GPS高程拟合在公路断面测量中的应用

丁莹莹

(山东省国土测绘院，山东 济南 250102)

线状工程具有路线长、路面窄的特点[1]，在施工和竣工测量均需要绘制线路的纵横断面。传统方法[2]采用RTK放样道路中线，水准采集断面各点高程，但在地形复杂地区，水准测量站数增加很多。而全站仪采集断面高程，每次都要对中、整平且量仪器高。轻便型RTK操作简单，在高程测量精度较高，但RTK采用的高程为大地高H，需要将H转换成正常高h，两者之间的差异为高程异常ξ[2-4]。高程异常在地势平坦区域，可以用常量校正。在地势起伏较大区域，各点高程异常难以用常量表示[4-6]，现有的方法[2,4,7-8]有曲线拟合、平面拟合、二次曲面拟合等，不同的拟合方法适用于不同地形。本文结合现有的高程异常拟合方法，针对国道断面测量要求，对沿线条带区域的控制点进行GPS高程转换，为采用RTK数据采集方式代替水准测量进行论证分析。

1 GPS高程拟合方法与精度评定

1.1 平面拟合

平面拟合是指取若干个控制点的高程异常与对应点的空间位置关系拟合成一个平面，具体表达式为

ξi=axi+byi+c

(1)

式中，ξi=Hi-hi；(xi,yi)为各点平面坐标；a、b、c为拟合平面待求参数。

1.2 二次曲面拟合

二次曲面拟合是以曲面形式表示测区控制点高程异常与各点平面位置关系，具体表达式如下

(2)

1.3 多面函数拟合

多面函数拟合主要用多个规则的曲面勾勒出数学模型，在模型下计算各未知点的高程异常，利用RTK所求的大地高计算正常高。该模型下的任意一点高程异常可表示为

(3)

1.4 精度评定

采用内符合精度、外符合精度和模型精度3个指标进行精度比较。把参与模型参数计算的控制点称为转换点，其余点称为检核点。内符合精度指转换点经模型转换后的高程异常与真值残差的标准差。外符合精度指检核点经模型转换得到的高程异常与真值残差的标准差。模型精度指所有点经模型转换得到的高程异常与真值残差的标准差。其基本计算公式为

(4)

式中，i为点数量；Δ为模型计算的高程异常与真值的残差；[ΔΔ]为各点残差的平方和。

2 实例计算

试验段的沿线长41 km、宽10 m，在其两侧布置41个四等水准点，部分水准点坐标数据见表1。其中，模型转换点点号分别为1、6、14、20、28、29、34、37、40、41，共计10个点。其余点作为模型检核点。并选取点号为6、14、20、34、37、39作为多面函数转换方法的核函数中心点。分别运用3种拟合方法计算转换模型系数和各点转换残差。经计算，平面拟合模型参数a、b、c分别为-3.909 3、6.686 6和-611.178 4；二次曲面拟合模型参数A、B、C、D、E、F分别为-0.021 7、0.053 3、-0.003 8、-1.802 3、-5.036 6和-0.090 4；多面函数拟合模型参数k1～k6分别为-0.000 636、-0.000 198 7、-0.000 112、-0.000 036、-0.000 63和-0.001 2。平面拟合的内符合精度为0.106 m、外符合精度为0.107 m，模型精度为0.108 m；二次曲面拟合的内符合精度为0.106 m、外符合精度为0.108 m，模型精度为0.109 m；多面函数拟合的内符合精度为1.514 m、外符合精度为0.705 m，模型精度为0.943 m。

表1 沿线水准点坐标

多面函数法在该条带区域拟合残差变化幅度较大，平面拟合与二次曲面拟合的高程异常残差分布较为平缓，且残差分布在10 cm。同时对比3种拟合方法的模型精度，平面拟合与二次曲面拟合在该区域GPS高程拟合精度一致，但仍不满足实际工程在高程方向5 cm的精度要求。多面函数拟合模型精度0.943 m，远不能满足实际工程需求。为此，选择平面拟合方法通过剔除残差较大的转换点进一步提高GPS高程拟合的精度。

剔除法的原理是根据首选转换点的残差，剔除最大残差点的转换点，然后利用剩余转换点重复平面拟合，计算各转换点的残差，并剔除残差最大的转换点。重复上述步骤，直至残差达到精度要求。根据剔除法原理，表2列出了剔除不同控制点后平面拟合各转换点的残差，表3列出了不同编号方案的内符合精度、外符合精度和模型精度。

表2 剔除法转换点平面拟合残差 m

表3 剔除法不同方案的拟合精度 m

由表2与表3可知，不断剔除残差最大的转换点可以有效提高平面拟合的内符合精度，但外符合精度与模型精度在剔除一定的转换点后，其精度改善不明显。提出分区平面拟合方法，在1～27号G109路线采用编号5的方案实现GPS高程拟合，在27～40号G109路线采用编号2的方案实现GPS高程拟合，最终检核点外符合精度为2.3 cm，最小值为-4.8 cm，最大值为4.3 cm，均值为-1.5 cm。

3 结 语

本文对比了3种拟合在条带状区域GPS高程转换的适用性，平面拟合与二次曲面拟合更适用于条带状区域的GPS高程拟合，并进一步研究了转换点的选择对平面拟合精度的影响。剔除残差较大的转换点可以不断提高GPS高程拟合的内符合精度，但外符合精度与模型精度改善不大。最终利用分区拟合的方法结合不同转换点选择方案，使得GPS高程外符合精度达到3 cm，从而满足实际工程在高程方向5 cm精度要求。