1+1=2到底教会了学生什么？

娄力云

【摘要】1+1=2，在人们眼中无疑是一个最简单的数学问题。当提问到1+1=？时，所有学生都能脱口而出得数是2。可是，学生真的知道1+1，为什么结果是2吗？又是否明白，为什么，要用加法？本文着眼于最简单的数学问题，着重研究数学中数与算式、算式与数量之间的关系，对日常教学中的加法教学提出思考，分析小学加法算理研究对于加法教学的重要性。教师只有深入了解加法算理，处理好算理和算法之间的关系，才能站在学生的高度去教学，真正解决学生遇到的问题，发展学生的数学计算能力。

【关键词】小学加法 算理教学 数学算法

一、什么是1+1=2

提到“1+1=2”这个算式，无人不知，无人不晓，刚入学的小学生都能脱口而出这道算式的答案。一年级数学教材里，也涉及了简单的加法算式。我们在日常教學中往往会发现，学生的口算能力并不是在课堂上得到提高，而是在“计算能手” “口算册”里得到提高。学生通过大量的计算练习，使得自己的口算做得又对又快，然后走进一个误区，就是“我会了”。笔者不禁想问，学生真的会了吗？他们学会的到底是什么？

数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，因为生活的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。“数”起源于远古时代，为了维持生活，人们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获;带回的食物有时富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，人类开始了解有与无、多与少的差别，进而知道了一和多的区别，然后又有了从多到二、三等单个数目概念的形成。

“1+1=2”，就是一个苹果加上另一个苹果，等于两个苹果;就是一朵花加上另一朵花等于两朵花;一件衣服加上另一件衣服等于两件衣服。推广之，就是一个物体，加上另一个物体，等于两个这样的物体。“1+1=2”，它是一道算式，但又不仅仅是一道算式，它是建立在数量上，由于数量发生变化之后的数量与数量之间的变化关系式。

二、加法究竟应该怎么教

1.算式背后的数学含义

在苏教版数学一年级上册“10以内的加法和减法”中，有这样的一道例题，如图1。

教学3+2=5。在课前，笔者进行了学情研究。笔者教学的两个班，每个学生都知道3+2=5。这就表明，这道数学算式的算法，学生都掌握了。笔者又了解了一下学生是怎么知道的。不少学生说，这道题家长教过。有一个学生是这样告诉笔者的：“娄老师，3加上2，本来就是5呀，不是5是几呢？”在了解学情的过程中，笔者发现计算方法对于学生来说并不是一个难点。对于学生来说真正没有掌握到的，恰恰是为什么这里要用3加2。图1中，左边有三个学生在浇花，用3表示，右边有两个学生，用2表示。因为这两个学生是另外过来的，所以要将之前的3个人和后来的2个人合起来，所以用加法。

基于上面的分析，那么当教师在教学“3+2”时，就应该有所侧重。看似这道题是在教学算式，但在进行了学情了解之后，教学的重点应该放在为什么用加法计算。因为是求合起来一共有几人，所以用加法计算。了解到这样的数学本质之后，学生才能对其进行推广，从而明白，当求一共有多少时，要用加法计算。用原有的数量加上之后的数量，得到的结果就是变化之后的总数量。

2.加法算式算理理解对于加法计算的帮助

在教学当中，教师经常会遇见一种情况，就是家长在与教师交流时，总是会抱怨孩子在做10以内加减法计算时，总是会错那么几题，不知道该怎么办。在前文中提到，学生在做计算练习时，通常是以刷题为主，运用到的都是10以内加减法的算法而非算理。

笔者在班级中选择了4个学生，做了两组对比分析，每组两人。将A组学生聚集在一起，针对练习册上的错题“4+5”，套上实际情景，结合情境给学生分析了错题的算理，并让学生以两人一组的形式互相把“4+5”这道算式背后的数量关系说给对方听。而对B组的两位同学没有做过多干预，在纠错时仅仅让他们靠记忆力去想，4+5究竟等于几。每天笔者都选取了一道10以内的加法题进行了对照试验。两周后，A组的两位同学在计算中的错误明显减少。说明当学生加强了算理的理解时，其数学计算能力也随之得到了提高。

三、小学数学加法算理研究对数学学习的重要性

1.什么是算理

何为算理？顾名思义，算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的道理。如计算3+2时，就是根据数的组成进行演算的：把3个一和2个一相加得5个一，5个一就是5，这就是算理。

2.算理与算法的关系

当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则，这就是算法。从上面的分析可以看出算理与算法之间的关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法;算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度;算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的。

3.如何处理算法和算理之间的关系

（1）引导研究，理解算理

学生只有真正理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教师要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。

（2）及时纠错，巩固练习

教师要善于发现在计算上有障碍的学生，及时对其进行纠错。如果学生对加法算式的算理理解不到位，教师应进行及时的讲解，并让学生内化算理，用自己的语言，配合实际情境去分析，最终进行抽象理解，运用在平时的计算当中。

（3）内化算理，归纳方法

算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。学生在理解、内化算理的基础上进行归纳，归纳出加法计算的一般方法，这才是我们认识算理的最终意义。

这样的教学模式以思维为主线、以算理为先导、以创造为契机，学生不但理解了算理，而且创造出了简便的计算方法，并发现计算的规律，归纳出计算的法则，实现了算理与算法的统一。