用连续函数的观点看数列——导数在判断数列增减性时的应用

徐德均

(江苏省南通中学,226001)

数列作为特殊的离散型函数,可看成以正整数集N*(或正整数集N*的有限子集{1,2,3,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.数列问题是每年高考数学试题的必考题,且此类问题的难度大、综合性强,多为当年高考数学压轴题,大多考生不能顺利答题或空答,以致得分很低.

本文对两道江苏高考数列压轴题进行分析与点评,旨在说明以导数为研究数列的工具,用函数的观点、方法与思想顺利求解综合性强的数列问题,并借以揭示数列的函数本质属性.

一、用导数求数列的最值项,确定数列基本量的取值范围

(1)当m=1时,n=2,b1(q-2)≤d≤b1q.

评注本题若通过数列的第n+1项与第n项的大小来判断数列的增减性求最值项,其化简、判断的过程繁杂.而通过考察连续函数f(x)，g(x)的导数来确定函数f(x)，g(x)的单调性,得到对应数列的最大项与最小项,具有比较鲜明的导数工具性的应用意识,能极大优化解题过程.

需要注意的是,数列具有增减性时,通项公式对应的连续函数未必具有单调性.如通项公式为an=n2-2.5n+1(n∈N*)的数列{an}是递增数列,最小项为a1=0.5;但对应的函数f(x)=x2-2.5x+1在[1,+∞)不是增函数,最小值为f(1.25)=0.562 5.

二、 用导数求数列的最值项,探求恒成立中的变量的最值

例2(2019年江苏高考题)定义首项为1且公比q为正数的等比数列为“M-数列”.若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m(m∈N*)时,都有ck≤k≤ck+1成立,求m的最大值.

解由数列{cn}是“M-数列”,得c1=1,且数列{cn}是等比数列.不妨设其公比为q(q>0),则对于任意正整数k,当k≤m(m∈N*)时,qk-1≤k≤qk恒成立.

如果m≥6,分别取k=3, 6时,得3≤q3,且q5≤6,从而243=35≤q15≤63=216,这样的q不存在.

因此,所求实数m的最大值为5.

总之,导数是用“变化”的观点动态揭示函数主要性质的方法之一,它是中学阶段数学学习的主要知识点和求解问题的有效工具.数列是离散型的函数,数列的增减性就是数列的显性特征,用导数方法研究数列的增减性,则是用“变化”的观点研究数列的本质.