极坐标系中的三种“点”问题

◇ 山东 张世强

在极坐标系中,我们经常会遇到点与点的三种特殊的位置关系,即同一个点、共线的点、共圆的点这三种“点”的问题.由于极坐标与平面直角坐标之间的差别,在解决这三种“点”的极坐标问题时,经常会由于平面直角坐标知识的负迁移而导致错误,在解答此类问题时一定要加以重视.

1 同一个点

在极坐标系中,一个点的极坐标可以有多种表达形式,即极坐标系中的点与它的极坐标不是一一对应的.

例1“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“两点A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

由ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2可得两点A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)是重合的;而若两点A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合,可得当ρ1＝ρ2 时,θ1＝2kπ＋θ2(k∈Z);当ρ1＝－ρ2时,θ1＝(2k＋1)π＋θ2(k∈Z);所以“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“两点A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的充分不必要条件,故选择A.

点评

在解决同一个点的问题时,一定要注意点的极坐标是不唯一的.

2 共线的点

在极坐标系中,要研究点共线的点问题时,往往可以把点的极坐标转化为平面直角坐标,再结合平面直角坐标中的相关知识来处理问题.

例2在极坐标系中,已知三点试判断A,B,C三点是否在同一条直线上.

解析

方法1由的直角坐标分别为那么所以kAB＝kAC,因此A,B,C三点在同一条直线上.

方法2由于那么

点评

解答此类问题,常用的方法是将极坐标问题转化为平面直角坐标问题,再利用平面直角坐标的相关知识加以求解.

3 共圆的点

在极坐标系中,要判断点是否在相应的圆上,一般把圆的方程与点的坐标都转化为平面直角坐标方程中对应的坐标,再利用相关的知识加以判断.

例3圆M的极坐标方程为判断点是否在M上.

解析

点评

本题可直接根据相应的极坐标方程确定相应的圆心与半径,再巧妙转化为相应的平面直角坐标方程,从而实现顺利求解.