浅析运用参数分离法突破高考导数压轴题

王瑞林

【摘要】在新课标的改革下，数学在基础学科中的重要性越来越大，高考数学压轴题一直是高考数学的重点。参数分离法在解导数题目时具有重大的作用，当需要求哪个未知数时，就对哪个参数进行分离。在解题的过程中，自变量的分类是解题的关键，只有确定了自变量，才可以进行相应的函数构造，进而再选择相应的方法进行解题。基于此，本文对运用参数分离法突破高考导数压轴题作了系列探讨。

【关键词】导数问题;参数分离;函数解题

在解导数压轴题时，利用参数分离法，很好地节省了再次进行分类讨论的麻烦，使解题步骤简单化，使得题目得到顺利解答。数学是高考中的重点学科，而导数则是数学的压轴题，导数题往往能很好考察学生的应变和解题速度能力。其中涉及的数学知识点较广，主要求解的问题有单调区间、最值以及恒成立的问题。笔者就高考导数压轴题利用参数分离法进行分析，探索一条快速、合理、简单的解题方法。

在求解导数题时，利用参数分离法，就是将导数中的变量分离出来，将其转变为求解最值问题。但导数题中往往不仅只有一个变量，还存在多变量，所以需分类进行讨论。比如例1：广州市2020届高三学生一模理科数学试题中的第21题（2）：

已知函数f（x）=（x-4）ex-3+x2-6x，g（x）=（a-    ）x-1-lnx.

（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f（x）为f（x）的导函数。设函数h（x）=max{f（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）区间上恒成立，求a实数取值范围。

（2）由（1）可知，当x∈[3，+∞）时，

f（x）≥0，因此要使h（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，只需g（x）≥0在区间（0，3）上恒成立即可。因为g（x）≥0   （a-   ）x-1

-lnx≥0.以下给出参数进行分离的解题思路：因为x≥0，所以（a-   ）x-1-lnx≥0在区间（0，3）上恒成立，转化为a≥

+   ，这里就用到分离参数法，把要求的a分离出来，接下来利用构造函数方法令m（x）

+     通过求导求极值方法求得m（x）的极大值    ，则实数a的取值范围为[     ，+∞）。

对于这类双变量的导数题目，解题思路如果去分类讨论就比较繁杂。高中生对数学的知识理解有限，无法在短时间内进行解答，所以多数情况下要采取特殊方法进行解答，如利用不等式的优点，将导数中的参数分离后进行消除，再进行求解。

又如例2：鄭州市2020届高三学生一模理科数学中的第21题：

已知函数f（x）=x-lnx-      .

（I）略;（II）若f（x）+（x+   ）ex-bx≥1恒成立，求实数b的取值范围。在这道题中的第（II）小题，我们可以采用参数分离法进行求解，解题如下：

导数题多半都涉及到单调性的问题，解决导数单调性的问题涉及导函数零点问题进而解决极值问题。零点问题的一种重点难点是隐零点问题，具体我们再来分析一下。2020年普通高等学校招生全国统一考试（猜想卷）理科数学中的第21题：已知函数f（ x ）=2x2e2x+lnx（x﹥0）.

（ I ）略;（ II ）若对任意x∈（0，+∞），e2x-a-     ≥    恒成立，求实数a的取值范围.

第（ II ）小题中，可采用参数分离法进行解题，过程如下：对任意x∈（0，+∞）， e2x-a-     ≥    恒成立，等价a≤

在解答这类题目时，零点设而不求，而根据参数的需要，代入函数再消去即可得出正确的答案。

高考的压轴题已经变成数学高分的一个重要分水岭，加强高中生解决含参数的导数题显得极为重要。就像刚刚过去2020高考数学压轴题就是有关含参数的导数题，命题人主要想考察高中生分类讨论的意识以及能力，通常利用函数作为载体，搭载含参数的导数，将分类讨论的思想充分体现。在解含参数的导数题时，先运用分离参数法将参数与变量进行分离，然后转化为求最值的问题进行讨论，才能把握解题的关键。

参考文献：

[1] 吴统胜. 例谈含参数型函数导数压轴题的一般性解题策略[J].中学数学研究， 2018（4）： 15-20.

[2] 吴统胜，杨豫晖. 例谈构造函数法破解高考函数导数压轴题[J].中学数学研究， 2018.