基于马尔科夫链的棉花价格波动预测

孙磊 袁欣晨

摘要：本文根据棉花价格波动趋势分析历史数据，并利用马尔科夫链建立数学模型，来预测2020年棉花的月度和日度价格区间。结果表明：在正常情况下，用马尔科夫链预测的棉花价格区间基本符合实际市场数据变动，且波动较小的短期棉花价格指数变化更适合运用马尔科夫链来预测。

关键词：棉花价格;马尔科夫链;预测

一、棉花价格预测的意义

纺织业为我国的国民经济发展提供了强大的动力，棉花作为重要的纺织原料，成为制约行业发展的关键因素，其采购成本占用大量資金，棉花价格的波动也影响棉纺织产品的价格和利润空间。棉纺织企业很关注棉花价格，如果能有效预测出棉花的价格区间，可以助力有关纺织企业作出科学的市场判断和决策，为企业生产作科学指导。因此，针对国内棉花价格预测的重要性也不言而喻，既可以控制产能，又可以进行成本管控，规避风险。

二、马尔科夫链模型的理论基础

1.马尔科夫链的定义

俄国数学家Markov最早提出马尔科夫性的概念[1]，他提出在设定一定的条件下，系统或者随机过程依赖于现有的状态，未来状态的发展趋势只跟现有的状态有关，与之前的情况无关联，这样的特性被称为马尔科夫性。随机过程中具有这样的性质被称为马尔科夫过程，此过程具有3个典型的特点，分别是离散性、随机性和无后效性，利用概率对随机过程中时间预测的这种方法贯穿于马尔科夫链研究过程。

2.马尔科夫链的过程

马尔科夫链是一个随机过程，设定一组{Xn，n=0，1，2，…}，这就是一组随机变量，Xn是能够任意取的一个数值，这被称为状态。在这样的条件下，这组随机变量{Xn，n=0，l，2，…}的状态转变到另一种状态，变化的原因与之前的状态无关，只与现在的状态相关联，每一个数值的变化只与前一个数值有关，这样的一个变化过程被称为马尔科夫过程[2]。马尔科夫链中有一个随机概率矩阵P，一组概率向量：X0，X1，X2，…与P相关联，得出X1=PX0，X2=PX1，X3=PX2，…因此可以用一阶差分方程来表示马尔科夫链：

3.齐次马尔科夫链、转移概率

马尔科夫链在时间和状态上都是离散的性质[3]。齐次马尔科夫链过程简单概述为：设定一个马尔科夫链在u这个时间点上所处的状态为i，变化到u+t这个时间点处于的状态i所关联的转移矩阵，与一开始的时间点u没有关联。

设所处的状态i转移到状态j这一步的转移矩阵称为Pij，则Pij=P{Xn+1=j|Xn=i}，i，j=0，1，2，…，依据线性代数理论，其转移概率矩阵P：

4.马氏性检验

在正常状态下，预测事物变化发展的状态，要依靠现有的状态和过去的状态，来预测未来的一个发展方向。大多数预测的方法多是依据这两种状态，比如区间估计、时间序列、方差分析等这些预测方法，都是需要掌握一定时间段内的现在和过去的状态，收集这两种状态所发生的数据资料，以此为基础利用数学模型来对未来的发展趋势作预测。但是马尔科夫预测法只需要掌握现有的情况，不需要掌握过去的情况，就可以预测未来的情况，这种无后效性的特征被称为马尔科夫性。马尔科夫性这一典型特征能够弥补其他预测方法的缺陷，一些无法解决的问题得以解决，在运用和理论上都具有其优势。

运用马尔科夫链模型分析预测实际问题，首要的就是检验随机变量是否具有“马氏性”。当前大部分研究工作者在运用此模型解决实际问题的时候，可能忽略了要验证是否具有“马氏性”，对于分析问题的严谨性来说，这是不客观的，得出的结论也是不科学的。

5.马尔科夫链模型进行价格预测基本步骤

预测过程如下：

（1）基于有序聚类法，可以将历史变量分隔成n 个状态空间，可用数字表示;

（2）记录状态转移频数，得到状态转移频数矩阵Fij和状态转移概率矩阵Pij;

（3）列出边际概率，计算统计量x2，进行显著性检验，若显著，则符合马氏性;

（4）把初始状态向量带入状态转移矩阵计算得到预测状态，即预测价格所在区间;

（5）预测价格区间和实际价格对比分析，计算相对、绝对误差，预测效果说明。

三、棉花价格预测

1.数据选取与采集

本文将对在中国棉花协会网上搜集到的数据进行分析，利用马尔科夫链建模预测2020年的棉花价格走势。根据研究内容共分为2个时间序列。时间序列1用于国内棉花价格波动转移概率计算，选取选取2017年～2019年的国内 CC Index 3128B棉花月度价格指数增长率（单位：元/吨，下同），共 36 组数据;时间序列2用于国内棉花日度价格转移概率计算，选取2019年 12 月～2020年1月中上旬的国内 CC Index 3128B（单位：元/吨，下同）棉花当日价格指数，如表2所示共31组数据。

