，因此可以得出定理3的等价形式。

定理3：以下命题等价。

i. 非零M阶张量A可表示为

=式中第一个等号表示以矢量为指标和以所有矢量指标内各个分量看做标量指标是等价的，，其余同理，N1+N2+…Nn=M;

ii. 非零M阶张量A中每一个矢量指标与剩余指标的广义秩等于1，即与的广义秩等于1，其余同理;

iii. 非零M阶张量A中任意两个矢量指标的偏秩都等于1;

iv. 非零M阶张量A关于任意两个矢量指标之间分别满足方程组其中。

3  结语

本文以微分方程的分离变量解法为出发点，得出连续函数分离变量的判据的张量版本，可用于量子态的纠缠判别。同时将此方法推广至多元函数和高阶张量的情形，对量子纠缠态的数学计算和物理理解都有进一步的帮助。

参考文献

[1] Nielsen， M.A. 量子计算与量子信息（10周年版）[M]. 北京： 清华大学出版社，2015.

[2] Aubrun， Guillaume.and Szarek， Stanislaw J. Alice and Bob Meet Banach： The interface of asymptotic geometric analysis and quantum information theory[M]. Providence， Rhode Island ： American Mathematical Society，2017.

[3] David S. When Is an Ordinary Differential Equation Separable？[J]. The American Mathematical Monthly，1985， 92（6）：422-423.

[4] 邵逸民.秩為1矩阵的性质及应用[J].大学数学，2010，26（5）：194-198.

[5] Wikipedia. Tensor Rank Decomposition [EB/OL]（2019-5-7）.https：//en.wikipedia.org/wiki/Tensor_rank_decomposition.

[6] 王明新.函数可分离变量的条件[J].河南大学学报：自然科学版，1988（4）：6-8.

①基金项目：哈尔滨理工大学工程电介质及其应用教育部重点实验室2017年开放课题“双曲超材料声子极化子电磁性质研究”（项目编号：KF20171110）。

作者简介：征夏明（1996，7—），男，汉族，安徽芜湖人，硕士在读，研究方向：强关联电子体系。

通讯作者：张强（1980，8—），男，汉族，黑龙江鸡西人，博士，副教授，研究方向：超材料表面波性质。hsdzq80@126.com。