二重积分的计算方法研究

摘要：在二重积分的计算当中，根据积分区域的图形特点，和所给被积函数，选择合适的坐标系和积分次序，把重积分转化为二次积分;本文列举了直角坐标系和极坐标系下二重积分计算的案例，总结计算步骤和计算过程中需要注意的技巧.

关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标系

一、直角坐标系下二重积分的计算

在直角坐标系中，积分区域主要分为型和型，针对一道计算题，画出积分区域，结合积分区域的图形特点，合理选择两种类型中的一种去计算二重积分，有的积分区域是两种类型都适用，有的只适用其中一种，所以，在计算二重积分之前，观察积分区域的特点，给积分区域定型，这是非常关键的一个步骤，直接关系到能否快速高效地算出积分结果。

二、极坐标系下二重积分的计算

当积分区域像一块圆饼或圆饼的某一部分，即积分区域含有的项，或者被积函数含有的项时，用直角坐标不太容易计算出来，这个时候可以考虑利用极坐标来算，引入这两个变量，用来表达积分区域和被积函数，将直角坐标系下的二重积分改写为极坐标下，根据积分区域的特点，给出的范围。直角坐标系下的三个部分，即积分区域、被积函数和面积元素，都要转变为的表达式，缺一不可.此时，被积函数当中的，面积元素.

三、结语

计算二重积分，可以分为三个步骤，第一步：在直角坐标系中画出积分区域D;第二步：观察D的图形特点，并结合被积函数的特点，给积分区域定型，灵活运用型或型，或者是极坐标;第三步：确定积分次序，写出详细的二次积分表达式，即把二重积分写成两个定积分的形式，进行计算，先算内层的积分，再算外层的积分。在直角坐标系中，要注意坐标轴的直线的方程表达式，观察积分区域内，如果平行轴的多条直线的“入口”和“出口”保持不变，直线和积分区域的边界最多只有两个交点，可以选择型;如果平行轴的多条直线的“入口”和“出口”保持不变，直线和积分区域的边界最多只有两个交点，可以选择型.

在计算对的积分时，把看作常数;在计算对的积分时，把看作常数.在极坐标系中，注意这两个变量的变化范围，的积分上限或下限可能是关于的函数，极坐标中和直角坐标中的二重积分可以互相转化运算，根据题目给出的被积函数和积分区域，綜合考虑，灵活运用这两种计算公式.

参考文献：

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[4] 马艳丽，丁健，李海霞.关于二重积分计算法的补充[J].玉溪师范学院学报，2016（4）.

作者简介：杨姜维（1990-），女，湖北荆州人，硕士，研究方向为数学教育。

基金项目：广州工商学院2020年院级科研课题《广义拓扑空间上的性质研究和超空间上的若干性质研究》（项目编号：KA202040）

（作者单位：广州工商学院）