2.基于马尔科夫链的棉花月度价格波动状态预测

（1）建立棉花月度价格波动状态转移矩阵

对棉花月度价格增长率进行有序聚类法分析处理（见表3），可将32组数据分为[-10%，-1%）、[-1%，0%）、[0%，1%）、[1%，5%）4个状态空间，用数字“1”“2”“3”“4”表示这4种状态。

运用马尔科夫链来预测棉花价格波动的前提是进行马氏检验，检验随机变量序列是否符合马尔科夫链的性质，符合后才能运用马尔可夫链建立数学模型分析和解决实际问题。按照公式得出棉花月度价格指数增长率的状态转移概率矩阵，令Pij为第i状态转移至1状态的概率，求出状态转移频数矩阵和状态转移概率矩阵：

给定显著性水平α=0.05，查表可得分位点x2α（（m-1）2）=x2α（9）=16.919。由于x2=20.5858>x2α（（m-1）2），故根据定理 2 知2017年～2019年月度棉花价格指数序列满足马氏性。

2020年1月增长率初始状态向量为（0，0，1，0），根据公式（3） ，带入状态转移概率矩阵计算得到2020年1～6月度棉花价格走势预测结果，见表7。

表6 2020年1月～2月棉花价格波动预测

与实际波动对比结果

单位：元/吨

月份实际价格 预测状态实际状态预测概率绝对误差相对误差

1 13827[0%，1%） 4.87% 45.45% 673 4.37%

2 13418[0%，1%） -2.96% 33.99% -409 3.46%

表7 2020年1月～8月度棉花价格波动预测结果表

时间 预测状态预测状态

1 2 3 4

2020.1[0%，1%） 27.27% 18.18% 45.45% 9.09%

2020.2[0%，1%） 29.16% 23.42% 33.99% 13.43%

2020.3[0%，1%） 28.83% 25.19% 31.78% 14.21%

2020.4[0%，1%） 28.64% 25.62% 31.45% 14.29%

2020.5[0%，1%） 28.58% 25.71% 31.42% 14.29%

2020.6[0%，1%） 28.57% 25.71% 31.43% 14.29%

（2）棉花价格波动预测结果分析

棉花价格波动预测结果表明，2020年1月～8月棉花价格指数的增长率都以大概率落在[0%，1%）区间内，棉花价格波动长期趋于稳定，呈缓慢上升态势，实际情况也表明棉花价格指数缓慢回升，棉花2020年2月价格13418元/吨较2019年12月价格13154元/吨，2个月总体上升2%，符合预测结果。由此表明，2020年棉花价格将缓慢地增长，长期看来会以每月[0%，1%）的速率上升，预测的结果有参考意义。

3.基于马尔科夫链的棉花每日价格预测

（1）建立棉花日度价格状态转移矩阵

对棉花日度价格进行有序聚类法分析处理（见表8），可将31组数据分为[Min，13100）、[13100，13400）、[15000，16000）、[16000，Max）4个状态空间，用数字“1”“2”“3”“4”表示这4种状态。

给定显著性水平α=0.05，查表可得分位点χx2α（（m-1）2）=x2α（9）=16.919。由于x2=65.7918>x2α（（m-1）2），故根据定理 2 知2017年～2019年月度棉花价格指数序列满足马氏性。

2020年1月15日棉花当日价格为13949元，处于第四区间[16000，Maxprice），带入初始状态向量（0，0，0，1），根据公式（2-4） 状态转移概率矩阵Pij计算得到对未来8日棉花价格的走势预测，预测结果如表11所示。

（2）棉花日度价格预测结果分析

结果表明（见表11），预测的棉花价格处于[13700，max）区间，与实际情况基本相符，预测值绝对误差较小，相对误差也均小于0.5%。说明马尔科夫链对于日度价格的预测基本准确，从价格指数波动范围来分析，棉花月度价格指数波动大，棉花日度价格指数波动比较平稳，结果表明波动较小的短期棉花价格指数变化更适合运用马尔科夫链来预测。

四、结论

利用马尔科夫链建模分析2020年棉花价格指数走势情况，结果表明用马尔科夫链预测受历史数据影响较大，波动较小的短期棉花价格指数变化更适合运用马尔科夫链来预测。预测的价格在正常情况下是比较平稳的，然而棉花这种期货价格存在太多不确定因素，受人工成本、自然灾害、相关政策影响较大，也受国际事件影响，例如：2019年6月，由于中美贸易战，导致棉花价格大幅下降，2020年1月，受疫情影响大量生产口罩也使棉花价格有所回升。

参考文献：

[1]金峻炎，陈进.加权马氏链在房地产投资回收期预测中的应用[J].湖南科技大学学报（自然科学版），2010，25（2）：63～66.

[2]茹正亮，杨芝艳，朱文刚，等.加权马尔科夫AR-GARCH-GED模型在降水量中的预测[J].系统工程，2013，31（12）：98～102.

[3]王增民，王開珏.基于灰色加权马尔可夫链的移动通信市场预测[ J].数学的实践与认识，2012，42（22）：8～15.

作者简介：1.孙磊，供职于南通市农机化技术推广中心，硕士。

2.袁欣晨，苏州大学硕士研究生;研究方向：纺织材料与经济。